Stochastik und Markovketten

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Rüdiger Solberg
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1 1 Zentrum für Bioinformatik der Universität des Saarlandes WS 22/23 2 Warum Stochastik? Viele Fragestellungen der Bioinformatik lassen sich auch heutzutage gar nicht oder nicht schnell genug exakt beantworten Oft kann man aber Aussagen über die wahrscheinlichsten Antworten auf solche Fragen machen Das nötige Wissen liefert uns die Wahrscheinlichkeitstheorie, die auch Stochastik genannt wird 1

2 3 Was brauchen wir dafür? Um über Wahrscheinlichkeiten reden zu können, brauchen wir eine Menge von Ereignissen (was ist wie wahrscheinlich?) ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (wie wahrscheinlich ist etwas?) einige Rechenregeln für diese Wahrscheinlichkeiten (was mache ich mit den Wahrscheinlichkeiten?) Beispiel: Werfen eines (fairen) Würfels Jede gewürfelte Zahl stellt ein Ereignis dar Ereignisse = {1..6} Jede Zahl ist gleich wahrscheinlich! Wenn wir sehr oft würfeln sollte daher jede Zahl in ca. 1/6. der Fälle gewürfelt werden! (1/6.166) 4 1 Würfe 1 Würfe,4,35,3,2 Anteil,2 Anteil,5,5 1 Würfe 1 Würfe,2,2 Anteil Anteil,5,5 2

3 5 Ein wenig genauer Zuerst definieren wir uns eine Menge E von sog. Elementarereignissen (z.b. die Menge E={1..6} für die Seiten des Würfels) Wir definieren dann die Menge der Ereignisse F folgendermaßen: 1. E F (alle Elementarereignisse sind Ereignisse) 2. Wenn F und F, dann liegen auch,, c und c in F 3. ( technische Voraussetzung an unendliche Summen und Produkte in F) Ein Ereignis tritt ein, wenn ein in ihm enthaltenes Elementarereignis eintritt 6 Unabhängige Ereignisse: und ) = ) ) Zusammengesetzte Ereignisse : ) = e (A E) e) Beispiel: wir werfen eine faire Münze zwei mal hintereinander. Elementarereignisse (Z=Zahl, K=Kopf): E = {ZZ, ZK, KZ, KK} Zwei mögliche Ereignisse aus F: 1. Α={ZK, KZ} (genau ein mal Zahl geworfen) 2. Β={KK, ZK, KZ} (mindestens ein mal Kopf geworfen)» Z) = K) = 1/2» Α) = 1/21/2 + 1/21/2 = 1/2» Β) = 3/4 3

4 7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Was passiert, wenn zwei Ereignisse sich gegenseitig beeinflussen? Angenommen, Β beeinflusst Α. Wenn Β eintritt, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit von Α der Satz von Bayes: A B) = B A) A) B) Wenn {B k k=1..n} eine Partition von F ist, d.h. jedes Ereignis in F liegt in genau einem B i, dann gilt zusätzlich: A Bi) Bi) Bi A) = n A Bk) Bk) k = 1 8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Beispiel Der in Deutschland üblicherweise verwendete AIDS-Test ELISA hat folgende typische Eigenschaften: Sensitivität: bei einem an AIDS erkrankten Patienten erkennt der Test in ca % der Fälle die Krankheit richtig Spezifizität: ist der Patient nicht erkrankt, erkennt der Test dies in ca % der Fälle In Deutschland sind ca..1 % der 2-3 jährigen Männer, die keiner Risikogruppe angehören, an AIDS erkrankt 4

5 9 Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Beispiel Nach dem Satz von Bayes ergibt sich damit: pos HIV ) HIV ) HIV pos) = pos HIV ) HIV ) + pos nohiv ) nohiv ) = Also: ein 2-3 jähriger nicht-risikopatient, der positiv getestet wird, ist nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % wirklich erkrankt! In neueren Untersuchungen konnten ca. 95 % der befragten Ärzte die Ergebnisse ähnlicher Tests nicht korrekt interpretieren. 1 Zufallsvariablen Eine Funktion X, die jedem Elementarereignis in E eine reelle Zahl zuordnet, nennt man Zufallsvariable Beispiel: werfe eine Münze 3 mal hintereinander. Mögliche Zufallsvariablen: X1 = Wie oft fiel Zahl X2 = Wie oft fiel Kopf X3 = Wie oft fiel Kopf oder Zahl Für eine Zufallsvariable X und ein Elementarereignis e interessiert uns z.b. X=e). Im Beispiel: X1 = 3) = 1/8 X3 = 3) = 1 X3 = 1) = etc... 5

6 11 Erwartungswerte Sollen wir den Wert einer Zufallsvariablen X raten, ist die beste Schätzung der Erwartungswert E(X): E ( X ) = X ( e) e) e E Beispiel: Werfen eines fairen Würfels. E = {1..6} 1) =... = 6) = 1/6 X(e):=e E(X) = 1/6*( ) = 1/6 * 21 = Markovketten Ein stochastischer Prozess ist eine Menge von Zufallsvariablen {X(t) t T}. T kann man sich als den Beobachtungszeitraum vorstellen, t als den aktuellen Zeitpunkt. Markovketten sind stochastische Prozesse mit einem Kurzzeitgedächtnis. Beispiel: nehmen wir an, alle 5 Sekunden kommt ein Student in die Mensa. Heute gibt s nur C- oder Wahlessen. Um t =12.45 sind noch alle Schlangen leer. Es seien f C (t) und f W (t) die Anzahl an Studenten in der C- bzw. Wahlessenschlange zum Zeitpunkt t. f C )=f W )= Sind die Schlangen gleich lang, gehen 8 von 1 Studenten zum billigeren C- Essen f C +.5s)=f C )+1)=.8, f W +.5s)=f W )+1)=.2 Daher ist um t 1 =13. das C-Essen überfüllt, die W-Schlange aber noch leer. Nun siegt der Hunger über den Geiz: f C (t 1 +.5s)=f C (t 1 )+1)=.3 6

7 13 Ein wenig genauer... Für eine Markovkette brauchen wir: eine Menge von möglichen Zuständen S={S 1,,S n } für jeden Zeitpunkt t und für alle Zustände i, j die Wahrscheinlichkeit p ij (t), von Zustand i in Zustand j überzugehen P(t) = (p ij ) i=1 n, j=1, n (t) ist eine nn Matrix, die sogenannte Übergangsmatrix Betrachten wir nur diskrete Zeitschritte t, dann schreiben wir P n für P(n t) Es gilt: P (n) P (m) = P (n+m) (Matrizenprodukt!) Eine Markovkette heißt ergodisch, falls lim n P (n) = C, wobei C eine konstante nn Matrix ist. Also: eine Markovkette ist dann ergodisch, wenn sich die Übergangswahrscheinlichkeiten nach einiger Zeit nicht mehr ändern (d.h. sie haben sich auf ihren Endwert eingependelt) 14 Hidden Markov - Modelle Die Realität ist häufig ein wenig komplizierter... Oft können wir den Zustand der Markovkette nicht direkt beobachten, sondern nur irgendwelche Effekte, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in jedem Zustand auftreten können. So etwas bezeichnet man als Hidden-Markov- Modell Beispiel: in unserem Mensa-Modell können wir die eigentlichen Zustände (die Anzahl der Studenten) nicht bestimmen, wenn wir unten an der Schlange ankommen (wir können ja nicht sehen, wie viele oben noch warten). Wir können aber aus der Wartezeit gewisse Rückschlüsse auf die Länge der Schlange ziehen. 7

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