5 Sphärische Trigonometrie
|
|
- Hetty Peters
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 $Id: sphaere.tex,v /07/13 11:11:42 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.3 Geographische Koordinaten N N b γ a P α c β P 2 P 1 λ ϕ ϕ2 Längengrad λ und Breitengrad ϕ Abstand auf Großkreis Wir betrachten wieder eine Kugel, die wir uns diesmal als die Erdkugel vorstellen. Wir wollen die Punkte auf K durch Koordinaten beschreiben. Eine Gerade durch den ittelpunkt der Kugel sei vorgegeben, im Fall der Erde nimmt man hierfür die Rotationsachse der Erde. Die beiden Schnittpunkte der Achse mit K sind die beiden Pole, einen nennen wir Nordpol N, den anderen den Südpol S. Die Großkreise durch Nord- und Südpol, heißen dann die Längenkreise, oder eridiane. Einer von diesen wird willkürlich als Nullmeridian ausgewählt, im Fall der Erde wurde hierfür der durch Greenwich laufende eridian gewählt. Die erste geographische Koordinate λ eines Punktes P ist nun der Längengrad, dies ist der Winkel den der eridian durch P mit dem Nullmeridian bildet. Dabei zählen wir die östliche Richtung als positiv, also mit steigenden Längengrad. Statt eines Vorzeichens wird übleicherweise der Zusatz E für östlich und W für westlich verwendet, d.h. ein Längengrad von 17 E meint den eridian 17 östlich des Nullmeridians während 17 W den eridian 17 westlich des Nullmeridians bezeichnet. Wird nichts weiter angegeben so ist in diesem Skript immer die positive, also östliche, Richtung gemeint. Die Ebene senkrecht auf der Achse durch schneidet die Kugel K in einem Großkreis der der Äquator genannt wird, die Ebene heißt entsprechend die Äquatorebene. Die zweite Koordinate eines Punktes P ist nun der Breitengrad ϕ, d.h. der Winkel den P mit der Äquatorebene bildet. Die Punkte konstanten Breitengrades bilden 23-1
2 einen zum Äquator parallelen Kleinkreis, einen sogenannten Breitenkreis. Die nördliche Richtung interpretieren wir beim Breitengrad als die positive Richtung und die südliche entsprechend als die negative Richtung. Wie beim Längengrad wird dies auch beim Breitengrad üblicherweise nicht durch ein Vorzeichen angegeben sondern durch die Zusätze N für nördlich und S für südlich. Liegt keine weitere Angabe vor so ist in diesem Skript immer die nördliche Richtung gemeint. Für die folgenden Beispiele schauen wir uns zwei Punkte an, den Punkt und den Punkt P 1 ist Kiel mit λ 1 = 10 08, ϕ 1 = 54 20, P 2 ist Peking mit λ 2 = , ϕ 1 = Die Nachkommastellen bei solchen geographischen Koordinaten werden traditionell sexagesimal zur Basis 60 dargestellt, d.h. 28 meint 28/60 Grad, weitere Nachkommastellen werden dann mit mehreren Strichen markiert. In dezimales Gradmaß umgerechnet sind auf vier Nachkommastellen λ 1 = 10, 1333, ϕ 1 = 54, 3333, λ 2 = 116, 4666, ϕ 2 = 39, 9. Angenommen wir haben zwei Punkte P 1 mit Koordinaten λ 1, ϕ 1 und P 2 mit Koordinaten λ 2, ϕ 2. Um den Abstand dieser beiden Punkte auszurechnen, betrachte des sphärische Dreieck P 1 P 2 N mit Seiten wie im obigen Bild markiert. Gesucht ist die Seite c. Setzen wir den eridian durch P 2 bis zum Äquator fort, so entstehen insgesamt 90 und der Teil zwischen P 2 und dem Äquator ist dabei der Breitengrad ϕ 2, also haben wir a = π 2 ϕ 2 und analog b = π 2 ϕ 1. Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den eridianen durch P 1 und P 2, und da der Längengrad der Winkel zum Nullmeridian ist, folgt γ = λ 2 λ 1. Damit haben wir genug Daten zusammen unser Dreieck zu berechnen. it dem Seitencosinussatz Satz 3 folgt cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ ( π ) = cos 2 ϕ 2 cos 2 ϕ 1 + sin 2 ϕ 2 sin 2 ϕ 2 cos γ = sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(λ 2 λ 1 ). it dieser Formel lassen sich Abstände von in Längengrad und Breitengrad gegebenen Punkten berechnen. In unserem obigen Beispiel Kiel Peking wird cos c 0, also c 1,
3 Dies ist der Winkelabstand, um den metrischen Abstand zu kriegen müssen wir noch mit dem Radius unserer Kugel multiplizieren, also mit dem Erdradius R = 6371, 2km und der Abstand Kiel Peking längs des verbindenden Großkreises wird P 1 P 2 = Rc 7418, 4km. Auch die beiden Winkel α und β in unserem sphärischen Dreieck P 1 P 2 N haben eine Bedeutung. Unter dem Kurswinkel einer Kurve auf K in einem Punkt versteht man den Winkel zum durch den Punkt laufenden eridian, dann sind α der Kurswinkel im Startpunkt P 1 der Strecke P 1 P 2 und β der Kurswinkel im Endpunkt P 2, man nennt α den Abfahrts- und β den Ankunftswinkel. Wir können diese beispielsweise mit dem sphärischen Sinussatz Satz 6 berechnen, es ist sin c/ sin γ 0, und somit sin α = sin a 0, = cos ϕ 2 0, , und der Abfahrtswinkel wird α 53, Für den Ankunftswinkel berechnen wir analog β 37, N α b γ a β P 2 P 1 Beim Vorgehen über den Sinussatz ist allerdings etwas Sorgfalt erforderlich da sich der Sinus nur zwischen 0 und π/2 umkehren läßt, man muss also wissen ob der untersuchte Winkel größer oder kleiner als π/2 ist. Alternativ kann man α und β auch über den Seitencosinussatz berechnen, dies ist zwar rechnerisch etwas unangenehmer führt allerdings immer zum Erfolg. 5.4 Berechnung der Tageslänge In diesem Abschnitt wollen wir als eine weitere Anwendung der sphärischen Trigonometrie die Berechnung der Tageslänge durchführen. Angenommen wir haben eine Kugel E mit ittelpunkt und Radius R > 0 die von einer Lichtquelle in der Entfernung S beleuchtet wird. Denken wir uns der Einfachheit halber das alle Lichtstrahlen 23-3
4 vom ittelpunkt der Quelle ausgehen, so bilden wir einen Kegel mit Spitze in S der tangential an der Kugel anliegt, und der beleuchtete Teil unserer Sphäre ist dann das Innere des Kleinkreises in dem der Kegel die Kugel berührt. Dieser Kleinkreis bildet mit S einen Winkel φ und lesen wir den Cosinus von φ im unten links gezeigten rechtwinkligen Dreieck ab, so ergibt sich cos φ = R S. Sind nun E die Erde und unsere Lichtquelle die Sonne, so ist R der Erdradius R = 6371, 2 km und S ist der Abstand zur Sonne. Der genaue Wert von S hängt von der Jahreszeit ab, der kleinste auftretende Wert sind S = km. Für den Winkel φ ergibt sich φ 89, , und für alle praktischen Zwecke sind dies 90. Ekliptik R H φ S Äquator F δ 0 Lichtquelle Ekliptik Wir können also davon ausgehen das immer auf einer Hälfte der Erdoberfläche Tag ist. Wenn wir einen einzelnen Tag betrachten, so können wir uns die Sonne als im Raum fixiert denken. Durch die Drehung der Erde um ihre Achse ändert sich die Hälfte der Erde auf der gerade Tag ist. Die Verbindungsstrecke von Erdmittelpunkt und Sonnenmittelpunkt trifft die Erdoberfläche in einem Punkt Q und der Großkreis k der die Grenze zwischen Tag und Nacht markiert hat Q als einen Pol. Liegt Q auf dem Äquator, so ist die Tag Nacht Grenze k ein eridian, also wird jeder Breitenkreis von k genau halbiert und damit sind Tag und Nacht in jedem Punkt der Erdoberfläche gleich lang. Da wir allerdings wissen das die Länge des Tages mit der Jahreszeit variiert kann Q in der Regel nicht auf dem Äquator liegen. Die Bewegung der Erde um die Sonne findet in einer Ebene statt, und diese Ebene nennt man die Ekliptik. Schneiden wir die Ekliptik mit der Erdoberfläche so entsteht ein Großkreis q auf dem sich unser Punkt Q bewegt. Wäre die Drehachse der Erde senkrecht auf der Ekliptik, so wäre q der Äquator und Tag und Nacht wären immer gleich lang. In der Wirklichkeit sind die beiden aber verschieden, der Großkreis q bildet mit dem Äquator einen Winkel δ 0, und dies führt dazu das sich die Tageslänge mit der Jahreszeit ändert. Den Winkel δ 0 kann man genau messen, er hat auf zwei Nachkommastellen den Wert δ 0 = 23,
5 Der Großkreis q schneidet den Äquator in zwei diametralen Punkten F und H, in diesen beiden Punkten fällt der Einstrahlpunkt Q auf den Äquator und Tag und Nacht sind überall auf der Erde gleich lang. an nennt F den Frühlingspunkt und H den Herbstpunkt, diese sind die beiden Äquinoktien oder Tagundnachtgleichen. Wir betrachten nun einen fixierten Tag und an diesem Tag habe die Sonne zum Äquator den Winkel δ, d.h. ist Q der Einstrahlpunkt so hat die Strecke Q zur Äquatorebene den Winkel δ. an nennt δ die Deklination. Ist Q der Frühlingspunkt, so ist δ = 0 und mit fortschreitenden Jahr läuft Q den Großkreis q entlang und δ wird größer. Dies geht bis die Deklination ihren maximalen Wert δ = δ 0 erreicht, dies geschieht wenn die senkrecht auf dem Äquator stehende Ebene durch Q auch senkrecht auf der Ekliptik ist, dann ist die Deklination der Winkel zwischen Äquator und Ekliptik und die sogenannte Sommersonnenwende ist erreicht. Danach wird δ wieder kleiner bis der Herbstpunkt erreicht wird und δ = 0 ist. Nach Durchlaufen des Herbstpunktes wird δ negativ, d.h. ab diesem Punkt ist die Südhalbkugel der Sonne zugewandt. Der kleinste Wert der Deklination wird dann bei δ = δ 0 erreicht und dann ist die Wintersonnenwende erreicht. Anschließend läuft Q zurück zum Frühlingspunkt, die Deklination steigt also wieder bis δ = 0, und alles geht von vorne los. Wir wollen die Tageslänge in Abhängigkeit von Deklination und Breitengrad berechnen. Nehme einmal an das δ 0 ist das also die Nordhalbkugel der Sonne zugewandt ist. Ab einem gewissen Breitengrad ϕ ist der Tag dann volle 24 Stunden lang und um ϕ zu berechnen schauen wir uns den unten rechts gezeigten Querschnitt an. H N ϕ P Q Q δ ϕ ϕ δ Deklination Querschnitt zu den Polarkreisen Die Strecke Q bildet mit dem Äquator den Winkel δ, senkrecht zu dieser Strecke ist die Tag Nacht Grenze k und alle Breitenkreise oberhalb des Schnitts von k mit der Sphäre liegen ganz im beleuchteten Teil der Erde. Die Grenze ϕ ergibt sich damit zu δ + π 2 + ϕ = π, also ϕ = π 2 δ. Im Frühlingspunkt δ = 0 gibt es noch keinen solchen Breitenkreis und zur Sommersonnenwende δ = δ 0 ist nördlich des Breitenkreises π/2 δ 0 = 66, 56 volle 24 Stunden 23-5 S
6 lang Tag. an nennt den Breitenkreis ϕ = π/2 δ 0 den nördlichen Polarkreis. Symmetrisch dazu ist der südliche Polarkreis, südlich des Breitenkreises (π/2 δ) ist 24 Stunden lang Nacht. Wird die Deklination negativ, so ist die Südhalbkugel der Sonne zugewandt und die südlichen Breitenkreise haben permanenten Tag und die nördlichen permanente Nacht. Für die Breitenkreise ϕ mit ϕ < π/2 δ gibt es dagegen einen Wechsel von Tag und Nacht und wir betrachten jetzt einen solchen Breitengrad ϕ. Sei P der westliche Schnittpunkt des Breitenkreises zum Breitengrad ϕ mit der Tag Nacht Grenze k, d.h. im Punkt P haben wir den Sonnenaufgang auf unserem Breitenkreis. Ist N der Nordpol so bilden wir das oben links gezeigte sphärische Dreieck P QN und sein Winkel H bei N heißt der Stundenwinkel, dies ist der Winkel zwischen dem Sonnenaufgang in P und der ittagszeit wenn der eridian durch Q erreicht wird. Insbesondere bildet der Teil des Breitenkreises der von der Sonne beschienen wird mit N den Winkel 2H. Der Punkt P ist auf dem Großkreis k mit Pol in Q, also haben P und Q den Winkelabstand P Q = π 2, es liegt ein sogenannte rechtsseitiges sphärisches Dreieck vor. Da P den Breitengrad ϕ und Q den Breitengrad δ hat, ist P N = π 2 ϕ und QN = π 2 δ. Wenden wir in P QN den Seitencosinussatz Satz 3 an, so ergibt sich ( π ) 0 = cos P Q = cos 2 ϕ cos 2 δ + sin 2 ϕ sin 2 δ cos H = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H, also ist sin ϕ sin δ cos H = = tan ϕ tan δ. cos ϕ cos δ Wir hatten schon festgehalten das der in der Sonne liegende Teil des Breitenkreises den doppelten Stundenwinkel 2H einnimmt, und da die Drehung der Erde um ihre Achse konstante Winkelgeschwindigkeit hat ist die Tageslänge auf dem Breitengrad ϕ damit in Stunden gegeben als T 1 = T 1 (ϕ, δ) = 2H = arccos( tan ϕ tan δ). 2π π Diese geometrische Tageslänge weicht aber noch recht deutlich von der wirklich beobachteten Tageslänge ab. Dies liegt an zwei Hauptgründen. Zum einen ist die Sonne keine punktförmige Lichtquelle sondern hat eine Ausdehnung und nimmt eine Winkel von etwa 16 ein. Die Sonne ist also schon um den Winkel 16 vor Erreichen des Punktes P sichtbar. Weiter hat die Erde eine Atmosphäre an der sich die eingehenden Lichtstrahlen brechen, und essungen dieses Effekts ergeben einen weiteren Korrekturwinkel 34. Insgesamt kommen wir auf den Korrekturwinkel ( ) 5 ɛ := = 50 = 0,
7 In unserem Dreieck P QN haben wir bei Sonnenaufgang also tatsächlich P Q = π/2+ɛ im Winkelabstand und der Seitencosinussatz ergibt ( π ) sin ɛ = cos 2 + ɛ = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H und somit cos H = tan ϕ tan δ T 1 = T 1 (ϕ, δ) = 24 π arccos sin ɛ cos ϕ cos δ. Als genaueren Wert für die Tageslänge in Stunden erhalten wir ( tan ϕ tan δ sin ɛ cos ϕ cos δ Dies ist allerdings noch nicht die gewünschte Form dieser Formel. Wir wollen die korrigierte Tageslänge als eine Störung der geometrischen Tageslänge interpretieren, sie also als eine Summe von T 1 und einem Korrekturterm schreiben. Dieser Korrekturterm beschreibt dann im wesentlichen die Dauer der Dämmerung. Um den Wert von T 1 mit T 1 zu vergleichen machen wir eine kleine Approximationsüberlegung. Zunächst erinnern wir uns daran das die Differenzierbarkeit einer Funktion f in einem Punkt x bedeutet das für kleine Inkremente h die Näherung gilt. Die Ableitung des Arcus Cosinus ist also haben wir f(x + h) f(x) + f (x)h d dx arccos x = 1 1 x 2, arccos(x + h) arccos x h 1 x 2. Der Wert sin ɛ/(cos ϕ cos δ) ist vergleichsweise klein, also wird T 1 T π 1 tan 2 ϕ tan 2 δ sin ɛ cos ϕ cos δ. Weiter haben wir für kleine Winkel φ die übliche Näherung sin φ φ und es wird ( ) 5 sin ɛ ɛ = = π 180 = π 216, und somit T 2 T 2 := T ). 1 cos2 ϕ cos 2 δ sin 2 ϕ sin 2 δ = T cos2 ϕ sin 2 δ. Der Dämmerungsterm ist sowohl im Breitengrad ϕ als auch in der Deklination δ monoton steigend, die Dauer der Dämmerung nimmt also für weiter nördlich gelegene 23-7
8 Breitenkreise und hin zur Sommersommenwende zu. Die kürzeste Dämmerung tritt also im Frühlings- und im Herbstpunkt bei δ = 0 auf und hat den Wert 1/(9 cos ϕ ) während die längste Dämmerung bei Sommer- beziehungsweise der Wintersonnenwende mit δ = ±δ 0 ist. Für den Äquator ϕ = 0 ergibt sich eine Dämmerung von mindestens 6, 8 inuten und höchstens 7, 4 inuten während für Kiel beim Breitengrad ϕ = die Dämmerung mindestens 11, 4 und höchstens 15, 6 inuten dauert. Wir wollen uns die bisher hergeleiteten Formeln einmal am Beispiel des durch Kiel laufenden Breitenkreises anschauen. Kiel liegt südlich des Polarkreises bei 66, 56 also gibt es stets eine Tag und eine Nachtphase. In der folgenden Tabelle geben wir die Tageslänge in Kiel als Funktion der Deklination δ für einige Werte von δ in Stunden an δ 0 4, 69 9, 37 14, 06 18, 75 δ 0 = 23, 44 T 1 12 : : : : : : 57 T 2 12 : : : : : : 12 Diese Tabelle gibt uns Werte zwischen dem Frühlingsanfang und der Sommersonnenwende, für andere Werte der Deklination δ lassen sich die Werte durch Symmetrieüberlegungen gewinnen. Die Tageslänge zwischen Sommersonnenwende und dem Herbstpunkt durchläuft dann dieselben Werte in die andere Richtung. Zwischen Herbstpunkt und Frühlingspunkt ist die Deklination negativ und die Nacht ist länger als der Tag. Die hierbei auftretenden Werte von T 1 und T 2 wollen wir uns über Symmetriebetrachtungen herleiten. Für 0 φ π gilt cos(π φ) = cos φ und 0 π φ π, also ist für alle 1 x 1 auch arccos( x) = π arccos x. it dieser Formel ergibt sich für 0 δ δ 0 T 1 (ϕ, δ) = 24 π arccos(tan ϕ tan δ) = 24 π (π arccos( tan ϕ tan δ)) = 24 T 1(ϕ, δ) Der Länge des Tages zur negativen Deklination δ ist also die Länge der Nacht bei Deklination δ. Diese Formel gilt allerdings nur für die geometrische Tageslänge T 1, die korrigierte Tageslänge ergibt sich dann analog zur obigen Rechnung als T 2 (ϕ, δ) = T 1 (ϕ, δ) cos2 ϕ sin 2 δ. Damit haben wir die Tageslänge als Funktion der Deklination beschrieben. 23-8
5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.8 2015/07/09 15:09:47 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.3 Geographische Koordinaten b γ a P α c β P 2 P 1 λ ϕ ϕ2 Längengrad λ und Breitengrad ϕ Abstand auf Großkreis Wir betrachten
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.17 016/07/1 16:3:40 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.5 Geographische Koordinaten Wir beschäftigen uns gerade mit der Berechnung des Weges zwischen zwei in geographischen Koordinaten
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.18 216/7/15 18:27:28 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.6 Berechnung der Tageslänge Wir beschäftigen uns gerade mit der Berechnung der Tageslänge. Wir betrachten momentan einen
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v.5 03/08/3 7::33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.4 Geographische Koordinaten In der letzten Sitzung hatten wir die geographischen Koordinaten eines Punkts P auf einer Kugel, beziehungsweise
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.4 2013/06/24 23:05:24 hk Exp hk $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung Wir behandeln gerade die Berechnung sphärischer Dreiecke und haben zu diesem Zweck bereits
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.15 2016/07/08 13:57:53 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.3 Kleinkreise als sphärische Kreise In der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die sphärischen Kreise auf einer Sphäre
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.23 2017/07/10 14:46:08 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit sphärischer Trigonometrie zu beschäftigen.
MehrKlassenarbeit - Die Erde
Klassenarbeit - Die Erde 5. Klasse / Geografie Erdrotation; Erdbahn; Kontinente; Gradnetz; Karten; Polartag Aufgabe 1 Wie nennt man a) die Drehung der Erde um sich selbst und b) wie ihre Drehung um die
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.5 2013/08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder
MehrDie Regiomontanus-Sonnenuhr
Die Regiomontanus-Sonnenuhr Von Günther Zivny Die Regiomontanus-Sonnenuhr gehört zur Gruppe der Höhensonnenuhren. Die Sonnenhöhe, also der Winkel zwischen Horizont und Sonne, ändert sich im aufe des Tages.
MehrKoordinatensysteme der Erde
Koordinatensysteme der Erde Es gibt verschiedene Arten, die Position eines Punktes auf der Oberfläche einer Kugel (manchmal auch Sphäre genannt) darzustellen, jede hat ihre Vor-und Nachteile und ist für
MehrSIS Vortragsreihe. Astronomische Koordinatensysteme
SIS Vortragsreihe Astronomische Koordinatensysteme Das Himmelsgewölbe Zur Vereinfachung stellen wir uns das Himmelsgewölbe als hohle Kugel vor. Die Fix-Sterne sind an dieser Kugel befestigt oder einfach
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /08/12 09:49:46 hk Exp $ c a b = 1 3. tan(2φ) =
Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 $Id: quadratischtexv 18 13/08/1 09:49:46 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen Nachdem wir in der letzten Sitzung die Hauptachsentransformation
Mehr7 Beziehungen im Raum
Lange Zeit glaubten die Menschen, die Erde sei eine Scheibe. Heute zeigen dir Bilder aus dem Weltall sehr deutlich, dass die Erde die Gestalt einer Kugel hat. 7 Beziehungen im Raum Gradnetz der Erde Längengrade
MehrKlassenarbeit - Die Erde
Klassenarbeit - Die Erde Erdrotation; Gradnetz; Erdbahn; Jahreszeiten; Oberflächenformen; Vegetationsgebiete 5. Klasse / Geografie Aufgabe 1 Erläutere die Erdrotation und den damit entstehenden Effekt.
Mehr1 Dreiecke. 1.6 Ähnliche Dreiecke. Mathematische Probleme, SS 2019 Donnerstag 2.5. $Id: dreieck.tex,v /05/03 14:05:29 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.60 2019/05/03 14:05:29 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.6 Ähnliche Dreiecke Wir hatten zwei Dreiecke kongruent genannt wenn in ihnen entsprechende Seiten jeweils dieselbe Länge haben und dann
MehrMathematische Probleme, SS 2018 Dienstag $Id: dreieck.tex,v /06/12 14:54:26 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.47 018/06/1 14:54:6 hk Exp $ Dreiecke.3 Einige spezielle Punkte im Dreieck Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen, dass sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks in
Mehrx 1 x 2 a) Erläutern Sie den prinzipiellen Weg, wie man den Standort der Person aus den gegebenen Daten berechnen kann.
Lineare Algebra / Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgabe 5: GPS Eine Person bestimmt ihre Position auf der Erdoberfläche mit Hilfe eines GPS-Gerätes. Dieser Vorgang soll in dieser Aufgabe prinzipiell
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: quadratisch.tex,v /06/22 12:08:41 hk Exp $
Mathematische Probleme, SS 15 Montag 6 $Id: quadratischtex,v 111 15/06/ 1:08:41 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen In der letzten Sitzung hatten wir die Normalform (1 ɛ )x + y pɛx p =
Mehrr 1 Abb. 1: Schlinge um Kreis im Abstand 1
Hans Walser, [20130119a] Schlinge um Kreis Anregung: R. S., Z. 1 Die Uralt-Aufgabe Um einen Kreis mit Radius r wird eine Schlinge im Abstand 1 gelegt (Abb. 1). Wie lang ist die Schlinge im Vergleich zum
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /06/18 15:11:12 hk Exp $
Mathematische Probleme, SS 25 Donnerstag 8.6 $Id: quadratisch.tex,v. 25/6/8 5::2 hk Exp $ 4 Kegelschnitte Am Ende der letzten Sitzung haben wir mit der Diskussion der Kegelschnitte begonnen. Gegeben sind
MehrMathematische Probleme, SS 2019 Montag 6.5. $Id: dreieck.tex,v /05/07 10:51:36 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.61 019/05/07 10:51:36 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.7 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen, dass sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks
Mehr2 Dreiecke. 2.3 Einige spezielle Punkte im Dreieck. Mathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 15.6
$Id: dreieck.tex,v 1.35 017/06/15 13:19:44 hk Exp $ Dreiecke.3 Einige spezielle Punkte im Dreieck In diesem Abschnitt wollen wir die sogenannten speziellen Punkte im Dreieck, also den Schwerpunkt, die
MehrUnser Sonnensystem. Prof. Dr. Christina Birkenhake. 8. März
Unser Sonnensystem Prof. Dr. Christina Birkenhake christina@birkenhake.net http://christina.birkenhake.net 8. März 2010 Heliozentrisches Weltbild des Kopernikus Ellipsen überspringen Ellipsen und Planetenbahnen
MehrBerechnung der Zeitgleichung
Berechnung der Zeitgleichung Um eine Sonnenuhr berechnen zu können, muss man zu jedem Zeitpunkt den infallswinkel der Sonne relativ zur Äquatorebene (= Deklination δ) sowie den Winkel, um den sich die
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.6 2013/04/18 15:03:29 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir hatten gerade begonnen uns mit den speziellen Punkten im Dreieck zu beschäftigen. Dabei beschränken
Mehr1 Pyramide, Kegel und Kugel
1 Pyramide, Kegel und Kugel Pyramide und Kegel sind beides Körper, die - anders als Prismen und Zylinder - spitz zulaufen. Während das Volumen von Prismen mit V = G h k berechnet wird, wobei G die Grundfläche
MehrGPS - Anwendungen. im Zusammenhang mit satellitengestützter Ortung
im Zusammenhang mit satellitengestützter Ortung Gestalt der Erde und Darstellungsmöglichkeiten auf Karten : Die Erde hat annähernd Kugelform. Durch die Erdrotation entsteht eine Abplattung an den Polen
Mehr1 Einleitung. 2 Sinus. Trigonometrie
1 Einleitung Die Trigonometrie (trigonon - griechisch für Dreieck) und die trigonometrischen Funktionen sind wichtige mathematische Werkzeuge zur Beschreibung der Natur. In der Physik werden trigonometrische
MehrAstronomische Koordinatensysteme
Übung für LA Physik Astronomische Koordinatensysteme Sergei A.Klioner Lohrmann-Observatorium, Technische Universität Dresden Kartesische und sphärische Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem und sphärische
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/23 18:14:20 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.16 015/04/3 18:14:0 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir gezeigt das die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sich immer
MehrKontaktzeitmessungen beim Venustransit und die Ableitung der Sonnenentfernung
Kontaktzeitmessungen beim Venustransit und die Ableitung der Sonnenentfernung Udo Backhaus 14. Dezember 2004 1 Prinzip Die Messung der Astronomischen Einheit durch Kontaktzeitmessungen beim Venustransit
MehrKugeldreieck. (a) München (λ = 11,5 ö. L., φ = 48,1 ) (b) New York (λ = 74,0 w. L., φ = 40,4 ) (c) Moskau (λ = 37,4 ö. L.
Kugeldreieck 1. Berechnen Sie die Fläche des vom Äquator, vom Nullmeridian und dem Längenkreis durch den angegebenen Ort begrenzten Kugeldreiecks. Geben Sie den sphärischen Exzeß des Dreiecks im Grad-
MehrUnterrichtsprojekte Natur und Technik. Der Globus auf dem Schulhof, der begreifbar macht, warum es Sommer und Winter gibt
Unterrichtsprojekte Natur und Technik Vinnhorster Weg 2 30419 Hannover Telefon: 0511-168-47665/7 Fax: 0511-168-47352 E-mail: schulbiologiezentrum@hannover-stadt.de Internet: www.schulbiologiezentrum-hannover.de
MehrBeobachtungen am Himmel. Manuel Erdin Gymnasium Liestal, 2010
Beobachtungen am Himmel Manuel Erdin Gymnasium Liestal, 2010 Grundsätze Alle am Himmel beobachtbaren Objekte befinden sich auf der Innenseite einer Kugel. Wir als Beobachter sind in Ruhe. Die Himmelskugel
MehrKreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales.
Kreis - Tangente 1. Allgemeines 2. Satz des Thales 3. Tangente an einem Punkt auf dem Kreis 4. Tangente über Analysis (an einem Punkt eines Ursprungkreises) 5. Tangente von einem Punkt (Pol) an den Kreis
MehrLösungen der Trainingsaufgaben aus. Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge
Lösungen der Trainingsaufgaben aus Toolbox Mathematik für MINT-Studiengänge 1 Geometrie mit Sinus, Cosinus und Tangens Version 22. Dezember 2016 Lösung zu Aufgabe 1.1 Gemäß Abbildung 1.1 und der Definition
MehrKOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.43 2018/05/15 16:07:13 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel Am Ende der letzten Sitzung hatten wir begonnen zwei weitere Aussagen über Winkel zu beweisen,
MehrStation Trigonometrie des Fußballs - 3. Teil -
Station Trigonometrie des Fußballs - 3. Teil - Aufgabenblätter Liebe Schülerinnen und Schüler! In dieser Laborstation werdet ihr die Formeln der Trigonometrie nicht nur anwenden, sondern auch damit spielen
MehrMathematische Kurven sind uns aus den verschiedensten Zusammenhängen vertraut. Wir stellen hier kurz die wichtigsten Begriffe zusammen.
10.1. Ebene Kurven Mathematische Kurven sind uns aus den verschiedensten Zusammenhängen vertraut. Wir stellen hier kurz die wichtigsten Begriffe zusammen. Parameterdarstellungen einer Kurve sind stetige
MehrProjekt der Klasse 4l MN Frühlingssemester 2008
Projekt der Klasse 4l MN Frühlingssemester 2008 Alexander Mikos Cedric Bergande Dario Goglio Konrad Marthaler Marc Inhelder Olivier Kastenhofer Stefan Kettner Leitung: Jan-Peter Trepp Seite 2 von 13 Inhaltsverzeichnis
MehrDie Kugel. Mathematische Betrachtungen von Peter Franzke
Die Kugel Mathematische Betrachtungen von Die Einheitssphäre S 1. Die Kugel Geometrie: gekrümmte geschlossene Fläche, deren Punkte von einem festen Punkt M (Kugelmittelpunkt) einen festen Abstand r (Kugelradius)
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis
MehrTrigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß).
Trigonometrie. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0 und 60 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem Bogenmaß,
MehrOrientierung am Himmel
Astronomie im Chiemgau e.v. www.astronomie-im-chiemgau.de Vortragsreihe Einführung in die Astronomie der VHS Haag i. Obb., Traunreut und Trostberg Orientierung am Himmel Himmelspole, Himmelsäquator und
MehrAstronavigation
Astronavigation 1. Lektion: Nordsternbreite Der Nordstern steht genau über dem Nordpol (stimmt nicht, ich weiß, aber die Differenz ignorieren wir zunächst mal). Mit einem Sextanten misst man den Winkel
MehrTrigonometrie. Mag. DI Rainer Sickinger HTL. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1 Verschiedene Winkel DEFINITION v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 2 / 1 Verschiedene Winkel Vermessungsaufgaben
MehrWiederholungsaufgaben Klasse 10
Wiederholungsaufgaben Klasse 10 (Lineare und quadratische Funktionen / Sinus, Kosinus, Tangens und Anwendungen) 1. In welchem Punkt schneiden sich zwei Geraden, wenn eine Gerade g durch die Punkte A(1
MehrASV Astroseminar 2003
Astronavigation nicht für Prüfungen (C-Schein, SHS) sondern zum Vergnügen. Nichts auswendig lernen, sondern Hintergründe verstehen Nur Verfahren, die auf Sportbooten anwendbar sind Keine HO-Tafeln heutzutage
MehrÜbungen zu Physik 1 für Maschinenwesen
Physikdepartment E13 WS 2011/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung
MehrÜbungsblatt
Übungsblatt 6..7 ) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Sätze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:
MehrÜbungen zu Experimentalphysik 1 für MSE
Physik-Department LS für Funktionelle Materialien WS 2017/18 Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Dr. Neelima Paul, Sebastian Grott, Lucas Kreuzer,
MehrKlassenarbeit - Die Erde
Klassenarbeit - Die Erde 5. Klasse / Geografie Gradnetz; Kontinente; Weltbilder; Sonnensystem; Ozeane; Karten Aufgabe 1 Ergänze den Text zum Gradnetz der Erde! Damit wir uns auf der Erde orientieren können,
MehrMathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 1.6. $Id: dreieck.tex,v /06/01 11:41:57 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mathematische Proleme SS 2017 Donnerstag 1.6 $Id: dreieck.texv 1.31 2017/06/01 11:41:57 hk Exp $ 2 Dreiecke 2.1 Dreieckserechnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine weitere
MehrÜbungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen
Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel
MehrDefinition von Sinus und Cosinus
Definition von Sinus und Cosinus Definition 3.16 Es sei P(x y) der Punkt auf dem Einheitskreis, für den der Winkel von der positiven reellen Halbachse aus (im Bogenmaß) gerade ϕ beträgt (Winkel math. positiv,
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
MehrEbene Schnitte einer Kugel
Ebene Schnitte einer Kugel Eine Kugel Φ(M,r) und eine Ebene Σschneiden sich in einem Kreis k(σ, M k, r k ), falls der Abstand d des Kugelmittelpunkts von Σ kleiner r ist. Φ Φ k r=r k d M k r k M=M k k
MehrSerie 8 - Parametrisierte Kurven
Analysis D-BAUG Dr Meike Akveld HS 05 Serie 8 - Parametrisierte Kurven Geben Sie für die folgenden Bewegungen eines Punktes jeweils eine parametrisierte Darstellung I [0, ] R xt, t yt an Lösung a Geradlinige
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik I WS 2017/2018 Blatt Aufgabe 33: Zeigen Sie, dass für die Funktionen
Übungen zur Ingenieur-Mathematik I WS 7/8 Blatt 8..7 Aufgabe : Zeigen Sie, dass für die Funktionen a b gilt: cosh x = (ex + e x und sinh x = (ex e x a (cosh x = sinh x, b (sinh x = cosh x, c cosh x sinh
Mehr2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen
2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich
MehrMathematische Probleme, SS 2016 Dienstag $Id: dreieck.tex,v /04/26 17:29:37 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.5 016/04/6 17:9:37 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.6 Einige spezielle Punkte im Dreieck Nachdem wir in der letzten Sitzung den Schwerpunkt S m eines Dreiecks = als den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden,
MehrPhysik I Musterlösung 2
Physik I Musterlösung 2 FS 08 Prof. R. Hahnloser Aufgabe 2.1 Flugzeug im Wind Ein Flugzeug fliegt nach Norden und zwar so dass es sich zu jedem Zeitpunkt genau über einer Autobahn befindet welche in Richtung
MehrK A N T O N S S C H U L E I M L E E MATHEMATIK. Grafiktaschenrechner ohne CAS, beliebige Formelsammlung
K A N T O N S S C H U L E I M L E E W I N T E R T H U R MATURITÄTSPRÜFUNGEN 06 Klasse: 4g Profil: MN Lehrperson: Rolf Kleiner MATHEMATIK Zeit: 3 Stunden Erlaubte Hilfsmittel: Grafiktaschenrechner ohne
MehrSphärische Geometrie und Trigonometrie
1 Sphärische Geometrie und Trigonometrie Die Sphärische Trigonometrie befasst sich mit der erechnung von Kugeldreiecken. Sie ist von stronomie und Seefahrern entwickelt worden, um die Lage von Punkten
Mehrund einen zugehörigen Winkel beschreiben. Diese Bewegung wird auch kurz ROT[E, Ω ]
EULER-POLE 1. Relativbewegungen von zwei n auf einer Kugel 1.1. Beschreibung der Relativbewegung Jede Bewegung einer sphärischen auf einer Kugel kann als eine Rotation dieser um eine Achse E, die durch
MehrWiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
MehrD i e W e l t s t ä d t e r o s e
D i e W e l t s t ä d t e r o s e Eine Besonderheit der APG-Sonnenuhr ist die Weltstädterose. Um den Polos sind in die Bodenplatten kreisförmig Pfeile aus Edelstahl, die Richtung und Entfernung von ausgewählten
MehrI. PHYSISCHE GEOGRAPHIE
I. PHYSISCHE GEOGRAPHIE 1. Unsere kosmische Umgebung 1. Ordne die Wissenschaftler den wissenschaftlichen Ergebnissen zu! Schreibe die Großbuchstaben an die entsprechende Stelle nach den wissenschaftlichen
MehrEine Methode zur Positionsberechnung aus Relativmessungen. Von Eckhardt Schön, Erfurt
Eine Methode zur Positionsberechnung aus Relativmessungen Von Eckhardt Schön, Erfurt Mit 4 Abbildungen Die Bewegung der Sterne und Planeten vollzieht sich für einen irdischen Beobachter scheinbar an einer
Mehr2. Momentanpol. Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: y A ), v Py. =v Ay
ufgabenstellung: Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: Gesucht ist der Punkt П, dessen momentane Geschwindigkeit null ist. Lösung: v Px =x ( y P y ), v Py =y +
MehrBerechnungen am rechtwinkligen Dreieck Der Einheitskreis. VI Trigonometrie. Propädeutikum Holger Wuschke. 21. September 2018
Propädeutikum 018 1. September 018 Denition Trigonometrie Die Trigonometrie beschäftigt sich mit dem Messen (µɛτ ρoν) von dreiseitigen (τ ρίγωνo) Objekten. Zunächst gilt in Dreiecken: A = 1 g h Abbildung:
MehrTrigonometrie. Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich
Trigonometrie Geometrie Kapitel 3 MnProfil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 29. Januar 2012 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 1 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/29 15:15:02 hk Exp $ $Id: trig.tex,v /04/29 15:15:28 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.11 2013/04/29 15:15:02 hk Exp $ $Id: trig.tex,v 1.2 2013/04/29 15:15:28 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.6 Einige Sätze über Kreise m Ende der letzten Sitzung hatten wir den Feuerbachkreis
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.22 2017/05/15 15:10:33 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit
Mehr8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 $Id: fourier.te,v 1.6 9/7/7 13:: hk Ep $ $Id: diff.te,v 1. 9/7/7 16:13:53 hk Ep $ 8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen 8.4 Anwendungen auf Differentialgleichungen
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 15:30:18 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.3 2013/04/12 15:30:18 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.2 Der Strahlensatz Nachdem wir in der letzten Sitzung rechtwinklige Dreiecke betrachtet haben, kommen wir nun zur Einführung der trigonometrischen
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /06/29 12:18:47 hk Exp $
$Id: quadratisch.tex,v 1.13 15/6/9 1:18:47 hk Ex $ 4 Kegelschnitte 4. Die Parabel Wir sind gerade dabei die Leitgeraden und Brennunkte einer Parabel zu bestimmen. Ist P eine Parabel, so nannten wir ein
MehrTrigonometrie. Winkelfunktionen und Einheitskreis
Trigonometrie Die Trigonometrie ist die Lehre der Winkel- oder Kreisfunktionen. Die auffälligste Eigenschaften der Funktionen der Trigonometrie ist die Periodizität: Trigonometrische Funktionen zeigen
Mehr3. Koordinatensysteme, Zeit und Kalender
3.1 Erdumlaufbahn steininger@astro.univie.ac.at Folie 1 Ellipsen: a, b sind die großen, bzw. kleinen Halbachsen Exzentrizität e = f/a A = Aphel P = Perihel Folie 2 III.1 Exzentrizität der Erdumlaufbahn
Mehr9 Differentialrechnung für Funktionen in n Variablen
$Id: diff.tex,v.7 29/7/2 3:4:3 hk Exp $ $Id: ntaylor.tex,v.2 29/7/2 3:26:42 hk Exp $ 9 Differentialrechnung für Funktionen in n Variablen 9.6 Lagrange Multiplikatoren Die Berechnung von Maxima und Minima
Mehr3. Koordinatensysteme, Zeit und Kalender
3.1 Erdumlaufbahn steininger@astro.univie.ac.at Folie 1 Ellipsen: a, b sind die großen, bzw. kleinen Halbachsen Exzentrizität e = f/a A = Aphel P = Perihel Folie 2 Exzentrizität der Erdumlaufbahn = 0,0167
MehrTrigonometrie. Mag. DI Rainer Sickinger HTL. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1 Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen
MehrDie Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher Umlaufsinn!
Berechnungen in Dreiecken Allgemeines zu Dreiecken Innenwinkelsatz α + β + γ = 180 Besondere Dreiecke Gleichschenkliges Dreieck Die Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher
Mehr3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen 3.1. Polarkoordinaten 1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x
Mehrist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( x) = f(x) ist. e x + e x = 2 2 (Substitution: a = e x )
Problemstellung. f() e + e ist symmetrisch bezüglich der y-achse, da f( ) f() ist. Es ist f () e e. Aus f () folgt ; f(). f () e + e vor.
MehrDie Entfernung der Hyaden Beispiel für die Bestimmung einer Sternstromparallaxe
Astronomisches Praktikum Aufgaben für eine Schlechtwetter-Astronomie 1 Einleitung U. Backhaus, Universität Duisburg-Essen Die Entfernung der Hyaden Beispiel für die Bestimmung einer Sternstromparallaxe
MehrGrundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 2
Grundlagen der Physik Lösung zu Übungsblatt 2 Daniel Weiss 23. Oktober 29 Aufgabe Angaben: v F = 4 km h α = 58 β = 95 v W = 54 km h Abbildung : Skizze zu Aufgabe a Wie aus Abbildung leicht ersichtlich
Mehr2. Translation und Rotation
2. Translation und Rotation 2.1 Rotation eines Vektors 2.2 Rotierendes ezugssystem 2.3 Kinetik Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-1 2.1 Rotation eines Vektors Gesucht wird die zeitliche
MehrDie allgemeine Sinusfunktion
Die allgemeine Sinusfunktion 1. Die Tageslänge(Zeitdauer zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang) an einem festen Ort verändert sich im Lauf eines Jahres. Die Graphik zeigt diese Veränderung für München.
MehrAbitur 2013 Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die
Mehr1. Schreibe die Geografischen Lageangaben in die richtigen Kästchen ein:
Lösung Das Gradnetz der Erde L1 1. Schreibe die Geografischen Lageangaben in die richtigen Kästchen ein: nördliche Breite / westliche Länge südliche Breite / östliche Länge südliche Breite / westliche
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrLösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
(Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei
MehrLösung - Serie 2. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Welche der folgenden Funktionen ( 1, 1) R sind strikt monoton wachsend?
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie.. Welche der folgenden Funktionen (, R sind strikt monoton wachsend? (a (b (c + 3 (d e (e (f arccos Keine. Auf (, 0] ist strikt monoton
MehrASTRONOMISCHE NAVIGATION
ASTRONOMISCHE NAVIGATION Zur Ortsbestimmung durch Gestirnsbeobachtung in der Seefahrt Wolfgang Steiner FH OÖ, Fakultät für Technik und Umweltwissenschaften Die Koordinaten eines Punktes B auf der Erdoberfläche:
Mehr2 Koordinatentransformationen
$Id: transform.tex,v.7 29//25 2::59 hk Exp $ $Id: kurven.tex,v.2 29//26 3:3:25 hk Exp hk $ 2 Koordinatentransformationen 2.5 Uneigentliche Rieman-Integrale Bisher haben wir das Rieman-Integral nur für
Mehr