Propädeutikum Mathematik

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1 Propädeutikum Mathematik Sommersemester 2019 Prof. Dr. Dieter Leitmann Abteilung Wirtschaftsinformatik SoSe 2019 Seite 1

2 Propädeutikum Mathematik für Wirtschaftsinformatiker (BIS) Beispiele SoSe 2019 Seite 2

3 Eingangstest Beispiel 1: In einem Land mit 20% Mehrwertsteuer kostet ein Fernseher inclusive MWSt 240,00 Geldeinheiten. Wie hoch ist der Mehrwertsteueranteil, bzw. wie hoch ist der Nettopreis? Beispiel 2: Ein Sportler läuft auf dem Hinweg seiner Laufstrecke mit einer Geschwindigkeit von 8 km/h und auf dem Rückweg derselben Strecke mit 12 km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Folie 6 SoSe 2019 Seite 3

4 1. Mengen Beispiel 1: A = Menge der natürlichen Zahlen kleiner 5 Beispiel 2: B = Menge der geraden natürlichen Zahlen kleiner 5 Beispiel 3: C = Menge der Primzahlen kleiner 10 Beispiel 4: X = Menge der am in Deutschland zugelassenen PKW Folie 8 SoSe 2019 Seite 4

5 1. Mengen (Fortsetzung) Für die Mengen aus Beispiel 1 bis 3 gilt: B A. Es gilt sogar B A : Echte Teilmenge M N M N und M N Für jede Menge M gilt: M M ; { } M Achtung: 1 A aber {1} A {1} A aber 1 A Bestimme für die Mengen aus Beispiel 1 bis 3: A C ; B C ; A B A C ; B C ; A B Folie 8 Folie 9 SoSe 2019 Seite 5

6 3. Rechenregeln für reelle Zahlen Beispiel 1: (3 + 5) + 8 = 3 + (5 + 8) = = 16 (3 5) 2 = 2 2 = 4 3 (5 2) = 3 3 = 0 oder 3 (5 2) = 3 + ( 1) (5 2) = 3 + ( 1) 5 + ( 1) ( 2) = 3 + ( 5) + 2 = 0 7 (5 2) = ( 2) = Punktrechnung vor Strichrechnung = 3 + (7 2) (3 + 7) 2 Beispiel 2: (a + b)(c + d) =? Binomische Formeln SoSe 2019 Seite 6

7 3. Rechenregeln für reelle Zahlen (Fortsetzung) Beispiel 3: (3x 2)(5 x) =? (x + y):3 = x:3 + y:3 (a + b) = a b Beispiel 4: 3xy + 5x 2 2x =? a(3 x) b(3 x) =? (x 2 + 2xy)/(x 2 4y 2 ) =? Beispiel 5: 5a [(4a 3b) (b 8a)] =? Folie 13 SoSe 2019 Seite 7

8 3. Rechenregeln für reelle Zahlen (Fortsetzung) Beispiel 6: V 2 =? ; V 3 =? ; V 6 =? ; V 9 =? T 12 =? ; T 5 =? Beispiel 7: T a T b? ggt(72, 90) =? Beispiel 8: V a V b? ; V a V b =? kgv(72, 90) =? Folie 14 Folie 14 Ü SoSe 2019 Seite 8

9 4. Bruchrechnen Kürzen: = = = = = = ggt(24, 36) =12: = = Kürzen? kgv(10,4)=20 + = + = = =? SoSe 2019 Seite 9

10 4. Bruchrechnen (Fortsetzung) Multiplikation: Division: = = = : = : = = = Doppelbruch: = : = = = = SoSe 2019 Seite 10

11 4. Bruchrechnen (Fortsetzung) Gemischter Bruch: Verwechslung mit: = + = + = = = = : =? = : =? Umwandlung in Dezimalbruch =! "? Ü SoSe 2019 Seite 11

12 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 1: = )* Beispiel 2: +, = ) Beispiel 3: = ) = 2 )7 9-. = 2( ) SoSe 2019 Seite 12

13 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 4: = = )* 4 =,-. Beispiel 5: = ) 21 1 = )(21+1) 3-2 Beispiel 6: = ) 1 27 = ) 1 7 = Folie 17 SoSe 2019 Seite 13

14 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 7: = A* Beispiel = A7 = 6! sprich: n Fakultät Beispiel 9: 9-. D D = A = A1( 1) Folie 18 SoSe 2019 Seite 14

15 5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten Beispiel 10: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Teilnehmer der ersten Reihe in unterschiedlichen Reihenfolgen anzuordnen? Folie 19 Beispiel 11: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 10 Studierenden eine Dreier-Gruppe zu bilden? Beispiel 12: Anzahl der Möglichkeiten beim Zahlenlotto? Ü SoSe 2019 Seite 15

16 6. Binomische Formeln (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 Pascalsches Dreieck: usw Folie 20 SoSe 2019 Seite 16

17 6. Binomische Formeln (Fortsetzung) Beispiel 1: 2E 3F 4 =? ; G 4E G+4E =? Beispiel 2: 9G 4 1 =? ; 4G 4 +12GH+9H 4 =? Beispiel 3: 31 2 =? ; =? ; =? Folie 21 SoSe 2019 Seite 17

18 7. Potenzen und Wurzeln Beispiel 1: 2 I = = 32 ; 2 I =. 4 J = =. 4 I =. K4 Beispiel 2: ( 1) = = = 1 Beispiel 3: ( 1) 8 = L 1, NGOOP 6 QRSGTR 1, NGOOP 6 U6QRSGTR Beispiel 4: 12E 4 F 4 V K 3(EFV) K =? Folie 22 SoSe 2019 Seite 18

19 Beispiel 5: J 32 J = 2 I = 2 I I = 2 Beispiel 6: W 3 4 =? 125. K=? Beispiel 7: X G + Y X =? E.4 =? Beispiel 8: Achtung! Beispiel 9: Vereinfache [\ ] ^ Ü SoSe 2019 Seite 19

20 8. Logarithmen Für alle x gilt 1 _ = 1, somit hat 1 _ = H für b 1 keine Lösungen. Daher kann es keinen Logarithmus zur Basis 1 geben. Zu jeder Basis a mit a > 0 und a 1gibt es einen eigenen Logarithmus O`Q [. Bestimmte Basen haben aufgrund ihrer Bedeutung eigene Namen: a = 10: dekadischer Logarithmus (Symbol oft log) a = 2: dualer Logarithmus (Symbol oft ld) a = e =2,71828 : natürlicher Logarithmus (Symbol oft ln) Eulersche Zahl R ,-2,! Folie 24 SoSe 2019 Seite 20

21 8. Logarithmen (Fortsetzung) Beispiel 1: O`Q.2 (1000) = 3, denn 10 K = 1000 Beispiel 2: O`Q K (81) = 4, denn 3 = = 81 Beispiel 3: OT(1024) = O`Q 4 (1024) = 10, denn 2.2 = 1024 Beispiel 4: Achtung! O`Q [ U+c O`Q [ U + O`Q [ c = O`Q [ Uc Ü SoSe 2019 Seite 21

22 9. Gleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 1: Drei Schwestern sind zusammen 33 Jahre alt. Die Älteste ist doppelt so alt wie die Jüngste. Die Mittlere ist zwei Jahre jünger als die Älteste. Wie alt sind die drei Geschwister? Beispiel 2: Kurz nach der Tagesschau schaut ein Fernsehzuschauer kurz auf die Wanduhr und stutzt: Sind großer und kleiner Zeiger in diesem Moment nicht exakt gleich weit von der 6 auf dem Ziffernblatt entfernt? Die Winkel scheinen in der Tat gleich groß zu sein. Aber ist das überhaupt möglich? Und falls ja: Wie lautet die genaue Uhrzeit in diesem Moment? SoSe 2019 Seite 22 Folie 28

23 Beispiel 3: Am werden 1000 Euro auf ein Sparkonto eingezahlt. Zum Jahresende werden jeweils die Zinsen gut geschrieben und weitere 100 Euro eingezahlt. Am befinden sich 1307,50 Euro auf dem Konto. Wie groß war der Zinssatz? Ü Beispiel 4: 2E+7 4E 3 = E 10 4E 5 Folie 29 Beispiel 5: 4 6 E = E Ü SoSe 2019 Seite 23

24 Beispiel 6: x 5 x 4 6x 3 = 0 Beispiel 7: x 6 35x = 0 Folie 30 Beispiel 8: x 3 6x x 6 = 0 Beispiel 9: x 3 3x = 0 Beispiel 10: x 4 10x x 2 50x + 24 = 0 Ü SoSe 2019 Seite 24

25 Beispiel 11: 5 2x-3 = 2 x+1 Beispiel 12: 5 x 3 2x = 7 x x Ü 5.1 SoSe 2019 Seite 25

26 10. Dreisatz und Prozentrechnung Beispiel 1: Ein PKW fährt mit konstanter Geschwindigkeit und legt in 20 Minuten eine Strecke von 40 km zurück. Welche Strecke legt der PKW bei Beibehaltung der Geschwindigkeit in 3½ Stunden zurück? Beispiel 2: Folie 33 Ein PKW fährt eine gegebene Strecke mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h und braucht dafür 1,5 Stunden. Mit welcher Geschwindigkeit muss der PKW fahren, um dieselbe Strecke in einer Stunde bewältigen zu können? Folie 34 SoSe 2019 Seite 26

27 10. Dreisatz und Prozentrechnung Beispiel 3: 45% der Studierenden an der Fakultät IV sind weiblich. Insgesamt gibt es 4000 Studierende an der Fakultät. Wie viele davon sind weiblich? Folie 34 Beispiel 4: 200 Euro werden auf einem Sparbuch mit 3% p.a. verzinst. Wie hoch ist der Kontostand des Sparbuches nach einem Jahr? Folie 34 SoSe 2019 Seite 27

28 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 1: 2x + 4 < 3x y Wo liegt die linke Gerade unter der rechten Geraden? Beispiel 2: _. _4 >. K Wo liegt der linke Bruch über ein Drittel? y x x Ü 6.1 SoSe 2019 Seite 28

29 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 3: 6 y 2x 2 6x + 4 < 0 In welchen Intervallen ist der Ausdruck 2x 2-6x + 4 positiv, wo ist er negativ? Beispiel 4: 2x 2 > 4x In welchen Intervallen ist der Ausdruck 2x 2-4x positiv, wo ist er negativ? y x x SoSe 2019 Seite 29

30 11. Ungleichungen mit einer Unbekannten Beispiel 5: -x 2 + 5x 6 > 0 In welchen Intervallen ist der Ausdruck -x 2 + 5x - 6 positiv, wo ist er negativ? y x Ü 6.2 SoSe 2019 Seite 30

31 12. Gleichungssysteme Beispiel 1: (1) 2x + 3y = 7 (2) 3x 2y = 4 Wo schneiden sich die Geraden? y x Beispiel 2: (1) 2x 4y = 10 (2) 3x + 6y = 15 Die Geraden sind identisch und liegen übereinander! y x SoSe 2019 Seite 31

32 12. Gleichungssysteme Beispiel 3: (1) 4x 6y = 7 (2) x + 1,5y = 4 Wo schneiden sich die Geraden? y x Beispiel 4: (1) x 2 + 3y 7 = 0 (2) 2x + y = 0 Wo schneiden sich die Kurven? Ü 6.3 y x MatheGrafix.de SoSe 2019 Seite 32

33 12. Gleichungssysteme Beispiel 5: (1) y 2 + y = 0 (2) x 2 4 = 0 Beispiel 6: (1) x 2 + 4xy + 8x = 0 (2) xy - 4 = 0 Beispiel 7: (1) x - 1 = 0 (2) xy y/x = 0 y y x x Ü 6.4 SoSe 2019 Seite 33

34 13. Grundlagen der ebenen Geometrie Beispiel 1: Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch die Punkte P = (2; 4), Q = (-1; 1) geht? Beispiel 2: Wie lautet die Geradengleichung der Geraden, die durch den Punkt P = (-1; 1) geht und die Steigung m = ½ besitzt? Ü SoSe 2019 Seite 34