1 Aussagenlogik und Mengenlehre

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1 1 Aussagenlogik und engenlehre 1.1 engenlehre Definition (Georg Cantor): nter einer enge verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von genannt werden) zu einem Ganzen. otation: Wir beschreiben eine enge durch Auflistung in geschweiften Klammern, wenn das Bildungsgesetz klar ist. Wir schreiben x falls x ein Element der enge ist, andernfalls x /. die leere enge = {1, 2, 3,...} die enge aller natürlichen Zahlen (ohne 0) 0 = {0, 1, 2, 3....} die enge der natürlichen Zahlen (mit 0) Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} die enge der ganzen Zahlen A die enge aller Autos Definition: Zwei engen sind gleich, wenn sie dieselben Objekte/Elemente enthalten. Bemerkung: In einer enge treten Elemente nicht mehrfach auf und die Reihenfolge ist gleichgültig. Also gilt z.b. {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3} = {3, 1, 1, 2}, aber {1} = {{1}}. Definition: 1) Eine Aussage ist ein sprachliches Konstrukt, welchem eindeutig entweder der Wahrheitswert wahr oder der Wahrheitswert falsch zugeordnet werden kann. 2) Eine ist ein sprachliches Konstrukt mit Variable(n), aus dem nach Einsetzen in die Variable(n) (in jedes Vorkommen der Variablen gleichen amens mit dem gleichen Wert) aus einer Grundmenge (dem niversum ) eine Aussage wird. Somit haben wir eine weitere öglichkeit Teilmengen von zu beschreiben, nämlich diejenigen Elemente von für die eine wahr ist: {x A(x)} gelesen als: Die enge aller Elemente in, für die A(x) wahr ist. =, 1 = 2 = Z, 1 < 3 wie geht es? =, x ist eine gerade Zahl x ist grün falsche Aussage wahre Aussage keine Aussage keine (niversum fehlt)

2 Bemerkung: un gibt es Elemente des niversums, für die eine A(x) wahr und Elemente für die A(x) falsch ist. Zeichnerisch stellen wir die Situation wie folgt dar. nser niversum zeichnen wir als weißes Rechteck ein. Die Elemente von, für die A(x) wahr ist, werden eingefärbt und meist durch das Innere eines Kreises symbolisiert: Für eine Aussage(form) A(x) bezeichnen wir die gegenteilige Aussage mit A(x) (nicht A(x)). A(x) ist also genau dann wahr, wenn A(x) falsch ist und falsch, wenn A(x) wahr ist. Entsprechungen von engenlehre und Aussagenlogik engenlehre Aussagen logik Die Allmenge W(x) Die universell wahre enge x = {x A(x)} die F(x) Die univers. leere falsche enge Das Komplement c x / c = {x A(x)} Haben wir nun zwei en A(x) und B(x), so können wir diese zu einer neuen verknüpfen: A(x) B(x) (A(x) und B(x)) ist genau dann wahr, wenn A(x) und B(x) beide wahr sind. A(x) B(x) (A(x) oder B(x)) ist genau falsch, wenn A(x) und B(x) beide falsch sind. A(x) B(x) A(x) B(x) A(x) B(x) A(x) w w w w f w f f w f f w f w w f f f f w Zeichnerisch sieht das wie folgt aus: Die linke enge sei = {x A(x)} und die rechte enge = {x B(x)}.

3 engenlehre Aussagenlogik = {x A(x) B(x)} = {x A(x) B(x)} Ist =, so stimmen die Wahrheitswerte von A(x) und B(x) in jedem x überein, die beiden en A(x) und B(x) heißen dann äquivalent und wir schreiben: A(x) B(x) in Wie können die beiden engen und nun verschieden sein? Es gibt vier verschiedene Fälle: = = In den ersten beiden Fällen schreiben wir auch: B(x) A(x) in (oben links) (Der Wahrheitsbereich von B(x) liegt komplett im Wahrheitsbereich von A(x), {x B(x)} {x A(x)}) A(x) B(x) in (oben rechts) (Der Wahrheitsbereich von A(x) liegt komplett im Wahrheitsbereich von B(x),{x A(x)} {x B(x)}) Wenn aus dem Kontext klar ist, welches niversum gemeint ist, läßt man das in auch wegfallen. Im Bild ist das Komplement von grau eingezeichnet. Liegt nun komplett in ( ), so ist das Komplement von größer als das Komplement von. Es gilt also c c oder anders gesagt: B(x) A(x) mgekehrt gilt das natürlich auch. Also haben wir: [A(x) B(x)] [ B(x) A(x)]

4 1.2 Quantoren Sei. Wenn wir ausdrücken wollen, daß eine A(x) wahr ist für (ausnahmslos) alle Elemente von wahr ist, so schreiben wir: x : A(x) Die Verneinung hiervon ist die Tatsache, daß es (mindestens) ein x gibt, so daß A(x) falsch ist: x : A(x) Statt können wir auch schreiben: A(x) B(x) in x : A(x) B(x) Dabei ist A(x) B(x) durch die folgende Wahrheitstabelle gegeben: A(x) B(x) A(x) B(x) w w w w f f f w w f f w Das kann man nun wie folgt einsehen: A(x) B(x) in ist falsch, wenn es ein a gibt, so daß A(a) wahr und B(a) falsch ist: a : A(a) B(a) Die Verneinung hiervon ist: a : (A(a) B(a)) Wenn man sich die Wahrheitstabelle ansieht, erkennt man, warum man so definiert: A(a) B(a) A(a) B(a) (A(a) B(a)) w w f w w f w f f w f w f f f w Funktionen Definition: Eine Funktion f ordnet jedem Element des Definitionsbereiches D genau ein Element des Wertebereiches W zu, dabei sind Definitions- und Wertebereiche engen (hier meist Teilmengen von R). Schreibweise: f : D W x f (x)

5 Definition: Für eine Funktion f mit Definitionsbereich D und Wertebereich W heißt: Bild( f ) := {w W x D : f (x) = D} W Graph( f ) := {(x, y) y = f (x)} Für eine Teilmenge heißt f 1 () := {x D y W : f (x) = y} Das rbild von unter f. Für jede Teilmenge V D heißt die Abbildung f : V W die Einschränkung von f auf V, f D. Definition: Zwei Funktionen f 1 : D 1 W 1 und f 2 : D 2 W 2 sind gleich, wenn D 1 = D 2 und W 1 = W 2 und für alle x D 1 gilt: f 1 (x) = f 2 (x). Definition: Sei f : D W eine Funktion. Dann gilt: f ist injektiv : x 1, x 2 D : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 f ist surjektiv : y W x D : y = f (x) f ist bijektiv : f ist surjektiv und injektiv Die Funktion f : R =0 R =0, x 1 x ist bijektiv, 1) injektiv: Ist f (x 1 ) = f (x 2 ), so ist 1 x1 = 1 x 2. Eindeutigkeit der multiplikativen Inversen liefert: x 1 = x 2 2) surjektiv: Zu jedem a R =0 gibt es das multiplikative Inverse a 1 = 1 a. Dann ist f (a 1 ) = 1 a 1 = (a 1 ) 1 = a. Bemerkung: Ist f : D W injektiv, so ist f : D Bild( f ) bijektiv. Bijektive Abbildungen besitzen eine mkehrabbildung f 1 : W D, f 1 (y) = x : y = f (x) Definition: Ist K ein angeordneter Körper und D K, so ist f : D K (streng) monoton steigend/fallend, wenn für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 gilt: f (x 1 ) (<) f (x 2 ) bzw. f (x) (>) f (x 2 ). (Siehe Anhang A).