Hauptprüfung Abiturprüfung Baden-Württemberg

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Gerhard Hofmann
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1 Hauptprüfung Abiturprüfung 18 Baden-Württemberg Teil 4: Hilfsmittel WTR und Merkhilfe Vektorgeometrie berufliche Gymnasien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexander Schwarz Juni 18 1

2 Lineare Algebra: Vektorgeometrie 1 Ein Flugzeug fliegt auf seiner Route über zwei verschiedene Länder hinweg. Ein Abschnitt der Flugroute kann modellhaft dargestellt werden durch g mit g:x 6 t 6 11,5 ; t wobei t die Zeit in Minuten ist. Zu Beginn (t = ) befindet sich das Flugzeug am Punkt P( ). Die x - Koordinate ist die Flughöhe über dem Meeresspiegel. Die Längeneinheit ist Kilometer (km). Die Luftraumgrenze der Länder wird durch die Ebene E mit E: x1x modelliert. 1.1 Bestimmen Sie den Ort des Flugzeugs fünf Minuten nach Beginn. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde. Begründen Sie, dass die Flughöhe in diesem Abschnitt ständig abnimmt. 1. Nehmen Sie Stellung zu folgender Aussage: Zu Beginn beträgt der minimale Abstand des Flugzeugs zur Lauftraumgrenze der Länder weniger als 5 Kilometer. 1. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem das Flugzeug die Luftraumgrenze der Länder durchstößt. Bestimmen Sie die Höhe, in der sich das Flugzeug dann befindet. ( Punkte) 1.4 Ein anderes Flugzeug ist gleichzeitig auf einer anderen Route unterwegs. Diese Route wird durch h mit h:x 56 t 6 8,5,5 ; t, modelliert. Bestimmen Sie die kleinste Entfernung der beiden Flugzeuge zueinander innerhalb des zwanzigminütigen Flugabschnitts.

3 Lösungen 1.1 Bestimmen Sie den Ort des Flugzeugs fünf Minuten nach Beginn. 1 x ,5 8,5 Nach 5 Minuten befindet sich das Flugzeug im Punkt Q(-1-8,5). Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde. 1.Möglichkeit: Berechne den Abstand von Startpunkt P zu Q. 1,5 PQ 1 (,5) 16,5 1,7 km Da diese Strecke in 5 Minuten zurückgelegt wird, wird in 1 Stunde 1,7km 1 8,64 km zurückgelegt. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt ca. 8 km/h..möglichkeit: Berechne die Länge des Richtungsvektors von g., (,5) 4,5 6,4 Die Länge des Richtungsvektors gibt an, wie viel km das Flugzeug pro Minute zurücklegt. Pro Stunde legt das Flugzeug 6,4km 6 8, 4km zurück. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs beträgt ca. 8 km/h. Begründen Sie, dass die Flughöhe in diesem Abschnitt ständig abnimmt. Das Flugzeug befindet sich im Sinkflug, da die x -Koordinate des Richtungsvektors negativ ist.

4 1. Zu Beginn beträgt der minimale Abstand des Flugzeugs zur Luftraumgrenze der Länder weniger als 5 Kilometer. x1x HNF von E: 94 x x 1 1 Abstand von P zu E: ( ) ( 6) 18 d(p,e) 49,9 km 1 1 Das Flugzeug ist damit zu Beginn weniger als 5 km von der Luftraumgrenze der Länder entfernt. 1. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem das Flugzeug die Luftraumgrenze der Länder durchstößt. Bestimmen Sie die Höhe, in der sich das Flugzeug dann befindet. E g: ( t) ( 66t) 66t11t 18t18 t 1 Einsetzen von t = 1 in die Gerade g: x ,5 6 Der Schnittpunkt lautet S( 6). Der Schnittpunkt befindet sich in einer Höhe von 6 km. Nach 1 Minuten durchdringt das Flugzeug die Luftraumgrenze der Länder. Dies geschieht in einer Höhe von 6 km. 1.4 Bestimmen Sie die kleinste Entfernung der beiden Flugzeuge zueinander innerhalb des zwanzigminütigen Flugabschnitts. Allgemeiner Flugzeugpunkt auf der Geraden g: G( t 66t 11,5t) Allgemeiner Flugzeugpunkt auf der Geraden h: H( t 566t 8,5,5t) Abstand von G und H: t ( t) 44t GH 566t ( 66t) 4 8,5,5t (11,5t),5,5t (44t) 4 (,5,5t) 16t16t 16,65t 1,5t 6,5 16,65t 1,5t 16,5 Die Funktion d(t) 16,65t 1,5t 16,5 wird minimal, wenn der Term unter der Wurzel minimal wird. 4

5 Gesucht ist der Tiefpunkt von g(t) 16,65t 1,5t 16,5 Da das Schaubild von g eine nach oben geöffnete Parabel ist, liegt auf jeden Fall ein Tiefpunkt vor. Es gilt: g(t),15t 1,5 Notwendige Bedingung: g(t),15t 1,5 t 1 Nach 1 Minuten ist der Abstand der Flugzeuge am kleinsten. Es gilt d(1) 16 4 Der minimale Abstand beträgt 4 km. 5

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