Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)

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1 Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜUNG. - LÖSUNGEN. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln. Wir unterscheiden die folgenden Ereignisse: A das Ereignis, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen das Ereignis, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen C das Ereignis, beim. Zug eine rote Kugel zu ziehen a. Das Ereignis, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen und beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, ist der Durchschnitt der Ereignisse A und. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, sind die Ereignisse A und nicht unabhängig, gilt also für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts der Multiplikationssatz: 4 P ( A = / = = = 0,09 Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt 4/, da 4 von den insgesamt Kugeln in der Urne weiß sind. Nach dem. Zug enthält die Urne noch Kugeln, davon weiße. Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, nachdem bereits die. Kugel weiß war, beträgt also /. b. Das Ereignis, beim. Zug eine weiße Kugel und beim. Zug eine rote Kugel zu ziehen, ist der Durchschnitt der Ereignisse A und C. Für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts der Ereignisse A und C gilt nach dem Multiplikationssatz: P ( A C = C / = = = 0,4 Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt wieder 4/, da 4 von den insgesamt Kugeln in der Urne weiß sind. Nach dem. Zug enthält die Urne noch Kugeln, davon weiße und unverändert 8 rote. Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine rote Kugel zu ziehen nachdem die. Kugel weiß war, beträgt also 8/. Senger Induktive Statistik

2 ÜUNG. - LÖSUNGEN c. Das Ereignis, wenigstens eine weiße Kugel zu ziehen, bedeutet beim. oder beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen und entspricht der Vereinigung der Ereignisse A und. Da die Ereignisse A und sich nicht gegenseitig ausschließen, ihr Durchschnitt also nicht leer ist, gilt für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse A und der Additionssatz: P ( A = + A = + = 0,5757 = 0,58. Zug rot weiß Zug rot A weiß 4 A Die Zahl der Fälle beträgt M = A = 4 4 = 44 = 4 4 = 44 A = 4 = 4 = und die Wahrscheinlichkeiten 44 P ( = = 44 P ( = =

3 P ( A = = ÜUNG. - LÖSUNGEN. Dreimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln. Wir unterscheiden die folgenden Ereignisse: A : weiße Kugel beim. Zug : rote Kugel beim. Zug A : weiße Kugel beim. Zug : rote Kugel beim. Zug A : weiße Kugel beim. Zug : rote Kugel beim. Zug a. Das Ereignis, nacheinander drei weiße Kugeln zu ziehen, bedeutet beim.,. und beim. Versuch eine weiße Kugel zu ziehen und entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse A, A und A. Für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts gilt der Multiplikationssatz P A A A = A A / A A / A A 4 4 = = = 0, ( Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, beträgt 4/ und die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, nachdem bereits die. Kugel weiß war, beträgt /. Nach dem. Zug enthält die Urne noch 0 Kugeln, davon weiße. Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, nachdem bereits die. und die. Kugel weiß waren, beträgt folglich /0. b. Das Ereignis, zuerst zwei rote Kugeln und dann eine weiße Kugel zu ziehen, bedeutet, beim. und. Versuch eine rote und beim. Versuch eine weiße Kugel zu ziehen und entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse, und A. Für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts gilt der Multiplikationssatz P ( A = / A / = = = = 0, Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 8/, da 8 von den insgesamt Kugeln in der Urne rot sind. Nach dem. Zug enthält die Urne noch Kugeln, davon 7 rote. Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine rote Kugel zu ziehen, nachdem bereits die. Kugel rot war, beträgt also 7/. Nach dem. Zug enthält die Urne noch 0 Kugeln, darunter noch die 4 weißen. Die Wahrscheinlichkeit, beim. Zug eine weiße Kugel zu ziehen, nachdem die. und die. Kugel rot waren, beträgt folglich 4/0.

4 ÜUNG. - LÖSUNGEN 4 c. Das Ereignis, wenigstens eine rote Kugel zu ziehen, bedeutet beim. oder. oder. Versuch eine rote Kugel zu ziehen und entspricht der Vereinigung der Ereignisse, und. Das Komplementärereignis ist das Ereignis, keine rote Kugel, d.h. drei weiße Kugeln zu ziehen. Diese Wahrscheinlichkeit läßt sich leichter berechnen und ist bereits aus Teil a. der Aufgabe bekannt. Die Wahrscheinlichkeit, wenigstens eine rote Kugel zu ziehen, ergibt sich mit Folgerung (aus den Axiomen aus der Komplementärwahrscheinlichkeit, drei weiße Kugeln zu ziehen = A A A = 0,08 = 0,98 Alternativ können wir die Wahrscheinlichkeit, wenigstens eine rote Kugel zu ziehen, auch direkt berechnen. Dazu benutzen wir den verallgemeinerten Additionssatz = + = = 0,4 + 0,54 = 0, Drei Entnahmen aus einer Packung Sicherungen (ohne Zurücklegen Die Packung enthält 0 Sicherungen, darunter 6 defekte. Wir unterscheiden die folgenden Ereignisse: A i : ganze Sicherung beim i. Zug A : defekte Sicherung beim i. Zug i a. Das Ereignis, nacheinander drei defekte Sicherungen zu ziehen, bedeutet beim.,. und beim. Versuch eine defekte Sicherung zu ziehen und entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse A, A und A. Für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts gilt der Multiplikationssatz P ( A A = = = 0,

5 ÜUNG. - LÖSUNGEN 5 b. Das Ereignis, nacheinander drei ganze Sicherungen zu ziehen, bedeutet beim.,. und beim. Versuch eine ganze Sicherung zu ziehen und entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse A, A und A. Für die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts gilt der Multiplikationssatz 4.44 P ( A A = = = 0,499 c. Das Ereignis, wenigstens eine defekte Sicherung zu ziehen, bedeutet beim. oder. oder. Versuch eine defekte Sicherung zu ziehen und entspricht der Vereinigung der Ereignisse A, A und A. Wir benutzen wieder die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses, drei ganze Sicherungen zu ziehen. Mit Folgerung ergibt sich 4. Qualitätskontrolle P ( A A A = A A A = 0,499 = 0,50 Annahmegemäß enthält die Packung 60 Einheiten eines Artikels, von denen 0%, also 6 Einheiten, defekt sind. Kontrolliert werden 5 Einheiten (natürlich ohne Zurücklegen. Die Packung wird angenommen, wenn die Stichprobe keine defekten Einheiten, also nur ganze Einheiten enthält. A i : ganze Einheit beim i. Zug (i =,..., 5 Das Ereignis, fünf ganze Einheiten zu ziehen, ist dann der Durchschnitt der Ereignisse A, A, A, A 4 und A 5. Mit dem Multiplikationssatz folgt P ( A A A A4 A5 = = 0,58 Eine Packung, die 0% Ausschuß enthält, wird bei dieser Qualitätskontrolle mit einer Wahrscheinlichkeit von 58% angenommen. 5. Zweimaliges Ziehen aus einem Skatspiel (mit Zurücklegen A : ube beim. Zug : ube beim. Zug

6 ÜUNG. - LÖSUNGEN 6 Das Ereignis, beim. Zug und beim. Zug einen uben zu ziehen, ist der Durchschnitt der Ereignisse A und. Da mit Zurücklegen gezogen wird, sind die Ereignisse A und stochastisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, einen uben beim zweiten Versuch zu ziehen, ist unabhängig davon, welche Karte beim. Versuch gezogen wurde. P ( / = = Mit dem Multiplikationssatz ergibt sich die Wahrscheinlichkeit A = = = 6. Dreimaliges Werfen eines Würfels a. 64 A i : Augenzahl 6 beim i. Wurf (i =,, Das Ereignis, nacheinander dreimal die 6 zu werfen, bedeutet beim.,. und beim. Versuch eine 6 zu werfen und entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse A, A und A. Die Ereignisse A, A und A sind stochastisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Versuch eine 6 zu werfen, ist unabhängig davon, welche Augenzahl beim. Versuch geworfen wurde und die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Versuch eine 6 zu werfen, ist unabhängig davon, welche Augenzahl beim. und. Versuch geworfen wurde. Die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts ergibt sich mit dem Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse P ( A A b. A = A A A = = : Augenzahl beim. Wurf : Augenzahl beim. Wurf : Augenzahl beim. Wurf Das Ereignis, nacheinander eine, eine und eine zu werfen, entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse, und.

7 ÜUNG. - LÖSUNGEN 7 Die Ereignisse, und sind stochastisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Versuch eine zu werfen, ist unabhängig davon, welche Augenzahl beim. Versuch geworfen wurde und die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Versuch eine zu werfen, ist unabhängig davon, welche Augenzahl beim. und. Versuch geworfen wurde. Die Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts ergibt sich mit dem Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse P ( = = = Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse in Aufgaben 5 und 6 Für alle Ereignisse in 5 und 6 gilt paarweise, daß die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten ist P ( / = 8. Ziehen aus einer Urne (mit Zurücklegen Die Urne enthält sieben weiße und drei rote Kugeln. A : weiße Kugel beim i-ten Zug ( i =,, i A : rote Kugel beim i-ten Zug ( i =,, i a. Das Ereignis, zuerst eine weiße und dann zwei rote Kugeln zu ziehen, bedeutet beim. Versuch eine weiße und beim und. und. Versuch eine rote Kugel zu ziehen und entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse A, A und A. Da mit Zurücklegen gezogen wird, sind die Ereignisse A, A und A stochastisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, beim. und. Versuch eine rote Kugel zu ziehen, ist unabhängig davon, welche Kugeln beim. und. Versuch gezogen wurden. Mit dem Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse folgt 7 6 P ( A A A = A A A = = = 0,06

8 ÜUNG. - LÖSUNGEN 8 b. Das Ereignis, keine rote Kugel zu ziehen, ist gleichbedeutend mit dem Ereignis, drei weiße Kugeln zu ziehen und entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse A, A und A. Die Wahrscheinlichkeit beträgt P ( A A A = A A A = = = 0,4 c. Das Ereignis, drei rote Kugel zu ziehen, entspricht dem Durchschnitt der Ereignisse A, A und A. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 7 P ( A A A = A A A = = = 9. Ausfallwahrscheinlichkeit eines elektrischen Systems Das elektrische System besteht aus den drei auteilen A,, C. A : auteil A defekt : auteil defekt C : auteil C defekt 0,07 a. Das Ereignis, daß alle drei Fehler gleichzeitig auftreten, ist der Durchschnitt der Ereignisse A, und C. Da die drei Fehler unabhängig voneinander auftreten, gilt der Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintretens der Ereignisse ist gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten P ( A C = C = 0, 0,0 0,0 = 0,0000 b. Das System arbeitet einwandfrei, wenn kein Fehler auftritt. Das Ereignis, daß kein auteil defekt wird, ist der Durchschnitt der Komplementärereignisse A, und C. P ( A C = C = 0,9 0,99 0,98 = 0,87

9 ÜUNG. - LÖSUNGEN 9 0. Durchfallwahrscheinlichkeit beim Diplom Der Anteil der Studenten mit erufsausbildung betrage 0%. Die Durchfallquote bei der Diplomprüfung betrage 5% für Studenten mit und 0% für Studenten ohne erufsausbildung. Wie groß ist die Durchfallwahrscheinlichkeit für einen zufällig ausgewählten Studenten? A : Student mit erufsausbildung A : Student ohne erufsausbildung : Diplom bestanden : Diplom nicht bestanden Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten betragen = 0, = 0,7 / = 0,05 / = 0, Mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt sich = / + / = 0, 0,05 + 0,7 0, = 0,05 + 0,4 = 0,55 = 5,5% Für einen zufällig ausgewählten Studenten beträgt die Wahrscheinlichkeit, in der Diplomprüfung durchzufallen, 5,5 %. M A A A durchgefallen ohne erufsausbildung A durchgefallen mit erufsausbildung

10 ÜUNG. - LÖSUNGEN 0. Ausschußwahrscheinlichkeit in der Produktion A : Videorekorder auf and I gefertigt A : Videorekorder auf and II gefertigt : Videorekorder fehlerfrei Gegeben sind folgende Wahrscheinlichkeiten 700 A = = 0, A = = 0, 000 / A = 0,95 / A = 0,90 a. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein zufällig aus der Tagesproduktion entnommenes Gerät fehlerfrei ist, ergibt sich mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit = A / A + A / A = 0,7 0,95 + 0, 0,9 = 0, ,7 = 0,95 = 9,5% b. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein fehlerhaftes Gerät auf dem Produktionsband II gefertigt wurde, ergibt sich mit dem Satz von ayes P A / = 0, 0, = = 0,065 A / A = ( A 0,0 0,065 = 0,465 = 46,5% Dabei benutzen wir die Wahrscheinlichkeit P (, daß ein zufällig aus der Tagesproduktion entnommenes Gerät fehlerhaft ist. Sie ergibt sich als Komplementärwahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig aus der Tagesproduktion entnommenes Gerät fehlerfrei ist, die wir in a. berechnet haben P ( = = 0,95 = 0,065 = 6,5%

11 ÜUNG. - LÖSUNGEN WAHRSCHEINLICHKEITSAUM /A = 0,95 A /A = 0,7 0,95 A = 0,7 A 0,05 A = 0, A 0,90 A /A = 0, 0,90 0,0. Monty-Hall-Dilemma a. Die Wahrscheinlichkeit, daß Sie gewinnen, wenn Sie an Ihrer ursprünglichen Entscheidung festhalten, beträgt /. Denn das Auto befindet sich unverändert hinter einer von drei möglichen Türen. b. Wenn Sie Ihre Entscheidung revidieren, gewinnen Sie immer dann, wenn das Auto hinter einer der beiden anderen, ursprünglich nicht gewählten Türen ist. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, beträgt in diesem Fall /.