Physikalisches Praktikum 3. Semester

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1 Torsten Leddig 16.November 2004 Mathias Arbeiter Betreuer: Dr.Hoppe Physikalisches Praktikum 3. Semester - Widerstandsmessung - 1

2 Aufgaben: 1. Brückenschaltungen 1.1 Bestimmen Sie mit der Wheatstone-Brücke die Größe eines Widerstandes den Klemmenwiderstand eines Netzwerkes 1.2 Ermitteln Sie mit einer Wechselstrombrücke die Kapazität eines Kondensators 2. Kondensatorentladung: 2.1 Bestimmen Sie den Isolationswiderstand von mindestens drei Materialien, indem Sie die Funktion U = U(U 0,R,C,t) aufnehmen, aufzeichnen und auswerten 2.2 Ermitteln Sie den Einfluss des endlichen Isolationswiderstandes ihrer Messeinrichtung auf die Resultate von 2.1, indem Sie die Entladekurve über Luft aufnehmen zuerst den Widerstand des Drahtes messen R draht = 8.62Ω maximale Spannung um 2 W nicht zu überschreiten: 1 Brückenschaltung: 1.1 Wheatstone-Brücke Vorbetrachtung / Formeln: Die Brücke sollte maximal eine Leistung von P = 2W aufnehmen! mit P = U2 max R U max = P R Draht = 2W 8.62Ω U max = 4.15V wir wählen U = 2.75V Durch den Nullabgleich und aus der kirchhoffschen Maschenregel folgt: U x = U a = U 1 = U 2 = I x R x = I a R a = I 1 R 1 = I 2 R 2 (1) aus der kirchhoffschen Knotenregel: I x = I a I 1 = I 2 (2) (1) + (2) I x R x = I x R a = I 1 R 1 = I 1 R 2 I x R x I x R a = I 1 R 1 I 1 R 2 2

3 R x = R 1 R 2 R a (3) R = ρ l A R 1 R 2 = ρl 1 A ρ l 2 A = l 1 l 2 R x = l 1 l 2 R a (4) Vergleichswerte: R x = 174.8Ω (digitales Multimeter) R W = 8.2Ω (digitales Multimeter) C = 10nF (abgelesener Wert) die Größe eines Widerstandes: Versuchsaufbau: Durchführung: Schaltung gemäß Versuchsaufbau Maximalspannung gemäß Vorbetrachtung beachten der Vergleichswiderstand R a ist so zu wählen, dass er ungfähr in der Größenordnung des zu messenden Widerstandes liegt um Inhomogenitäten des Drahtes auszugleichen, ist die Reihenfolge der Widerstände während der Messung zu variieren 3

4 Messwerte: Widerstand R a in Ω Länge l 1 in cm Länge l 2 in cm R x aus (4) l 1 l 2 vertauscht: Widerstand R a in Ω Länge l 1 in cm Länge l 2 in cm R x aus (4) R x = 10 R xi i=1 10 R x = Fehlerrechnung (im Detail): R x = R x (l 1,l 2,R a ) u Rx = R x l 1 u l 1 + R x l 2 u l 2 + R x R a u R a u R x R x = u l1 l 1 + u l2 + u Ra l 2 (für eine Einzelmessung) R a u R x R x = u l1 l 1 + u l2 l 2 + u Ra R a (für eine Mehrfachmessung) + u Rx R x Fehler durch Mehrfachmessung: u Rx = τ s Rx s R = 1 n (R xi R x ) n 1 2 i=1 4

5 (Standartabweichung der Einzelmessung) s R = 1.025Ω s R = s R n = 0.013Ω 10 = 0.324Ω (Standartabweichung vom Mittelwert) Vertrauensbereich: τ 9 = u R = 0.324Ω u R = 0.733Ω systematischer Fehler des Lineals: u R x R x = 0.4% u l1 u l2 u l1 = 0.5mm ( mm) 1mm systematischer Fehler der Widerstandsdekade: u l 1 l 1 0.2% Gesamtfehler: u Ra R a = 1%(war gegeben) u Rx R x = 0.4% % + 1% = 1.8% R x = (176 ± 4)Ω Auswertung: der durch die Brückenschaltung ermittelte Wert R x weicht um 0.8Ω vom durch ein digitales Messgerät ermittelten Wert ab die Abweichung ist somit insignifikant die Wheatstone sche Brückenschaltung scheint somit sehr gut geeignet zu sein, um unbekannte Widerstände zu ermitteln begünstigt wurde das Experiment dadurch, dass unser Vergleichswiderstand R a in der Größenordnung des gesuchten Widerstandes lag (die Abweichungen wären sonst höchstwahrscheinlich größer) 5

6 1.1.2 Klemmwiderstand eines Netzwerkes: Vorbetrachtung zum Würfel: R w = 1 5 U 1 6 I = 5 6 R R ges = 5 10Ω = 8.33Ω 6 Durchführung und Versuchsaufbau analog zu Messwerte: Widerstand R a in Ω Länge l 1 in m Länge l 2 in m R W aus (4) l 1 l 2 vertauscht: Widerstand R a in Ω Länge l 1 in m Länge l 2 in m R W aus (4)

7 R x = 8.16Ω Fehlerrechnung: (analog zu 1.1.1) u R w R w = u l1 l 1 + u l2 l 2 + s Rw = 0.069Ω u Ra R a + u Rw R w s Rw = Ω u Rw = nF u Rw = 0.05Ω u R w R w = 0.6% u Rw R w = 0.6% % + 1% = 2.0% R w = (8.2 ± 0.2)Ω Auswertung: R w mit Multimeter R w per Rechnung R w per Messung 8.2Ω 8.33Ω (8.2 ± 0.2)Ω die gemessenen, und errechneten Werte stimmen sehr genau überein die Abweichung ist insignifikant 7

8 1.2 Kapazitätsermittlung mit Hilfe einer Wechselstrombrücke: Vorbetrachtung: Wheatstone-Brücke im Wechselstromkreis: Z x Z a = Z 1 Z 2 Z = Widerstände im Wechselstromkreis Z C = χ C = i ωc daraus ergibt sich für C x : R 1 R 2 = i ωc x i ωc a = C a C x C x = R 2 R 1 C a = l 2 l 1 C a (5) Versuchsaufbau: Durchführung: Schaltung gemäß Versuchsaufbau aufbauen die Wheatstone-Brücke kann wie bei den Widerständen angewandt werden Berechnung erfolgt gemäß Abschnitt Vorbetrachtung: Messwerte: Widerstand C a in nf Länge l 1 in m Länge l 2 in m C x aus (4)

9 l 1 l 2 vertauscht: Widerstand C a in nf Länge l 1 in m Länge l 2 in m C x aus (4) C x = 10.93nF Fehlerrechnung analog zu 1.1 u C x C x = u l1 l 1 + u l2 l 2 + u Ca C a + u Cx C x s Cx = nF s C = 0.037nF u C = 0.037nF u C = 0.09nF u C x C x = 0.8% u Cx C x = 0.8% % + 1% = 2.2% C x = (10.9 ± 0.3)nF die Abweichung zum abgelesenen Wert beträgt 0.9 nf damit ist die Abweichung signifikant 9

10 2 Kondensatorentladung: Vorbetrachtung: t U(t) = U 0 e R C (6) lnu(t) = lnu 0 1 R C t als Ausgleichsgerade: lnu(t) = lnu 0 A t mit A = 1 R ges C R ges = 1 A C Anstieg (7) Bei konstanter Eingangsspannung und unveränderten physikalischen Kondensatoreinstellungen, ist der Entladevorgang nur vom Widerstand der eingelegten Materialen abhängig ist der Widerstand sehr hoch, dauert es lange bis sich der Kondensator entlädt dabei ist jedoch zu beachten, dass der Kondensator sich auch über die Luft entladen kann, wenn ein Material eingelegt ist (siehe Skizze) der Gesamtwiderstand berechnet sich somit aus einer Parallelschaltung des Widerstandes der Luft und des Widerstandes des Materials der durch lineare Regression ermittelte Widerstandswert ist demzufolge nicht der Widerstandswert des Materials, sondern der Gesamtwiderstand von Material und Luft bei Materialien mit geringem Widerstand und somit geringer Entladedauer, sind R ges R Material, da sich der Kondensator dann fast vollständig über den geringen Widerstand (des Materials) entlädt je höher der Widerstand des Materials, desto wichtiger wird es, die Entladung über die Luft mitzuberücksichtigen Versuchsaufbau: 1 R ges = 1 R Luft + 1 R Material R Material = R ges R Luft R Luft R ges (8) 10

11 2.1 Isolationswiderstand von Luft: Messwerte: gegeben: C = 970nF (1 ± 3%) Zeit t in s Spannung U in V ln U Abbildung 1: Entladekurve für Luft 11

12 aus linearer Regression: A = Ω 1 F 1 u A A = 10.2% (7) R ges1 = Ω 1 F F R ges1 = R Luft = 19.6GΩ Fehlerrechnung: u RLuft = u A R Luft A + u C C u RLuft R Luft = 10.2% + 3% = 13.2% u RLuft = 2.0 GΩ R Luft = (20 ± 2) GΩ 2.2 Isolationswiderstand verschiedener Materialien: Isolationswiderstand von ungewaschenem Stoff: Messwerte: gegeben: C = 970nF (1 ± 3%) Zeit t in s Spannung U in V lnu

13 Abbildung 2: Entladekurve von ungewaschenem Stoff aus linearer Regression: A = Ω 1 F 1 u A A = 5.6% Rechnung: (7) R ges2 = Ω 1 F F = GΩ (8) R unwashed = GΩ 19.6GΩ 19.6 GΩ GΩ R unwashed = GΩ Fehlerrechnung: u Runwashed = R unwashed R Luft u RLuft + R unwashed u Rges R ges R 2 Luft u Runwashed = (R Luft R ges ) 2 u R ges + R 2 ges (R Luft R ges ) 2 u R Luft u Rges = u A R ges A + u C C 13

14 u Rges R ges = 5.6% + 3% = 8.6% u Rges = GΩ u Runwashed = (19.6 GΩ) 2 (19.6 GΩ GΩ) GΩ + (0.362 GΩ) GΩ (19.6 GΩ GΩ) 2 u Runwashed = GΩ R unwashed = (0.37 ± 0.04) GΩ Isolationswiderstand von gewaschenem Stoff: Messwerte: gegeben: C = 970nF (1 ± 3%) Zeit t in s Spannung U in V ln U

15 Abbildung 3: Entladekurve von gewaschenem Stoff aus linearer Regression: A = Ω 1 F 1 u A A = 3.2% Rechnung: (7) R ges3 = Ω 1 F F (8) R washed = GΩ 19.6GΩ 19.6 GΩ GΩ = GΩ R washed = GΩ Fehlerrechnung: u Rwashed = R washed R Luft u RLuft + R washed u Rges R ges R 2 Luft u Rwashed = (R Luft R ges ) 2 u R ges + R 2 ges (R Luft R ges ) 2 u R Luft u Rges = u A R ges A + u C C u Rges R ges = 3.2% + 3% = 6.2% 15

16 u Rges = GΩ u Rwashed = (19.6 GΩ) 2 (19.6 GΩ GΩ) GΩ + (0.257 GΩ) GΩ (19.6 GΩ GΩ) 2 u Rwashed = GΩ R washed = (0.26 ± 0.02) GΩ 16