1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)

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1 Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus Zahlen, (hier: 5, 6, 20), Klein-Buchstaben (hier t und m) Klammern und Rechenzeichen (hier * und +). Die Buchstaben a, b, c,. x, y, z sind Platzhalter für Zahlen, man nennt sie Variable (Veränderliche). Zu jeder Variablen gehört eine Zahlenmenge, aus der man einsetzen darf, die Definitionsmenge der Variablen. Tritt dieselbe Variable mehrfach in einem Term auf, so ist stets dieselbe Zahl einzusetzen: T(x) = x² - 4x T(2) = 2² - 4 * 2 = 4 8 = - 4 Der Malpunkt zwischen Zahlen und Variablen oder Klammern oder zwischen Variablen und Klammern darf weggelassen werden, aber nicht der zwischen Zahlen. 1.2 Termumformungen Zwei Terme heißen äquivalent, wenn für alle Werte aus der Definitionsmenge die Terme denselben Wert haben. Terme können mit Hilfe der Rechengesetze (KG, AG, DG) in äquivalente Terme umgeformt werden. Typen von Termumformungen: 1) Plusklammer: Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer weggelassen werden: 3 + (8x 7y² ) = 3 + 8x 7 y² 2) Minusklammer: Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so werden alle Vorzeichen/Rechenzeichen in der Klammer umgekehrt: 3 - (8x 7y² ) = 3-8x + 7 y² 3) Multiplikation von Termen: (-7axy²)(-0,5ay)(4x²) = + 14a²x³y³ Tipp: Vorzeichen, Zahl und Variablen nacheinander berechnen. Spezialfall Potenzen: (-2x)³ = (-2x)(-2x)(-2x) = - 8x³ 4) Zusammenfassen von Summanden: Nur möglich, wenn dieselben Variablen mit demselben Exponenten vorkommen. Die Koeffizienten (d.h. die Zahlen vor den Variablen) werden addiert. 0,7x³y 3xy - 2,7 x²y + 1,4 x²y + 5xy = 0,7x³y + 2xy -1,3x²y Seite 1 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

2 5) Multiplikation von Klammern: Distributivgesetz: Faktor mal Klammer oder Klammer mal Faktor: 7x * (3x 0,8a + 1) = (3x 0,8a + 1) * 7x = 21x² 5,6ax + 7x Produkte aus Summen/Differenzen: Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert und anschließend die Produkte addiert: (7-3x)( 0,8a + 1) = 7 * (-0,8a) + 7 * 1 3x * (-0,8a) 3x * 1 = -5,6a ,4ax 3x 6) Ausklammern oder Faktorisieren: (= Umkehrung des Distributivgesetzes) Gemeinsame Faktoren einer Summe werden ausgeklammert: 21x² 5,6ax + 7x = 7x * (3x 0,8a + 1) 1.3 Gleichungen Eine Gleichung besteht aus zwei durch ein Gleichheitszeichen verbundenen Termen mit (bei uns nur) einer Variablen: Beispiel: x(3x-7,5) = 0 Die Menge der Zahlen, die man für die Variable einsetzen darf, ist die Grundmenge der Gleichung. Beispiel: 1 3 (x- )=10 x x+5 hat die Grundmenge Q\ { 0;-5 } Eine Zahl aus der Grundmenge heißt Lösung der Gleichung, wenn die beiden Terme rechts und links des Gleichheitszeichens beim Einsetzen der Zahl denselben Wert haben. Lösungen einer Gleichung findet man: 1) durch Probieren: (x-1)² = 4 hat die Lösungsmenge L= 3;-1 } 2) wenn eine Seite der Gleichung = 0 ist durch Faktorisieren der anderen Seite: x² + 2x = 0, also x(x+2) = 0 hat die Lösungsmenge L= 0;-2 } { { Seite 2 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

3 3) durch systematisches Vereinfachen der Gleichungen durch die folgenden Äquivalenzumformungen (die hinter dem Strich angegeben sind): a) auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Zahl oder derselbe Term addiert oder subtrahiert: aus 7x 2 = wird: 7x = 28 b) beide Seiten der Gleichung werden mit derselben Zahl (nicht Null) multipliziert. x 2 aus = 5 7 *5 wird: 5x 2 i = 5 10 oder x= c) beide Seiten der Gleichung werden durch dieselben Zahl (nicht Null) dividiert: aus: 7x = 28 :7 wird: x = 4 Vor dem Vereinfachen durch Termumformung muss man oft noch Klammern auflösen und Terme zusammenfassen: 2 1,5(x-3)= x+2, ,5x-4,5= x+2,1 5 Klammer auflösen * 10 Achtung: Distributivgesetz! 15x-45=4x+21-4x 11x-45= x=66 :11 x=6 oder L= { 6 } Seite 3 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

4 2 Geometrie Bei Konstruktionen werden folgende Farben verwendet: Gegebene Punkte/Linien: blau Zwischenergebnis: schwarz Zwischenergebnis: grün Zu konstruierende Punkte/Linien: rot 2.1 Achsenspiegelung Zwei Punkte P und P liegen symmetrisch zu einer Geraden a, wenn die Symmetrieachse a die Strecke [PP ] senkrecht halbiert. Sind P und P symmetrisch zur Achse a, so hat jeder Punkt Q der Achse a denselben Abstand von P wie von P. Alle Punkte, die von P denselben Abstand haben wie von P, liegen auf der Symmetrieachse a. In zwei Figuren, die bzgl. einer Achse a symmetrisch sind, sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß. Seite 4 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

5 2.1.1 Grundkonstruktionen zur Achsenspiegelung: Konstruktion des Bildpunkts: Wähle zwei Punkte M1 und M2 auf der Achse. Zeichne den Kreis um M1 durch P und den Kreis um M2 durch P. Die beiden Kreise schneiden sich in (P und in) P Konstruktion der Symmetrieachse: Zeichne zwei Kreise mit demselben, genügend großen Radius um P und um P. Die Gerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreise ist die Symmetrieachse a. Seite 5 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

6 2.2 Punktspiegelung Zwei Punkte P und P liegen symmetrisch zu einem Symmetriezentrum Z, wenn der Punkt Z der Mittelpunkt der Strecke [PP ] ist. In zwei Figuren, die bzgl. eines Symmetriezentrums Z symmetrisch sind, sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß Grundkonstruktionen zur Punktspiegelung: Konstruktion des Bildpunkts: Verbinde P und Z über Z hinaus. Der Kreis um Z durch P schneidet die Verbindungsgerade im Punkt P. Seite 6 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

7 Konstruktion des Symmetriezentrums: Verbinde P und P. Zeichne um P und P zwei Kreise mit gleichem, genügend großem Radius. Die Verbindungsgerade g der Schnittpunkte der beiden Kreise schneidet die Gerade PP im Symmetriezentrum Z. Seite 7 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

8 2.3 Symmetrische Vierecke Parallelogramm Raute punktsymmetrisch bzgl. des Diagonalenschnittpunkts S gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang gegenüberliegende Winkel sind gleich groß benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180 ist ein Parallelogramm zusätzlich: vier gleich lange Seiten achsensymmetrisch bzgl. der Diagonalen Rechteck Quadrat ist ein Parallelogramm zusätzlich: vier rechte Winkel achsensymmetrisch bzgl. der Mittelsenkrechten der Seiten Hat alle Eigenschaften von Rechteck und Raute, also: vier rechte Winkel vier gleich lange Seiten je zwei Seiten sind parallel punktsymmetrisch bzgl. des Diagonalenschnittpunkts S achsensymmetrisch bzgl. der Diagonalen und der Mittelsenkrechten der Seiten Seite 8 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

9 achsensymmetrisch bzgl. einer Diagonalen, daher: je zwei gleich lange Seiten zwei gleich große Winkel Trapez Drachenviereck Gleichschenkliges Trapez zwei Seiten sind parallel die den Schenkel anliegenden Winkel ergänzen sich zu 180 im allgemeinen keine Symmetrie hat alle Eigenschaften des Trapezes zusätzlich: die Mittelsenkrechte der beiden parallelen Seiten ist Symmetrieachse, daher: zwei Seiten (Schenkel) sind gleich lang je zwei Winkel sind gleich groß Seite 9 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

10 2.4 Winkel Winkel an einer Geradenkreuzung: Winkel an einer Doppelkreuzung (eine Gerade schneidet zwei parallele Geraden) Winkelsumme im Dreieck Die Winkel α und β (bzw. β und γ,.) heißen Nebenwinkel. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 β und δ (bzw. α und γ) heißen Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind gleich groß Die Winkel α1 und α2 (bzw. β1 und β2, ) heißen Stufenwinkel. Stufenwinkel sind gleich groß. Die Winkel α1 und γ2 (bzw. β2 und δ1, ) heißen Wechselwinkel. Wechselwinkel sind Scheitelwinkel von Stufenwinkeln und daher gleich groß. die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 α + β + γ = 180 Winkelsumme im Viereck die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360 α + β + γ + δ = 360 Seite 10 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

11 2.5 Besondere Dreiecke Gleichschenkliges Dreieck achsensymmetrisch bzgl. einer Mittelsenkrechten/Höhe/ Winkelhalbierenden daher: zwei gleich lange Seiten (Schenkel a = b) zwei gleich große Winkel (Basiswinkel α = β) Gleichseitiges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck achsensymmetrisch bzgl. jeder Mittelsenkrechten/Höhe/ Winkelhalbierenden daher: drei gleich lange Seiten (a = b = c) drei gleich große Winkel (α = β = γ = 160 ) die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse (hier: Seite c) die beiden anderen Seiten heißen Katheten (hier: die Seiten a und b) die beiden nicht-rechten Winkel sind immer spitz und ergänzen sich zu 90 (α + β = 90 ) Seite 11 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

12 Rechtwinkliges Dreieck mit Thaleskreis Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn C auf dem Kreis mit der Strecke [AB] als Durchmesser liegt. 2.6 Kongruenz Zwei deckungsgleiche Figuren heißen kongruent. In kongruenten Figuren sind entsprechende Strecken gleich lang und entsprechende Winkel gleich groß. Die Flächen kongruenter Figuren sind gleich groß. Zwei n-ecke sind kongruent, wenn alle entsprechenden Seiten und Winkel gleich groß sind. Seite 12 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

13 2.7 Kongruenzsätze für Dreiecke Für zwei Dreiecke kann man in vier Fällen schon bei Übereinstimmung von drei Größen sagen, dass sie kongruent sind, also in allen entsprechenden Seiten und Winkeln übereinstimmen: SSS Satz: Wenn Dreiecke in drei Seitenlängen übereinstimmen, so sind sie kongruent. (a=a, b=b, c=c ) SWS Satz: WSW Satz: SsW Satz: Wenn Dreiecke in zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, so sind sie kongruent. (b = b, c = c, α = α ) Wenn Dreiecke in zwei Winkeln und einer Seitenlänge übereinstimmen, so sind sie kongruent. (α = α, β = β, b = b ) Wenn Dreiecke in zwei Seitenlängen und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, so sind sie kongruent. (b = b, c = c, β = β ) Seite 13 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

14 2.8 Grundkonstruktionen Mittelsenkrechte Die Symmetrieachse (s. oben) der Punkte A und B ist die gesuchte Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Zeichne um den Scheitelpunkt des Winkels einen Kreis, der die beiden Schenkel in zwei Punkten schneidet. Zeichne um die beiden Schnittpunkte zwei Kreise mit gleichem, genügend großem Radius. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte ist die Winkelhalbierende. Seite 14 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE

15 2.8.3 Lot fällen Spiegele P an der Achse g. Die Verbindungslinie PP ist das gesuchte Lot l Lot errichten Die Winkelhalbierende (s. oben) des 180 -Winkels bei P ist das gesuchte Lot Tangente an einen Kreis (durch Kreispunkt) Errichte das Lot (s.oben) Im Punkt P auf die Gerade MP. Seite 15 von 15 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7. KLASSE