Statistik eindimensionaler Größen
|
|
- Hermann Wetzel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Statistik eindimensionaler Größen Michael Spielmann Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe der eindimensionalen Statistik 2 2 Grundbegriffe 2 3 Aufbereiten der Stichprobe 3 4 Die Kennzahlen Mittelwert und Streuung, erste Beschreibungen Mittelwert Streuung Die Kennzahlen Mittelwert und Streuung, praktisches Rechnen Schreibweise, Abkürzungen arithmetisches Mittel Varianz Sätze und Formeln 6 7 Beispiele 7 8 Streuungsintervalle 9 1
2 1 Aufgabe der eindimensionalen Statistik In vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik will man mit Hilfe der beschreibenden (deskriptiven) Statistik Aussagen über eine Grundgesamtheit machen, die zu groß ist, um sie ganz zu erfassen. Man untersucht stattdessen eine Stichprobe. Sie wird geordnet, klassiert, graphisch veranschaulicht, zahlenmäßig ausgewertet. Dazu berechnet man Häufigkeiten, Mittelwerte, Streuungen. Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt an, wie oft das Ereignis tatsächlich eingetreten ist. Die relative Häufigkeit benötigt man als Vergleichszahl bei Serien oder Zufallsexperimenten unterschiedlichen Umfangs. Unter 100 Versuchen trat 55-mal G ein, dann ist die absolute Häufigkeit 55 und die relative Häufigkeit ist = 55% = 0, 55. Die Tabelle, die die Stichprobenwerte und die zugeordneten (relativen) Häufigkeiten enthält, nennt man Häufigkeitsverteilung. Der Mittelwert als einzelner Zahlenwert soll die Stichprobe repräsentieren. Die Information der gesamten Stichprobe wird dadurch reduziert zugunsten einer kompakten Darstellung. Streuungen, also Abweichungen vom Mittelwert oder Spannweiten, bestimmt man, wenn man Stichproben gleichen Mittelwertes vergleichen will oder über die Struktur der Stichprobe mehr aussagen will als der Mittelwert alleine zulässt. Mit dem Rückschluss auf die Grundgesamtheit beschäftigt sich die Beurteilende Statistik. Sie benötigt zur theoretischen Begründung die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit Hilfe der induktiven Statistik schließt man von der Stichprobe zurück auf die Grundgesamtheit. Dies erfordert Kenntnisse aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und soll hier auch nicht weiter untersucht werden. 1. Erheben der Stichprobe 2. Verarbeiten der Stichprobe Stichprobe Grundgesamtheit 3. Rückschluss auf Grundgesamtheit Abbildung 1: von der Grundgesamtheit zur Stichprobe 2 Grundbegriffe Stichprobe Urliste Sammlung von Daten ungeordnete Auflistung der Daten 2
3 Häufigkeitstabelle Merkmalwert Stichprobenumfang tabellarische Zusammenstellung der Daten sortiert und mit Häufigkeiten versehen ein Wert der Urliste Anzahl der Merkmalwerte 3 Aufbereiten der Stichprobe Gewöhnlich ist eine Stichprobe in Form einer ungeordneten Liste, der sogenannten Urliste, gegeben. Die Anzahl der Elemente ist der Umfang der Stichprobe. Enthält die Urliste wenige Elemente, sortiert man sie. Enthält sie viele Elemente, fasst man sie mittels einer Strichliste in Klassen zusammen. Die Strichliste ist schon eine Häufigkeitstabelle. Beispiel Klassenarbeit: Urliste Strichliste ll lllll llllllll lllllll ll l Die Häufigkeitstabelle wird oft auch vertikal angeordnet. x i n i Gleiche Werte werden also mit der entsprechenden Häufigkeit gerechnet. Man kann Häufigkeitstabellen in einem Histogramm darstellen. Dazu werden die Merkmalwerte klassiert, man teilt sie in eine gewisse Anzahl von Klassen ein, damit das Histogramm nicht zu sehr ausfasert. Das ist hier wegen der geringen Zahl der Notenstufen nicht geschehen. Anzahl Noten Abbildung 2: Notenverteilung 3
4 4 Die Kennzahlen Mittelwert und Streuung, erste Beschreibungen 4.1 Mittelwert Wenn man zur Darstellung im Histogramm die Stichprobe klassiert, verschenkt man Informationen zugunsten eines Gewinnes an Übersicht. Der Mittelwert soll die Stichprobe repräsentieren.,,mittelwerte kann man auf sehr unterschiedliche Weise bestimmen. Das arithmetische Mittel findet man durch Addieren aller Werte und anschließendes Dividieren durch den Stichprobenumfang. In der Nähe des arithmetischen Mittels wird das Maximum des Histogramms liegen. Der Median ist der Wert, unter dem 50% aller Werte liegen. Er kann bestimmt werden, wenn man die Stichprobe sortiert hat. Der Modalwert ist der Merkmalwert mit der größten Häufigkeit. Er ist in der Häufigkeitstabelle sofort abzulesen. 4.2 Streuung Ein Mittelwert sagt allein nicht genug über die Stichprobe aus. Zwei Stichproben können bei gleichem Mittelwert sehr unterschiedlich verteilt sein. Wir benötigen daher ein Streuungsmaß. Ein grobes Maß zur Einschätzung der Streuung in der Stichprobe ist die Spannweite, die Differenz aus größtem und kleinstem Wert. Passend zum Median nutzt man die sogenannten Quartile, die angeben, bis zu welchem Wert 25% bzw. 75% der Werte vorkommen. Streuung misst man mittels Abweichungen, also Differenzen. Die Summe der Abweichungen vom arithmetischen Mittel ergibt immer den Wert Null. Will man mit Differenzen die Streuung messen, dann müssen die negativen Vorzeichen verschwinden. Das kann man durch den absoluten Betrag erreichen. Die Summe der linearen betragsmäßigen Abweichungen ist minimal, wenn man sie auf den Median bezieht. Auch durch Quadrieren gehen die Vorzeichen verloren. Wir benutzen die Summe der quadrierten Abweichungen als Streuungsmaß. Die mittlere Summe der quadrierten Abweichungen passt zum arithmetischen Mittel. Sie ist minimal, wenn man sie auf das arithmetische Mittel bezieht. 5 Die Kennzahlen Mittelwert und Streuung, praktisches Rechnen 5.1 Schreibweise, Abkürzungen x i Merkmalwerte i laufender Index n Stichprobenumfang n i absolute Häufigkeit, Besetzungszahl h i relative Häufigkeit, h i = n i /n 4
5 x arithmetisches Mittel, gelesen,,x quer s 2 x mittlere quadratische Abweichung, Varianz, gelesen,,s quadrat x s x Standardabweichung, Wurzel aus der Varianz Summe der quadrierten Abweichungen, nicht gemittelt S xx 5.2 arithmetisches Mittel Definition 5.1 Den Term nennen wir arithmetisches Mittel. x n (x 1 + x x n ) n In klassierter Darstellung mit k Klassen x n (x 1 n 1 + x 2 n x k n k ) n x i x i n i Oft rechnet man mit relativen Häufigkeiten, statt die absoluten Häufigkeiten zu benutzen; man kann dann Stichproben unterschiedlichen Umfangs besser vergleichen. Wir ziehen also den Stichprobenumfang in die Summe hinein. 5.3 Varianz x n x i n i = x i ni n = x i h i Definition 5.2 Den Term s 2 x ( (x1 x) 2 + (x 2 x) (x n x) 2) (x i x) 2 nennen wir Varianz. In klassierter Darstellung mit k Klassen s 2 x ( (x1 x) 2 n 1 + (x 2 x) 2 n (x k x) 2 ) n k (x i x) 2 n i Manchmal findet man auch den Faktor 1 n zur Bildung der Varianz. Wenn wir theoretische Verteilungen untersucht haben, können wir begründen, dass im 1 allgemeinen der Faktor n 1 bessere Werte (im Sinne der Theorie) liefert. Sollten die Merkmalwerte anders bezeichnet sein, z.b. mit y i, passen wir die Schreibweise der Varianz an. s 2 y (y i y) 2 5
6 Im ersten Moment fehlt uns jedes Verständnis für den Sinn der Varianz. Und sie hat dazu noch den Nachteil, die Dimension der Werte zu verändern. Was bedeutet bei einer Widerstandsmessung in Ω eine Varianz von 3Ω 2? Um in die Dimension der Stichprobe zurückzukommen, radizieren wir, berechnen also die sogenannte Standardabweichung s x. Diese allerdings lässt schon brauchbare Aussagen zu: im Intervall x ± s x liegen bei einer,,normalen Verteilung 67% aller Werte. Man kann also mit s x die Normalität einer Verteilung kontrollieren. Das weisen wir später nach. 6 Sätze und Formeln Satz 6.1 Die Summe der linearen Abweichungen bezogen auf das arithmetische Mittel ist Null. Beweis 6.1 (x i x) = x i x = n x n x = 0 Satz 6.2 Eine lineare Transformation transformiert den Mittelwert genau so wie die Merkmalwerte. z i = ax i + b z = ax + b Beweis 6.2 z n n z i n (ax i + b) ax i + 1 n b = a 1 x i + 1 n n n b = ax + b Zur Berechnung der Varianz wird der Mittelwert von jedem Merkmalwert subtrahiert; er ist meistens kein glatter Wert. Die Differenz wird quadriert, was die Anzahl der Nachkommastellen verdoppelt. Dies führt zu unhandlichen Zwischenergebnissen und bei zu frühzeitigem Runden zu Fehlern. Wir nutzen eine andere Formel zur praktischen Berechnung der Varianz. Satz 6.3 s 2 x ( (x i x) 2 n ) x 2 i nx 2 6
7 Beweis 6.3 s 2 x (x i x) 2 (x 2 i 2x i x + x 2 ) ( n ) x 2 i 2x i x + x 2 ( n ) x 2 i 2nx 2 + nx 2 ( n ) x 2 i nx 2 Was passiert mit der Varianz unter linearer Transformation? Satz 6.4 Auf die Varianz wirkt sich nur der Faktor der linearen Transformation aus. z i = ax i + b s 2 z = a 2 s 2 x Beweis 6.4 s 2 z (z i z) (ax i + b (ax + b)) 2 (ax i ax) 2 a2 (x i x) 2 = a 2 s 2 x Das ist ein naheliegendes Ergebnis, da eine additive Konstante die Verteilung nur in der Horizontalen verschiebt ohne die Form zu beeinflussen, eine multiplikative Konstante aber zu einer Streckung führt. 7 Beispiele Eine Tabelle zur Mittelwertberechnung könnte folgendermaßen aufgebaut sein. i x i n i x i n i 1 17, ,5 2 19, ,0 3 20, ,0 4 22, ,0 5 23, ,5 Summen n =
8 x = 20, 8 Die x i verlangen aber geradezu nach einer Transformation. z i = (x i 20, 5) : 1, 5 i x i n i z i z i n i 1 17, , , , , Summen n = z 8 90 = 0, 2 x i = z i 1, , 5 x = 0, 2 1, , 5 = 20, 8 Mit dieser Tabelle wollen wir die folgende vergleichen; sie hat denselben Mittelwert. i x i n i z i z i n i 1 17, , , , , Summen n = Wir sehen, dass sich die Werte wesentlich enger um den Mittelwert scharen. Wir benötigen daher zur angemessenen Beschreibung der Stichprobe ein Abweichungsmaß. Die Tabelle wird um zwei Spalten erweitert, sodass die Varianz und daraus die Standardabweichung ermittelt werden kann. Zur Abschreckung rechnen wir zunächst ohne Transformation. i x i n i x i n i (x i x) 2 (x i x) 2 n i 1 17, ,5 10,89 76, , ,0 3,24 51, , ,0 0,09 2, , ,0 1,44 37, , ,5 7,29 80,19 Summen ,4 s 2 x 248, 4 = 2, s x, 6706 Natürlich ist es besser, wenn wir transformieren und auch noch die praktischere Varianzformel benutzen. 8
9 i x i n i z i z i n i zi 2 zi 2n i 1 17, , , , , Summen s 2 z 89 ( , 22 ) 110, 4, s 2 x, 5 2 1, 2404 = 2, 7910 s x, 6706 Wir berechnen Varianz und Standardabweichung der zweiten Tabelle. Sie müssten kleiner sein. i x i n i z i z i n i zi 2 zi 2n i 1 17, , , , , Summen s 2 z 89 ( , 22 ) 48, 8 = 0, Streuungsintervalle s 2 x, 5 2 0, 5438, 2236 s x, 1062 Oben fragten wir uns, welchen Sinn die Standardabweichung hat. Wenn wir sie als Maß für die Stichprobe nutzen in dem Sinne, dass man die Skala der Werte ausgehend vom Mittelwert mit Schritten der Standardabweichung neu einteilt, dann erhält man im allgemeinen für das Intervall x±s einen Anteil von 67%, im Intervall x ± 2s einen Anteil von 95%, im Intervall x ± 3s einen Anteil von 99%. Dies gilt für,,normal verteilte Stichproben, also solche, deren Histogramm etwa glockenförmig ist. 9
Deskriptive Statistik
Deskriptive Statistik 1 Ziele In der deskriptiven (=beschreibenden) Statistik werden Untersuchungsergebnisse übersichtlich dargestellt, durch Kennzahlen charakterisiert und grafisch veranschaulicht. 2
MehrStatistik K urs SS 2004
Statistik K urs SS 2004 3.Tag Grundlegende statistische Maße Mittelwert (mean) Durchschnitt aller Werte Varianz (variance) s 2 Durchschnittliche quadrierte Abweichung aller Werte vom Mittelwert >> Die
MehrLage- und Streuungsparameter
Lage- und Streuungsparameter Beziehen sich auf die Verteilung der Ausprägungen von intervall- und ratio-skalierten Variablen Versuchen, diese Verteilung durch Zahlen zu beschreiben, statt sie graphisch
Mehrabsolute Häufigkeit h: Anzahl einer bestimmten Note relative Häufigkeit r: Anzahl einer bestimmten Note, gemessen an der Gesamtzahl der Noten
Statistik Eine Aufgabe der Statistik ist es, Datenmengen zusammenzufassen und darzustellen. Man verwendet dazu bestimmte Kennzahlen und wertet Stichproben aus, um zu Aussagen bzw. Prognosen über die Gesamtheit
MehrInhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5
Inhaltsverzeichnis Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite 1.0 Erste Begriffsbildungen 1 1.1 Merkmale und Skalen 5 1.2 Von der Urliste zu Häufigkeitsverteilungen 9 1.2.0 Erste Ordnung
MehrPhilipp Sibbertsen Hartmut Lehne. Statistik. Einführung für Wirtschafts- und. Sozialwissenschaftler. 2., überarbeitete Auflage. 4^ Springer Gabler
Philipp Sibbertsen Hartmut Lehne Statistik Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler 2., überarbeitete Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil I Deskriptive Statistik 1 Einführung
MehrMaße der zentralen Tendenz
UStatistische Kennwerte Sagen uns tabellarische und graphische Darstellungen etwas über die Verteilung der einzelnen Werte einer Stichprobe, so handelt es sich bei statistischen Kennwerten um eine Kennzahl,
Mehr3.5 Beschreibende Statistik. Inhaltsverzeichnis
3.5 Beschreibende Statistik Inhaltsverzeichnis 1 beschreibende Statistik 26.02.2009 Theorie und Übungen 2 1 Die Darstellung von Daten 1.1 Das Kreisdiagramm Wir beginnen mit einem Beispiel, welches uns
MehrEinführung in Quantitative Methoden
Einführung in Quantitative Methoden Mag. Dipl.Ing. Dr. Pantelis Christodoulides & Mag. Dr. Karin Waldherr SS 2014 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden- 2.VO 1/57 Die Deskriptivstatistik
MehrGrundlagen der. h Rückblick. Dr. K. Krüger. Grundwissen Mathematik
Grundlagen der Schulmathematik h Rückblick Sommersemester 2009 Dr. K. Krüger Grundwissen Mathematik (DGS) Folie aus der 1. Vorlesung Inhalte 1. Beschreibende Statistik Mauna Loa Co2 1200 Streudiagramm
MehrEinführung in Quantitative Methoden
Einführung in Quantitative Methoden Mag. Dipl.Ing. Dr. Pantelis Christodoulides & Mag. Dr. Karin Waldherr SS 2011 Christodoulides / Waldherr Einführung in Quantitative Methoden- 2.VO 1/62 Summenzeichen
Mehr1.5 Erwartungswert und Varianz
Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere: a) durchschnittlicher Wert Erwartungswert, z.b.
MehrDie ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist.
.3. Stochastik Grundlagen Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil
MehrDer Modus ist. Der Median ist. 3. Übung. Aufgabe 1. a) der häufigste Wert. b) der Wert unter dem 50 % aller anderen Werte liegen.
3. Übung Aufgabe 1 Der Modus ist a) der häufigste Wert. b) der Wert unter dem 50 % aller anderen Werte liegen. c) der Durchschnitt aller Werte. d) der Wert mit der größten Häufigkeitsdichte. e) der Schwerpunkt
Mehrbenötigen. Die Zeit wird dabei in Minuten angegeben und in einem Boxplot-Diagramm veranschaulicht.
, D 1 Kreuze die richtige Aussage an und stelle die anderen Aussagen richtig. A Das arithmetische Mittel kennzeichnet den mittleren Wert einer geordneten Datenliste. B Die Varianz erhält man, wenn man
MehrWeitere Lagemaße: Quantile/Perzentile I
3 Auswertung von eindimensionalen Daten Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quantile/Perzentile I Für jeden Median x med gilt: Mindestens 50% der Merkmalswerte sind kleiner gleich x med und ebenso mindestens
MehrStochastik Deskriptive Statistik
Stochastik Deskriptive Statistik 3 % 3 8% % % % 99 997 998 999 3 7 8 % 99 997 998 999 3 7 8 8 8 99 997 998 999 3 7 8 99 99 998 8 8 Typ A % Typ B % 998 Typ C % 99 3 Diese Diagramme stellen weitgehend dieselben
MehrÜbungsblatt 3 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker
Übungsblatt 3 zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik für Informatiker 08.11.01 Modell Temperatur unter Last Anschluss in Grad Celsius in Grad Fahrenheit Corsair Force 10
Mehr3) Lagemaße: Mittelwert, Median, Modus
Thema: Beschreibende Statistik LE.1: 40 min Seite 9 3) Lagemaße: Mittelwert, Median, Modus Lagemaße In der beschreibenden Statistik werden Daten erhoben. Diese Daten weisen eine bestimmte Verteilung auf.
MehrLösungen. w58r4p Lösungen. w58r4p. Name: Klasse: Datum:
Testen und Fördern Name: Klasse: Datum: 1) Ermittle jeweils das arithmetische Mittel. Ordne die Datenerhebungen nach der Größe der arithmetischen Mittel. Beginne mit dem Größten. 45, 39, 44, 48, 42, 39,
MehrÜbersicht Teil 1 - deskriptive Statistik
1 Übersicht Teil 1 - deskriptive Statistik x = (x 1, x,, x n ) Stichprobe vom Umfang n Die x i heißen Stichprobenwerte Alle unterschiedlichen Werte, die unter den x i vorkommen, nennt man Merkmalswerte
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 3. Vorlesung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalte der heutigen Vorlesung Ziel: Daten Modellbildung Probabilistisches Modell Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Im ersten
MehrInhaltsverzeichnis DESKRIPTIVE STATISTIK. 1 Grundlagen Grundbegriffe Skalen... 15
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen... 13 1.1 Grundbegriffe...13 1.2 Skalen... 15 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen...16 2.1 Häufigkeiten... 16 2.1.1 Grundbegriffe... 16 2.1.2
MehrDeskriptive Statistik. (basierend auf Slides von Lukas Meier)
Deskriptive Statistik (basierend auf Slides von Lukas Meier) Deskriptive Statistik: Ziele Daten zusammenfassen durch numerische Kennzahlen. Grafische Darstellung der Daten. Quelle: Ursus Wehrli, Kunst
MehrEinführung in die computergestützte Datenanalyse
Karlheinz Zwerenz Statistik Einführung in die computergestützte Datenanalyse 6., überarbeitete Auflage DE GRUYTER OLDENBOURG Vorwort Hinweise zu EXCEL und SPSS Hinweise zum Master-Projekt XI XII XII TEIL
MehrStatistik. Datenanalyse mit EXCEL und SPSS. R.01denbourg Verlag München Wien. Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz. 3., überarbeitete Auflage
Statistik Datenanalyse mit EXCEL und SPSS Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz 3., überarbeitete Auflage R.01denbourg Verlag München Wien Inhalt Vorwort Hinweise zu EXCEL und SPSS Hinweise zum Master-Projekt
Mehr1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, , 31, 46, 35, 31, 42, 51, , 42, 33, 46, 33, 44, 43
1) Ermittle jeweils das arithmetische Mittel. Ordne die Datenerhebungen nach der Größe der arithmetischen Mittel. Beginne mit dem Größten. 1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, 31 2 35, 31, 46, 35, 31, 42, 51,
MehrStatistik. Einführung in die com putergestützte Daten an alyse. Oldenbourg Verlag München B , überarbeitete Auflage
Statistik Einführung in die com putergestützte Daten an alyse von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz 4., überarbeitete Auflage B 366740 Oldenbourg Verlag München Inhalt Vorwort XI Hinweise zu EXCEL und SPSS XII
Mehr1 GRUNDLAGEN Grundbegriffe Skalen...15
Inhaltsverzeichnis 1 GRUNDLAGEN...13 1.1 Grundbegriffe...13 1.2 Skalen...15 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 EINDIMENSIONALE HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN...16 2.1 Häufigkeiten...16 2.1.1 Grundbegriffe...16 2.1.2 Klassieren
Mehr(x i x) 2. (x i a) 2, x i x med. x i a. i=1. 3 Lage- und Streuungsmaße 134
Lagemaße als Lösung eines Optimierungsproblems 3.1 Lagemaße Gegeben sei die Urliste x 1,...,x n eines intervallskalierten Merkmals X, die zu einer Zahl a zusammengefasst werden soll. Man könnte sagen,
MehrStatistik für NichtStatistiker
Statistik für NichtStatistiker Zufall und Wahrscheinlichkeit von Prof. Dr. Karl Bosch 5., verbesserte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis 1. ZufalLsexperimente und zufällige Ereignisse
MehrLage- und Streuungsmaße
Statistik 1 für SoziologInnen Lage- und Streuungsmaße Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Streuungsmaße Statistische Maßzahlen, welche die Variabilität oder die Streubreite in den Daten messen. Sie beschreiben
MehrDeskriptive Statistik
Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik: Ziele Daten zusammenfassen durch numerische Kennzahlen. Grafische Darstellung der Daten. Quelle: Ursus Wehrli, Kunst aufräumen 1 Modell vs. Daten Bis jetzt
Mehr1.5 Erwartungswert und Varianz
Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen (Bildbereich also reelle Zahlen, metrische Skala) durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere:
MehrBeispiel 4 (Einige weitere Aufgaben)
1 Beispiel 4 (Einige weitere Aufgaben) Aufgabe 1 Bestimmen Sie für die folgenden Zweierstichproben, d. h. Stichproben, die jeweils aus zwei Beobachtungen bestehen, a) den Durchschnitt x b) die mittlere
MehrDeskriptive Statistik Erläuterungen
Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Erläuterungen Lernmaterial zum Modul - 40601 - der Fernuniversität Hagen 7 2.1 Einfache Lageparameter aus einer gegebenen Messreihe ablesen Erklärung
Mehr1.1 Graphische Darstellung von Messdaten und unterschiedliche Mittelwerte. D. Horstmann: Oktober
1.1 Graphische Darstellung von Messdaten und unterschiedliche Mittelwerte D. Horstmann: Oktober 2014 4 Graphische Darstellung von Daten und unterschiedliche Mittelwerte Eine Umfrage nach der Körpergröße
MehrDiese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Aufgrund einer statistischen Untersuchung entsteht eine geordnete bzw. ungeordnete, die durc
SS 2017 Torsten Schreiber 222 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Aufgrund einer statistischen Untersuchung entsteht eine geordnete bzw. ungeordnete, die durch Summierung je Ausprägung
MehrDeskription, Statistische Testverfahren und Regression. Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien
Deskription, Statistische Testverfahren und Regression Seminar: Planung und Auswertung klinischer und experimenteller Studien Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik: beschreibende Statistik, empirische
MehrWahrscheinlichkeitsverteilungen
Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet
Mehr1. Maße der zentralen Tendenz Beispiel: Variable Anzahl der Geschwister aus Jugend '92. Valid Cum Value Frequency Percent Percent Percent
Deskriptive Statistik 1. Verteilungsformen symmetrisch/asymmetrisch unimodal(eingipflig) / bimodal (zweigipflig schmalgipflig / breitgipflig linkssteil / rechtssteil U-förmig / abfallend Statistische Kennwerte
Mehr1) Warum ist die Lage einer Verteilung für das Ergebnis einer statistischen Analyse von Bedeutung?
86 8. Lageparameter Leitfragen 1) Warum ist die Lage einer Verteilung für das Ergebnis einer statistischen Analyse von Bedeutung? 2) Was ist der Unterschied zwischen Parametern der Lage und der Streuung?
MehrBitte am PC mit Windows anmelden!
Einführung in SPSS Plan für heute: Grundlagen/ Vorwissen für SPSS Vergleich der Übungsaufgaben Einführung in SPSS http://weknowmemes.com/generator/uploads/generated/g1374774654830726655.jpg Standardnormalverteilung
MehrBrückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften
Peter von der Lippe Brückenkurs Statistik für Wirtschaftswissenschaften Weitere Übungsfragen UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz Mit UVK/Lucius München UVK Verlagsgesellschaft mbh Konstanz und München
MehrW-Seminar: Versuche mit und am Menschen 2017/2019 Skript
3. Deskriptive Statistik Die deskriptive (auch: beschreibende) Statistik hat zum Ziel, [ ] Daten durch Tabellen, Kennzahlen [ ] und Grafiken übersichtlich darzustellen und zu ordnen. Dies ist vor allem
MehrTeil / Ein paar statistische Grundlagen 25. Kapitel 1 Was Statistik ist und Warum sie benötigt Wird 2 7
Inhaltsverzeichnis Einführung 21 Über dieses Buch 21 Törichte Annahmen über den Leser 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23 Teil I: Ein paar statistische Grundlagen 23 Teil II: Die beschreibende Statistik
Mehr4 Statistische Maßzahlen
4 Statistische Maßzahlen 4.1 Maßzahlen der mittleren Lage 4.2 Weitere Maßzahlen der Lage 4.3 Maßzahlen der Streuung 4.4 Lineare Transformationen, Schiefemaße 4.5 Der Box Plot Ziel: Charakterisierung einer
MehrStatistik. Datenanalyse mit EXCEL und SPSS. Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz. R.Oldenbourg Verlag München Wien. Von
Statistik Datenanalyse mit EXCEL und SPSS Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz R.Oldenbourg Verlag München Wien Inhalt Vorwort Hinweise zu EXCEL und SPSS Hinweise zum Master-Projekt XI XII XII TEIL I GRUNDLAGEN
Mehr3. Lektion: Deskriptive Statistik
Seite 1 von 5 3. Lektion: Deskriptive Statistik Ziel dieser Lektion: Du kennst die verschiedenen Methoden der deskriptiven Statistik und weißt, welche davon für Deine Daten passen. Inhalt: 3.1 Deskriptive
MehrDas arithmetische Mittel. x i = = 8. x = 1 4. und. y i = = 8
.2 Einige statistische Maßzahlen.2. Die Schusser in zwei Familien Die vier Kinder der Familie Huber haben x = 5, x 2 = 7, x 3 = 9, x 4 = Schusser. Die vier Kinder der Familie Maier haben y = 7, y 2 = 7,
MehrBeispiel 2 (Einige Aufgaben zu Lageparametern) Aufgabe 1 (Lageparameter)
Beispiel (Einige Aufgaben zu Lageparametern) Aufgabe 1 (Lageparameter) 1 Ein Statistiker ist zu früh zu einer Verabredung gekommen und vertreibt sich nun die Zeit damit, daß er die Anzahl X der Stockwerke
MehrÜber dieses Buch Die Anfänge Wichtige Begriffe... 21
Inhalt Über dieses Buch... 12 TEIL I Deskriptive Statistik 1.1 Die Anfänge... 17 1.2 Wichtige Begriffe... 21 1.2.1 Das Linda-Problem... 22 1.2.2 Merkmale und Merkmalsausprägungen... 23 1.2.3 Klassifikation
Mehrhtw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: BESCHREIBENDE STATISTIK
htw saar 1 EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK: BESCHREIBENDE STATISTIK htw saar 2 Grundbegriffe htw saar 3 Grundgesamtheit und Stichprobe Ziel: Über eine Grundgesamtheit (Population) soll eine Aussage über ein
Mehr1 EINLEITUNG Allgemeines Kapitelübersicht Gebrauch dieses Buches Verwenden zusätzlicher Literatur...
Inhaltsverzeichnis 1 EINLEITUNG... 1 1.1 Allgemeines... 1 1.2 Kapitelübersicht... 2 1.3 Gebrauch dieses Buches... 3 1.4 Verwenden zusätzlicher Literatur... 4 DESKRIPTIVE STATISTIK 2 GRUNDLAGEN... 5 2.1
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung 3 1 Inhalt der heutigen Übung Vorrechnen der Hausübung B.7 Beschreibende Statistik Gemeinsames Lösen der Übungsaufgaben C.1: Häufigkeitsverteilung C.2: Tukey
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 1
SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das
MehrLösungsskizzen zur Präsenzübung 02
Lösungsskizzen zur Präsenzübung 02 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 20/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 09. November 20 von:
MehrDeskriptive Statistik Aufgaben und Lösungen
Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Aufgaben und en Lernmaterial zum Modul - 40601 - der Fernuniversität Hagen Inhaltsverzeichnis 1 Daten und Meßskalen 5 1.1 Konkrete Beispiele...................................
MehrWiederholung. Statistik I. Sommersemester 2009
Statistik I Sommersemester 2009 Statistik I (1/21) Daten/graphische Darstellungen Lage- und Streuungsmaße Zusammenhangsmaße Lineare Regression Wahrscheinlichkeitsrechnung Zentraler Grenzwertsatz Konfidenzintervalle
MehrDr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Übungsblatt 2. Statistik
Dr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen 6.10.2016 Hochschule Esslingen Übungsblatt 2 Statistik Stichworte: arithmetischer Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, empirischer
MehrGünther Bourier. Beschreibende Statistik. Praxisorientierte Einführung - Mit. Aufgaben und Lösungen. 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage
i Günther Bourier Beschreibende Statistik Praxisorientierte Einführung - Mit Aufgaben und Lösungen 12., überarbeitete und aktualisierte Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1 Einführung
MehrVorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf. Vorlesung 04 Mathematische Grundlagen II,
Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf 1 Was sollen Sie heute lernen? 2 Agenda Wiederholung stetige Renditen deskriptive Statistik Verteilungsparameter
Mehr3.2 Streuungsmaße. 3 Lage- und Streuungsmaße 133. mittlere Variabilität. geringe Variabilität. große Variabilität 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.
Eine Verteilung ist durch die Angabe von einem oder mehreren Mittelwerten nur unzureichend beschrieben. Beispiel: Häufigkeitsverteilungen mit gleicher zentraler Tendenz: geringe Variabilität mittlere Variabilität
Mehr3. Deskriptive Statistik
3. Deskriptive Statistik Eindimensionale (univariate) Daten: Pro Objekt wird ein Merkmal durch Messung / Befragung/ Beobachtung erhoben. Resultat ist jeweils ein Wert (Merkmalsausprägung) x i : - Gewicht
MehrAufgabe 3 Bei 16 PKWs desselben Typs wurde der Benzinverbrauch pro 100 km gemessen. Dabei ergab sich die folgende Urliste (in Liter pro 100km):
Mathematik II für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 21.02.19 Übung 1 (für Pharma/Geo/Bio/Stat) Uni Basel Besprechung der Lösungen: 26./27. Februar 2019 in den Übungsstunden Bestimmen Sie zu den folgenden
MehrDeskriptive Statistik Auswertung durch Informationsreduktion
Deskriptive Statistik Auswertung durch Informationsreduktion Gliederung Ø Grundbegriffe der Datenerhebung Total-/Stichprobenerhebung, qualitatives/quantitatives Merkmal Einteilung der Daten (Skalierung,
MehrStatistik. Ronald Balestra CH St. Peter
Statistik Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 17. Januar 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Statistik 1 1.1 Beschreibende Statistik....................... 1 1.2 Charakterisierung von Häufigkeitsverteilungen...........
MehrFachrechnen für Tierpfleger
Z.B.: Fachrechnen für Tierpfleger A10. Statistik 10.1 Allgemeines Was ist Statistik? 1. Daten sammeln: Durch Umfragen, Zählung, Messung,... 2. Daten präsentieren: Tabellen, Grafiken 3. Daten beschreiben/charakterisieren:
MehrJosefPuhani. Kleine Formelsammlung zur Statistik. 10. Auflage. averiag i
JosefPuhani Kleine Formelsammlung zur Statistik 10. Auflage averiag i Inhalt- Vorwort 7 Beschreibende Statistik 1. Grundlagen 9 2. Mittelwerte 10 Arithmetisches Mittel 10 Zentral wert (Mediän) 10 Häufigster
MehrAngewandte Statistik 1
Angewandte Statistik 1 Beschreibende und Explorative Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Zufallsvariablen und Statistische Maßzahlen -Wichtige Verteilungen - Beurteilende Statistik -Vertrauensintervalle
MehrDidaktisches Seminar über Stochastik. Themen: ffl Korrelation von zwei Zufallsvariablen
Didaktisches Seminar über Stochastik Themen: ffl Gemeinsame Verteilung von zwei Zufallsvariablen ffl Lineare Regression ffl Korrelation von zwei Zufallsvariablen Michael Ralph Pape Mai 1998 1 1 GEMEINSAME
MehrBio- Statistik 1. mit 87 Abbildungen, 40 Tabellen und 102 Beispielen
Bio- Statistik 1 Beschreibende und explorative Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen - Statistische Maßzahlen - Wichtige Verteilungen - Beurteilende Statistik - Vertrauensintervalle
MehrStochastik für die Naturwissenschaften
Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 2. Beschreibende Statistik (descriptive Statistics) Literatur Kapitel 2 * Storrer: Kapitel 29-31 * Stahel: Kapitel 1-3 * Statistik in Cartoons:
MehrAnteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen. Anteile Häufigkeiten Verteilungen
DAS THEMA: VERTEILUNGEN LAGEMAßE - STREUUUNGSMAßE Anteile Häufigkeiten Verteilungen Lagemaße Streuungsmaße Merkmale von Verteilungen Anteile Häufigkeiten Verteilungen Anteile und Häufigkeiten Darstellung
MehrLagemasse und Streuung
Lagemasse und Streuung Benjamin Schlegel 07. März 2016 Lagemasse sagen etwas über die Lage und das Zentrum der Daten aus, Streuungsmasse, wie die Daten um dieses Zentrum gestreut sind. Lagemasse Lagemasse
Mehr5.4 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion diskreten Zufallsvariablen stetigen Zufallsvariablen Verteilungsfunktion
5. Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion gibt an welche Wahrscheinlichkeit sich bis zu einem bestimmten Wert der Zufallsvarialben X kumuliert Die Verteilungsfunktion F() gibt an, wie groß die die
MehrBeschreibende Statistik
Beschreibende Aufgaben der beschreibenden : Erhebung von Daten Auswertung von Daten Darstellung von Daten Erhebung von Daten Bei der Erhebung von Daten geht es um die Erfassung von Merkmalen (Variablen)
MehrBOXPLOT 1. Begründung. Boxplot A B C
BOXPLOT 1 In nachstehender Tabelle sind drei sortierte Datenreihen gegeben. Zu welchem Boxplot gehört die jeweilige Datenreihe? Kreuze an und begründe Deine Entscheidung! Boxplot A B C Begründung 1 1 1
MehrErwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung?
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Von Florian Modler In diesem Artikel möchte ich einen kleinen weiteren Exkurs zu meiner Serie Vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben
MehrKapitel 2. Mittelwerte
Kapitel 2. Mittelwerte Im Zusammenhang mit dem Begriff der Verteilung, der im ersten Kapitel eingeführt wurde, taucht häufig die Frage auf, wie man die vorliegenden Daten durch eine geeignete Größe repräsentieren
MehrKapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße. x mod (lies: x-mod) Wofür? Lageparameter. Modus/ Modalwert Zentrum. Median Zentralwert
Kapitel 5 Kenngrößen empirischer Verteilungen 5.1. Lagemaße Wofür? Lageparameter Modus/ Modalwert Zentrum Median Zentralwert Im Datensatz stehende Informationen auf wenige Kenngrößen verdichten ermöglicht
MehrLösungsvorschläge zur Klausur Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (Sommersemester 2013)
Lösungsvorschläge zur Klausur Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik (Sommersemester 203) Aufgabe (9 Punkte) Ein metrisches Merkmal X sei in einer Grundgesamtheit vom Umfang n = 200 diskret klassiert.
MehrGliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung A. Einführung: 1. Versuchsplanung 2. Merkmalsauswahl 3. Skalenniveaus 4. Durchführung B. Beschreibende (deskriptive) Statistik C. Schließende Statistik Fehler 1. und 2. Art Testverfahren
MehrHerzlich willkommen zur Vorlesung Statistik. Streuungsmaße oder die Unterschiedlichkeit der Daten nebst kurzen Ausführungen zu Schiefe und Wölbung
FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer Statistik 1 Herzlich willkommen zur Vorlesung Statistik smaße oder die Unterschiedlichkeit der Daten nebst kurzen Ausführungen zu Schiefe und Wölbung FB 1 W. Ludwig-Mayerhofer
MehrRtattiematische Zenchem) und Abkürzungen 11
Inhaltsverzeichnis Rtattiematische Zenchem) und Abkürzungen 11 1 Grundbegriffe der Mengenlehre 13 1.1 Mengen und Elemente von Mengen 13 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 16 1.2.1 Gleiche und gleichmächtige
MehrTabellarische und graphie Darstellung von univariaten Daten
Part I Wrums 1 Motivation und Einleitung Motivation Satz von Bayes Übersetzten mit Paralleltext Merkmale und Datentypen Skalentypen Norminal Ordinal Intervall Verältnis Merkmalstyp Diskret Stetig Tabellarische
Mehr4 Statistische Maßzahlen
4 Statistische Maßzahlen 4.1 Maßzahlen der mittleren Lage 4.2 Weitere Maßzahlen der Lage 4.3 Maßzahlen der Streuung 4.4 Lineare Transformationen, Schiefemaße 4.5 Der Box Plot Ziel: Charakterisierung einer
MehrEine zweidimensionale Stichprobe
Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,
MehrDeskriptive Statistik
Deskriptive Statistik Lösungen+ Aufgabe 1.1 (a) Sammelnde Statistik: Wahl einer zufälligen Stichprobe aus der Grundgesamtheit. (b) Beschreibende (deskriptive) Statistik: Aufbereitung der Stichprobe (oder
MehrÜ B U N G S S K R I P T S T A T I S T I K
Ü B U N G S S K R I P T S T A T I S T I K A. Ploner H. Strelec C. Yassouridis Universität für Bodenkultur Department für Raum, Landschaft und Infrastruktur Institut für Angewandte Statistik & EDV Peter-Jordan-Strasse
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 9
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 9 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 06. Juni 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung
MehrFragebogen zur Standortbestimmung von Zürcher Volksschulen: Ermittlung und Darstellung von Ergebnissen der einzelnen Schulen
ETH Zürich Seminar für Statistik Fragebogen zur Standortbestimmung von Zürcher Volksschulen: Ermittlung und Darstellung von Ergebnissen der einzelnen Schulen Dr. Werner Stahel Seminar für Statistik, ETH
MehrMathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt
MehrMathematische Statistik. Zur Notation
Mathematische Statistik dient dazu, anhand von Stichproben Informationen zu gewinnen. Während die Wahrscheinlichkeitsrechnung Prognosen über das Eintreten zufälliger (zukünftiger) Ereignisse macht, werden
MehrKennwerte zur Charakterisierung von Datenreihen. Mittelwerte
Kennwerte zur Charakterisierung von Datenreihen Um die häufig großen Datenmengen von Stichproben übersichtlich zu machen, lassen sich Kennwerte berechnen, welche diese Daten repräsentieren und charakterisieren.
MehrGrundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik
INSTITUT FÜR STOCHASTIK WS 2007/08 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 1 Dr. B. Klar Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik Musterlösungen
Mehr