UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

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1 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis und Integrltrnsformtionen Lösungsvorschläge zum 4. Übungsbltt Aufgbe Die homogene Gleichung y = besitzt ds chrteristische Polynom p(λ = λ 3 = (λ (λ + λ + mit den einfchen Nullstellen λ = und λ,3 = ± 3 i. Somit ist φ (x = e λx = e x, φ (x = e x/ cos ( 3 x, φ3 (x = e x/ sin ( 3 x ein zugehöriges Fundmentlsystem, und die llgemeine Lösung der homogenen Gleichung lutet y = c φ +c φ +c 3 φ 3 mit c, c, c 3 R. D die rechte Seite der inhomogenen Gleichung die Gestlt q(xe x ht, wobei q ein Polynom vom Grd ist, und eine Nullstelle von p ist, önnen wir eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung mit dem entsprechenden Anstz y p (x = x + bx + c erhlten (vgl. Abschnitt 7.8. Dieser liefert p y p = (x + bx + c! = + x, und wir schließen =, b = und c =, beommen lso y p (x = x. Die llgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lutet somit y(x = x + c e x + e x/[ c cos ( 3 x + c3 sin ( ] 3 x (c, c, c 3 R. b Hier ht ds chrteristische Polynom p(λ = λ die einfchen Nullstellen und, d. h. die homogene Gleichung besitzt die llgemeine Lösung y(x = c e x +c e x mit c, c R. Die rechte Seite der inhomogenen Gleichung ist diesml von der Form q(xe x mit einem Polynom q vom Grd. D eine Nullstelle von p ist, mchen wir den Anstz y p (x = (x + be x für eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Es gilt dnn und dmit ergibt sich y p = e x + (x + be x = (x + + be x, p = e x + (x + + be x = (4x be x, p y p = (4x be x (x + be x = (3x be x! = xe x, ws uf = 3 und b = 4 9 führt. Mit y p(x = ( 3 x 4 9 ex erhält mn ls llgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung schließlich y(x = ( 3 x 4 9 ex + c e x + c e x (c, c R. c Die homogene Gleichung hben wir schon in b behndelt. D die rechte Seite der inhomogenen Gleichung diesml xe x lutet und eine Nullstelle des chrteristischen Polynoms p

2 mit Vielfchheit ν = ist, reicht es hier nicht, einen Anstz der Form (x + be x zu mchen; vielmehr muss mn y p (x = x ν (x + be x = (x + bxe x betrchten. Dnn ist y p = (x + be x + (x + bxe x = ( x + ( + bx + b e x, p = (x + + be x + ( x + ( + bx + b e x = ( x + (4 + bx + + b e x, d. h. mit diesem Anstz ht mn p y p = ( x + (4 + bx + + b x bx e x = (4x + + be x! = xe x. Koeffizientenvergleich liefert = 4 und b = 4. Die llgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung lutet lso y(x = 4 (x xe x + c e x + c e x (c, c R. Dmit ergibt sich y( = c + c und y (x = 4 (x ex + 4 (x xe x + c e x c e x, lso y ( = 4 +c c. Beides soll = sein, ds bedeutet c = c = 8. Ds Anfngswertproblem ht somit die Lösung y(x = 4 (x xe x + 8 ex 8 e x = 8 (x x + e x 8 e x. d Ds chrteristische Polynom p(λ = λ 3 4λ + 3λ = λ(λ 4λ + 3 = λ(λ (λ 3 ht die einfchen Nullstellen, und 3, d. h. die homogene Gleichung besitzt y(x = c e x + c e x + c 3 e 3x (c, c, c 3 R ls llgemeine Lösung. Die rechte Seite der inhomogenen Gleichung ist von der Form ( cos(x + 4 sin(x e x. D + i eine Nullstelle von p ist, önnen wir ls Anstz für eine Lösung der inhomogenen Gleichung y p (x = cos(x + b sin(x wählen. Es gilt y p = sin x + b cos x, p = cos x b sin x, p = sin x b cos x, und dmit ergibt sich p 4 p + 3y p = ( + 4b 3 sin x + ( b b cos x! = cos x + 4 sin x. Dies liefert die Gleichungen + 4b = 4 und 4 + b =, lso = und b =. Somit hben wir y p (x = sin x und ls llgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung y(x = sin x + c + c e x + c 3 e 3x (c, c, c 3 R. Bemerung: Mit z := y önnte mn uch z 4z + 3z = cos x + 4 sin x betrchten und die ermittelte Lösung z dnn noch integrieren. Aufgbe Die -periodische Funtion f : R C sei definiert durch f (x := x für lle x [,. Lut Beispiel ( in 8.5 gilt für die Fourieroeffizienten von f ˆf ( = 3 und ˆf ( = ( für.

3 Wegen ˆf( = x e ix dx = ˆf( = ˆf ( = 6 Somit lutet die Fourierreihe von f in omplexer Form = x e ix dx = ˆf (, Z, ergibt sich und ˆf( = ˆf ( = ( für. ˆf(e ix = 6 + = ( e ix. Die Koeffizienten und b in der reellen Drstellung der Fourierreihe nn mn folgendermßen gewinnen + ( cos(x + b sin(x = = ˆf( + ˆf( ( N und b = i ( ˆf( ˆf( ( N. { 3 für = In unserem Flle ergibt sich b = ( N und = ( für ( N. Bemerung: ( D f stetig und stücweise gltt ist, stellt die Fourierreihe von f nch dem Stz in 8.8 die Funtion f in llen Punten x R dr. ( Aus der Linerität des Integrls folgt: Sind α, β C und f, f : R C -periodische Funtionen, die über [, ] integrierbr sind, so gilt für die Fourieroeffizienten von αf + βf (αf + βf ˆ( = α ˆf ( + β ˆf ( für lle Z. Eine entsprechende Aussge gilt uch für die reellen Fourieroeffizienten von αf + βf (αf + βf = α (f + β (f für lle N, b (αf + βf = αb (f + βb (f für lle N. Nun zu g: Wegen g(x = für x [, und g(x = + x für x [, folgt für jedes Z ĝ( = g(xe ix dx = ( e ix dx + ( + xe ix dx = ( e ix dx + xe ix dx ; für = ergibt sich hier ( + = + ; sonst gilt (prtielle Integrtion = + = i( (x e ix i Dmit ist die Fourierreihe von g = x= ( ĝ(e ix = + + e ix i dx = ( ( e ix i ( i = i( = + (. ( i( + ( e ix. Als Koeffizienten in der reellen Form der Fourierreihe + = ( cos(x+b sin(x erhält mn = + und = ĝ( + ĝ( = (( /( sowie b = i(ĝ( ĝ( = ( + /. 3 x=

4 Nun zur Funtion h: Zur Abwechslung berechnen wir diesml diret die Koeffizienten und b in der Cosinus/Sinus-Drstellung der Fourierreihe. D h eine gerde Funtion ist (wegen h( x = cos( x = cos( x = h(x für lle x (,, gilt b = für lle N. Für N ist = Zweimlige prtielle Integrtion liefert I := cos( x cos(x dx h(x cos(x dx = = [ sin( x cos(x] x= = ( cos( + cos( + cos( x cos(x dx. sin( x( sin(x dx sin( x sin(x dx = 4( + ( [ cos( x sin(x] x= = 4( + 4 I. cos( x( cos(x dx Somit hben wir die Gleichung I = 4( + 4 I ; dies bedeutet I = 4( /( 4. Dmit ennen wir = I / und es ergibt sich die Fourierreihe von h in reeller Form + 4( ( 4 cos(x. = Hierus nn mn die Fourieroeffizienten ĥ( berechnen ĥ( = ib = = ( ( 4 und ĥ( = + ib wobei b :=, N. Dher lutet die Fourierreihe von h in omplexer Form Aufgbe 3 = Für die Fourieroeffizienten c n von f gilt c n = f(xe inx dx = ( Für n = ergibt sich wegen e ix = c = ( [αx ] [ βx + ( ( 4 eix. und für n liefert prtielle Integrtion xe inx dx = xe inx e inx in xe inx dx = in in Für lle n folgt dmit [ ( ix c n = α n + n ] = α n α ( i n + n = = ( ( 4, αxe inx dx + βxe inx dx, n Z. = ( α + β (β α =, 4 ] [ ( ix e inx + β x= e in + β ( e inx ix ( in = n + n e inx. n + n ( i n + n e inx ] x= e in β n, 4

5 wegen e in = e in = ( n lso = (α β( ( n n + ( n (α + βi. n Wir fssen zusmmen: (β α c =, c n = (α β( ( n 4 n + i ( n (α + β (n. n Für die Fourieroeffizienten n und b n in der reellen Drstellung der Fourierreihe von f gilt n = c n + c n und b n = i(c n c n, wegen c n = c n (nur, d f reellwertig! lso n = c n + c n = Re c n und b n = i(c n c n = Im c n. Dmit folgt = Re c = (β α/ und n = (α β( ( n n, b n = ( n (α + β n (n N. b Die Fourierreihe von f ist genu dnn eine reine Sinusreihe, wenn n = für lle n N sind, wenn lso α = β gilt. Alterntiv: Die Fourierreihe von f ist genu dnn eine reine Sinusreihe, wenn f eine ungerde Funtion ist, wenn lso α = β gilt. c Die Funtion f ist -periodisch und stücweise gltt, dher wird sie in llen Stetigeitsstellen durch ihre Fourierreihe drgestellt, in Sprungstellen dgegen onvergiert die Fourierreihe gegen den Mittelwert des lins- und des rechtsseitigen Grenzwerts (vgl. Stz in 8.8. Ist α = β, so ist f uf gnz R stetig, d. h. die Funtion wird uf gnz R durch ihre Fourierreihe drgestellt. Ist dgegen α β, so ht f in den Punten x = ( + ( Z Sprungstellen mit f(x + = f(x = α β = f(x, ist sonst ber stetig. Dher wird in diesem Flle f nur in den Punten x R \ { ( + : Z } durch ihre Fourierreihe drgestellt. In den Punten x onvergiert die Fourierreihe gegen (f(x + + f(x = (β α f(x. Aufgbe 4 Eine reine Cosinusreihe ergibt sich für gerde Funtionen; lso setzen wir f zu einer periodischen, gerden Funtion F : R R fort: { x F (x :=, x [, ], x, x (,, F (x + := F (x. Für die Fourieroeffizienten und b von F gilt dnn b = und = F (x cos(x dx = F (x cos(x dx = Es ist = (x dx = [ x x] = ( x cos(x dx = x sin(x sin(x Folglich ist für N = ( x sin(x (x cos(x dx. = und für hben wir dx = x sin(x + cos(x. + cos(x cos(x dx = x= (. Ds bedeutet n = und n+ = 4/((n + für jedes n N. D F stetig und stücweise gltt ist, stellt die Fourierreihe die Funtion F uf gnz R dr, es gilt lso x = n= 4 (n + cos((n + x für lle x [, ]. 5

6 b Eine reine Sinusreihe erhlten wir, wenn wir f zu einer ungerden Funtion F : R R fortsetzen: x, x (,, F (x := x = oder x = F (x + := F (x. x +, x (,, Dnn gilt = für lle N und b = F (x sin(x dx = für lle N. Prtielle Integrtion liefert x sin(x dx = x cos(x cos(x + und es folgt b = ( x cos(x + sin(x = ( + cos(x x= F (x sin(x dx = x= dx = x cos(x sin(x dx = ( + ( (x sin(x dx + sin(x, = ( + Also ist b n = und b n = /n für lle n N. D F stücweise gltt ist, wird die Funtion F in llen Stetigeitsstellen durch ihre Fourierreihe drgestellt; wir erhlten lso x = sin(nx für lle x (,. n n= In den Stellen x = onvergiert die Fourierreihe gegen (F (++F ( = ( + =. Aufgbe 5 Setzen wir in die Drstellung us 4 b x = /4 ein, so ergibt sich 4 = n sin(n/ = n= Die erste Reihe ht lso den Wert /4. Setzen wir in die Drstellung us 4 x = ein, so ergibt sich = 4 (n + = 4 ( n= Die zweite Reihe ergibt lso /8. Aufgbe 6 Annhme: Es gibt eine -periodische, über [, ] integrierbre Funtion f : R C mit reellen Fourieroeffizienten = ( N und b = ( N. Die Besselsche Ungleichung besgt = ˆf( f = f(x dx <. Dher folgt wegen ˆf( =, ˆf( = ( ib = i und ˆf( = ( + ib = i N > = ˆf( = lim K K = K ˆf( = lim K = K ( ˆf( + ˆf( = lim. K K = (für lle d.h. die Konvergenz der hrmonischen Reihe. Dies ist ein Widerspruch! Deshlb existiert eine -periodische, über [, ] integrierbre Funtion, welche die Fourierreihe = besitzt. 6 sin(x,

7 Aufgbe 7 Wir zeigen zunächst für jedes R + f(x dx = f(x dx. ( Sei dzu R beliebig. Aufgrund der -Periodizität von f gilt f(x = f(x für lle x R. Dher erhlten wir mit der Substitution t = x, dt = dx + f(x dx = + f(x dx = f(t dt. Addition von f(x dx uf beiden Seiten ergibt nch den Rechenregeln für (Riemnn- Integrle + f(x dx = f(x dx + + f(x dx = f(x dx + f(x dx = f(x dx, lso (. Um die Identität + f(x dx = f(x dx für ein beliebiges R zu zeigen, ersetzen wir in der Gleichung ( durch (dies ist zulässig, weil ( j für lle R gilt und erhlten + f(x dx = Setzen wir in ( speziell =, so beommen wir f(x dx. ( f(x dx = + f(x dx ( = f(x dx. Aufgbe 8 Sei f : R C eine zweiml stetig differenzierbre und -periodische Funtion. Bezeichnen c := f(xe ix dx, Z, die Fourieroeffizienten von f, so gibt es nch dem Stz in 8.8 die Drstellung f(x = c e ix für lle x R. = D f stetig differenzierbr und -periodisch ist, gilt nch dem Drstellungsstz in 8.8 f (x = γ e ix für lle x R, = wobei γ := f (xe ix dx, Z, die Fourieroeffizienten von f sind. Zum Nchweis der behupteten Identität, müssen wir lso γ = ic für lle Z zeigen. Für Z \ {} erhlten wir mit Hilfe von prtieller Integrtion γ = f (xe ix dx = [ f(xe ix ] x= } {{ } =, d -per. Im Fll = ergibt sich wegen der -Periodizität von f γ = + f (x dx = [ ] f(x = = i c. f(xie ix dx = ic. 7