Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten

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1 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Statistische Entscheidungsverfahren Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten auf der Basis unsicherer (zufälliger) Daten Beispiel: (mittlere) Trockenzeit eines Lackes laut Hersteller: 10 min. N = 50 Trockenzeiten aus Versuch: X 1,..., X N Entscheide zwischen 1) Akzeptiere Herstellerangabe Einsatz des Lackes in der Produktion. 2) Herstellerangabe erscheint unglaubhaft Konkurrenzprodukt Entscheidungsverfahren: X N 11 min 1) X N > 11 min 2)

2 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.2 Beispiel: Identifizierung eines berechtigten Nutzers durch Sensormaus Entscheide zwischen 1) Nutzer wird als berechtigt erkannt und erhält Zugang 2) Nutzer wird zurückgewiesen Zwei Fehlertypen: I: Unberechtigter Nutzer wird akzeptiert II: Berechtigter Nutzer wird zurückgewiesen Ziel: Entscheidungsverfahren auf der Grundlage der Sensormessung, das mit hoher Wahrscheinlichkeit richtig entscheidet. Ws(Fehler I) 10 6 Ws(Fehler II) 10 5 (durch Tests widerlegt)

3 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Entscheidung zwischen zwei möglichen Mittelwerten Beispiel: Empfang eines zeitdiskreten binären Signals (0 oder 1) gestört durch additives Rauschen im Übertragungsmedium. Entscheide, ob 0 oder 1 gesendet wird. Modell: Rauschen R 1,..., R N u.i.v. N (0, σ 2 ) Daten X 1,..., X N : X j = µ + R j Entscheide: µ = 0 oder µ = 1 Modell: X 1,..., X N u.i.v. N (µ, σ 2 ) mit bekanntem σ 2

4 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.4 Modell: X 1,..., X N u.i.v. N (µ, σ 2 ) mit bekanntem σ 2 Entscheide: µ = 0 oder µ = 1 Plausibles Entscheidungsverfahren: X N µ Wähle Schranke d und: wenn X N d, entscheide für µ = 0 wenn X N > d, entscheide für µ = 1

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8 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.8 Gleichwertig, aber einfacher zu analysieren: Standardisierte Teststatistik Z = Nσ X N Wähle Schranke c und: Wenn Z = Nσ X N c, entscheide für µ = 0. Wenn Z = Nσ X N > c, entscheide für µ = 1. Z ist N (0, 1)-verteilt, falls µ = 0 - unabhängig von σ 2!

9 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.9 Z c entscheide µ = 0. Zwei mögliche Fehlentscheidungen: I) In Wahrheit µ = 0, durch Zufall aber Z = Nσ X N > c falsche Entscheidung für µ = 1 Ws µ=0 (Fehler) = Ws µ=0 (Z > c) = 1 Φ(c), da Z standardnormalverteilt ist, falls µ = 0. II) In Wahrheit µ = 1, aber Z = Nσ X N c falsche Entscheidung für µ = 0 Ws µ=1 (Fehler) = Ws µ=0 (Z c) ( N = Ws µ=1 σ (X N 1) c ( ) N = Φ c σ N σ )

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11 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.11 Gauß-Test zum Niveau α: Z = N(XN µ 0 ) σ Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 Z > q 1 α H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 Z > q 1 α q 1 α = (1 α)-quantil von N (0, 1). Test hat das Niveau α, da für alle µ µ 0 Ws µ (Fehler 1. Art) = Ws µ (Z > q 1 α ) Ws µ0 (Z > q 1 α ) = 1 Φ(q 1 α ) = α

12 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.12 Beispiel: Bohrer bohrt Löcher in Bleche, deren Durchmesser bei ungestörter Funktion N (µ 0, σ 2 )-verteilt ist mit µ 0 = 2 cm, σ = 0, 06 cm. Störungen Tendenz zu größeren Löchern, aber gleiche Variabilität. Daten: N = 9 Messungen x 1,..., x 9 Modell: X 1,..., X 9 u.i.v. N (µ, σ 2 ), σ = 0, 06 cm Hypothese (keine Störung): H 0 : µ = µ 0 = 2 cm Alternative (Störung): H 1 : µ > µ 0 X N = 2, 05 cm. Wahl von α : α = 0, 05; c α = 1, 645 N(XN µ 0 ) σ = 3 (2, 05 2) 0, 06 = 0, 15 0, 06 = 2, 5> 1, 645 H 0 verwerfen!

13 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.13 t-statistik: T = N (X N µ 0 ) s N µ = µ 0 gegen µ > µ 0 Verwandte Entscheidungsprobleme: 1) H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ < µ 0 Verwirf H 0, wenn T klein genauer: wenn T < t N 1,α = t N 1,1 α 2) H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ µ 0 Verwirf H 0, wenn T groß genauer: wenn T > t N 1,1 α/2

14 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.14 Ein-Stichproben-t-Test zum Niveau α Teststatistik T = N (X N µ 0 ) s N Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : µ = µ 0 (µ µ 0 ) H 1 : µ > µ 0 T > t N 1,1 α H 0 : µ = µ 0 (µ µ 0 ) H 1 : µ < µ 0 T < t N 1,1 α H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 T > t N 1,1 α/2 Letzter Fall: Zweiseitige Alternative 1. und 2. Fall: Einseitige Alternative

15 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.15 Beispiel: Lackhersteller behauptet mittlere Trockenzeit = 10 min = µ 0 N = 50 Proben X 1,..., X 50 mit X 50 = 10, 89 min ; s 50 = 1, 54 min Modell: X 1,..., X 50 u.i.v. N (µ, σ 2 ) µ = wahre mittlere Trockenzeit Entscheide, ob µ = µ 0 akzeptabel oder eher µ > µ 0! Fehlentscheidung Folgen µ = µ 0 akzeptieren, obwohl µ > µ 0 vorübergehende Verzögerungen in der Produktion µ = µ 0 verwerfen, obwohl korrekt dauerhaft höhere Kosten beim Einkauf eines Konkurrenzprodukts

16 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Fall schlimmer wähle µ = µ 0 als Hypothese H 0 Entscheide: H 0 : µ = µ 0 = 10 min oder H 1 : µ > µ 0! Wähle Niveau α = 0, 05. Tabelle 4 t 49,1 α = 1, 645 (ν = inf) Berechne: T = 50 X min s 50 = 4, 087 Da T > t 49,1 α verwirf H 0 als unglaubhaft zugunsten von H 1 Ergebnis: Ziemlich sicher (bis auf Irrtumswahrscheinlichkeit α = 5%) ist µ > µ 0. Wäre T t 49,1 α wird H 0 als mit den Daten verträglich akzeptiert keineswegs sicher, dass H 0 wahr ist! In diesem Fall gibt es hohe Irrtumswahrscheinlichkeiten!

17 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.17 Interpretation von Testresultaten Test von H 0 gegen H 1 auf dem Niveau α Situation I: H 0 wird verworfen Die Entscheidung ist für die Alternative H 1 gefallen. Dann sind wir ziemlich sicher (bis auf geringe Irrtumswahrscheinlichkeit α), dass wir richtig entschieden haben, d.h. dass H 1 stimmt. Situation II: H 0 wird akzeptiert Die Entscheidung fällt für H 0, da die Daten diese Möglichkeit nicht ausschließen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit (für Fehler 2. Art) kann groß sein. H 0 muss nicht stimmen!

18 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.18 Speziell für t-test: H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 I) Ws µ0 (Fehler) = α klein! II) Ws µ>µ0 (Fehler) 1 α für µ µ 0 groß! Ws µ>µ0 (Fehler) 0 für µ Auch in Situation II weiß man wenigstens, dass Werte von µ µ 0 praktisch ausgeschlossen sind. Präzisere Aussage: Untersuche Ws µ (Fehler 2. Art) für µ > µ 0

19 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.19

20 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.20 Modell: X 1,..., X N u.i.v. N (µ, σ 2 ) Frage: σ 2 = σ 2 0? oder σ2 > σ 2 0? Teststatistik S 2 = (N 1) s2 N σ 2 0 Bei Gültigkeit der Hypothese H 0 : σ 2 = σ 2 0 ist S2 χ 2 N 1 -verteilt, d.h. χ 2 -verteilt (Chi-Quadrat) mit N 1 Freiheitsgraden. Wähle Niveau α und dazu passend als Schranke χ 2 N 1,1 α = (1 α) -Quantil von χ2 N 1 Quantile: Tabelle 5

21 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.21 Chi-Quadrat-Test für Varianz zum Niveau α Teststatistik S 2 = (N 1) s2 N σ 2 0 Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : σ 2 = σ 2 0 (σ2 σ 2 0 ) H 1 : σ 2 > σ 2 0 S 2 > χ 2 N 1,1 α H 0 : σ 2 = σ 2 0 (σ σ2 0 ) H 1 : σ 2 < σ 2 0 S 2 < χ 2 N 1,α H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 S 2 < χ 2 N 1, α 2 oder > χ 2 N 1,1 α 2

22 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.22 Fallstudie: 1 Pfund - Kaffeepackung Forderung: 1. Im Mittel 500 g Inhalt. 2. Höchstens 1 von 100 Packungen 480 g. Daten: Inhaltsmessungen x 1,..., x 20 Modell: sind Realisationen von u.i.v. N (µ, σ 2 )-Zufallsgrößen X 1,..., X Problem: µ = µ 0 = 500 g oder µ µ 0? 2. Problem: Ws µ0 (X j 480 g) 0, 01?

23 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Problem: Ws µ0 (X j 480 g) 0, 01? 0, 01 Ws µ0 X j 500g }{{ σ } N (0,1) 20g σ ( 20 = Φ σ ) σ σ 0 wobei Φ ( 20 σ 0 ) = 0, 01, d.h. 20 σ 0 = q 0,01 = 1%-Quantil von N (0, 1) 20 σ 0 = 2, Problem: σ σ 0 = 20 2,33 = 8, 57 g?

24 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.24 Beispiel: X 20 = 496 g, s 2 20 = 105 g2 1. Problem: H 0 : µ = µ 0 = 500 g gegen H 1 : µ µ 0 Niveau α = 0, 05 20(X20 µ T = 0 ) s 20 = 20( 4) 10, 25 akzeptiere H 0 = 1, 745 2, 093 = 0, 975-Quantil von t Problem: H 0 : σ 2 σ 2 0 = (8, 57 g)2 gegen H 1 : σ 2 > σ 2 0 S 2 = 19 s2 20 σ 2 0 = , 44 = 27, 17 akzeptiere H 0 30, 144 = 0, 95 Quantil von χ 2 19

25 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.25 Konstruktion von Tests am Beispiel des t-tests für H 0 : µ = 0 gegen H 1 : µ 0 Aussage H 0 über interessante Kenngröße, z.b. µ = 0 glaubhaft? Schätzer, z.b. X N für µ akzeptiere H 0, wenn X N 0 bzw. X N klein. Was genau heißt oder klein? Hängt von der Variabilität des Schätzers und damit von der Varianz der Beobachtungen ab standardisiere X N so, dass seine Größe, genauer: seine Verteilung unter H 0, nicht mehr von der Varianz der Daten abhängt akzeptiere H 0, wenn T klein mit T = X N s N / N

26 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.26

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29 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.29 Zwei-Stichproben-t-Test zum Niveau α (Ann.: σ 2 1 = σ2 2!) Teststatistik: T = X N Y M 1N + 1 M s N,M s 2 N,M = (N 1)s2 x,n + (M 1)s2 y,m N + M 2 Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 T > t N+M 2, 1 α µ 1 µ 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 < µ 2 T < t N+M 2, 1 α µ 1 µ 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 T > t N+M 2, 1 α 2

30 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.30 Approximativer Zwei-Stichproben-t-Test zum Niveau α (benannt nach WELCH oder SMITH & SATTERTHWAITE) Modell: X 1,..., X N u.i.v. N (µ 1, σ 2 1 ) Y 1,..., Y M u.i.v. N (µ 2, σ 2 2 ), unabhängig von X i σ 2 1 σ2 2 möglich! Teststatistik: T = X N Y M 1N s 2 x,n + 1 M s2 y,m Zum Beispiel Test: H 0 : µ 1 µ 2 gegen H 1 : µ 1 > µ 2 H 0 verwerfen, wenn T > t g,1 α mit Freiheitsgraden g ( 1 N s2 x,n + 1 M s2 y,m )2 1 N 1 ( 1 N s2 x,n )2 + 1 M 1 ( 1 M s2 y,m )2

31 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.31 Kritische Annahme: σ 2 gleich für beide Stichproben Modell: X 1,..., X N unabhängig N (µ 1, σ1 2) Y 1,..., Y M unabhängig N (µ 2, σ2 2) Hypothese H 0 : σ1 2 = σ2 2 oder Alternative H 1 : σ1 2 σ2 2? Idee: Betrachte s 2 x,n s 2 y,m σ2 1 σ 2 2 = 1, wenn H 0 zutrifft. Unter der Hypothese ist: s 2 x,n s 2 y,m Fisher- oder F -verteilt mit (N 1, M 1)-Freiheitsgraden, kurz: F N 1,M 1 -verteilt. s 2 x,n s2 y,m lehne H 0 : σ 2 1 = σ2 2 ab.

32 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.32 F -Test auf Gleichheit von Varianzen: H 0 verwerfen, wenn s 2 x,n s 2 y,m > f N 1,M 1,1 α/2 = (1 α 2 ) -Quantil von F N 1,M 1 (s. Tabelle 6) H 0 wird auch abgelehnt, wenn s 2 x,n s2 y,m, genauer wenn: s 2 y,m s 2 x,n > f M 1,N 1,1 α/2 Hypothese Alternative H 0 verwerfen, wenn H 0 : σ 2 1 = σ2 2 H 1 : σ 2 1 σ2 2 s 2 x,n s 2 y,m > f N 1,M 1,1 α/2 oder s 2 y,m s 2 x,n > f M 1,N 1,1 α/2

33 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.33 Beispiel: 2 Messgeräte, welches ist genauer? Daten: Wiederholte Messungen einer Normlänge µ 0 = 10 µm x 1,..., x 20 und y 1,..., y 20 X 20 = 10, 1 µm Y 20 = 9, 8 µm s 2 x,20 = 0, 09 µm2 s 2 y,20 = 0, 25 µm2 1. Problem: Beide Geräte richtig justiert? Modell: X 1,..., X 20 u.i.v. N (µ, σ 2 1 ) Hypothese H 0 : µ = µ 0 oder Alternative H 1 : µ µ 0? Ein-Stichproben-t-Test

34 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.34 Niveau α = 0, 05 t 19, 0,975 = 2, 093 Teststatistik T = 20 X20 µ 0 s x,20 = 20 0,1 0,3 = 1, 491 Analog: 20 Y 20 µ 0 s y,20 = 20 0,2 0,5 = 1, Problem: Unterscheiden sich die Messgenauigkeiten? Modell: Alle X i, Y j unabhängig und X 1,..., X 20 Y 1,..., Y 20 unabhängig N (µ 0, σ 2 1 ) N (µ 0, σ 2 2 ) Hypothese H 0 : σ 2 1 = σ2 2 gegen Alternative H 1 : σ 2 1 σ2 2

35 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.35 Hypothese H 0 : σ 2 1 = σ2 2 gegen Alternative H 1 : σ 2 1 σ2 2 F -Test Niveau α = 0, 02 f 19,19,0.99 = 3, 03 Teststatistik s 2 x,20 s 2 y,20 = 0, 09 0, 25 = 0, 360 < 3, 03 und s 2 y,20 s 2 x,20 = 0, 25 0, 09 = 2, 778 < 3, 03 H 0 akzeptieren evtl. weitere Messungen, ob nicht doch σ 2 2 > σ2 1.

36 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.36 Wiederholung Daten x 1,..., x N Frage: 1) Wie groß im Durchschnitt? 2) Wie variabel? 3) Wie wahrscheinlich sind extreme Werte? Modell: Realisation von Stichprobe X 1,..., X N von u.i.v. Zufallsgrößen, z.b. X i N (µ, σ 2 )-verteilt oder X i Exp(λ)-verteilt. 1) Wie groß ist µ bzw. 1 λ? 2) Wie groß ist σ bzw. 1 λ? 3) Wie groß ist p c = Ws(X i > c)?

37 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.37 p c = 1 Ws(X i c) = 1 Φ( c µ σ ) N (µ, σ2 ) e λc Exp(λ) Antwort: Schätzer für unbekannte Größen: 1) X N für µ, 2) s 2 N für σ2 N (µ, σ 2 ) 1) und 2) 3) p c = 1 X N für λ Exp(λ) 1 Φ( c X N s N ) N (µ, σ 2 ) e 1 X N c Exp(λ) Ab jetzt: X 1,..., X N u.i.v. N (µ, σ 2 )

38 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.37 Frage: Wie zuverlässig sind die Schätzwerte? Antwort: Konfidenzintervall für µ bzw. σ 2 für µ: Unterscheide zwischen σ 2 bekannt und σ 2 unbekannt. Wenn σ 2 unbekannt, werden σ und N (0, 1)-Quantile durch s N und t N 1 -Quantile ersetzt. Frage: Ist µ = µ 0, µ > µ 0,...? Entsprechend für σ 2. Antwort: Hypothesentests für Entscheidungen mit kleinen Irrtumswahrscheinlichkeiten. Wähle H 0, H 1 so, dass Fehler 1. Art = H 0 verwerfen und für H 1 entscheiden, obwohl H 0 richtig ist schlimmer ist als Fehler 2. Art = H 0 akzeptieren, obwohl H 1 richtig

39 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.38 Niveau α : Ws H0 (Fehler 1. Art) α Fällt die Entscheidung für H 0, heißt das nur, dass die Daten nicht ausreichen, um H 0 zu verwerfen. H 1 kann trotzdem richtig sein. Nur Werte in H 1, die weit weg von H 0 liegen, sind unwahrscheinlich. Tests für µ: Skript S Tests für σ 2 : Skript S

40 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.39 Vergleich zweier Datensätze Daten x 1,..., x N, y 1,..., y M Frage: 1) Im Durchschnitt verschieden? 2) Unterschiedliche Variabilität? Modell: X 1,..., X N u.i.v. N (µ 1, σ 2 1 ), Y 1,..., Y M u.i.v. N (µ 2, σ 2 2 ). Alle X i, Y j unabhängig. Frage: 1) Ist µ 1 = µ 2, µ 1 > µ 2, µ 1 µ 2,...? Annahme: σ 2 1 = σ2 2 = σ2

41 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.40 Intuition: akzeptiere µ 1 = µ 2, wenn X N Y M Zwei-Stichproben-t-Test, Skript S σ1 2 = σ2 2? F -Test, Skript S Verwandtes, aber verschiedenes Problem: gepaarte Beobachtungen Beispiel: Gewicht vor bzw. nach Diät, N Personen Daten (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) x i, y i hängen voneinander ab, da von derselben Person Nr. i.

42 Prof. Dr. J. Franke Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler 4.41 Modell: X 1,..., X N u.i.v. N (µ 1, σ 2 1 ), Y 1,..., Y N u.i.v. N (µ 2, σ 2 2 ), aber X i, Y i abhängig für festes i. Zwei-Stichproben-t-Test nicht anwendbar (selbst wenn σ 2 1 = σ) 2 ). wende Ein-Stichproben-t-Test auf Differenzen an: Z i = X i Y i, i = 1,..., N, u.i.v. N (µ, σ 2 ) µ = µ 1 µ 2 Nutzen der Diät: Teste H 0 : µ = 0 (d.h. µ 1 = µ 2 ) gegen H 1 : µ > 0 (Diät führt zur Gewichtsreduzierung)