Zeitreihenökonometrie

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1 Zeitreihenökonometrie Kapitel 8 Impuls-Antwort-Funktionen

2 Interpretation eines VAR-Prozesses 2 Fall eines bivariaten Var(p)-Prozess mit 2 Variablen und ohne Konstante 1 1 p p 1,t α11 α 12 1,t-1 α11 α 12 1,t-p ε1,t = p p 2,t α 21 α 22 2,t-1 α 21 α 22 2,t-p ε 2,t Wir wollen die Spur eines konkreten Impulses, den wir uns als exogen verursachte Störung vorstellen können, im Sstem verfolgen Wegen der wechselseitigen Abhängigkeiten zwischen den betrachteten Variablen lässt sich die dnamische Reaktion des Sstems nicht unmittelbar aus den Schätzkoeffizienten ablesen In unserem Beispiel bedeutet dies, dass die Werte der einzelnen Koeffizienten nicht zu interpretieren sind Aufgrund der wechselseitigen Abhängigkeiten im Sstem kann von einem positiven Wert 2 von α 12 nicht geschlossen werden, dass eine Erhöhung von 2 in der vorletzten Periode den heutigen Wert von 12 erhöht Impuls-Antwort-Folgen sind eine Methode, um die in den geschätzten Koeffizienten des VAR-Modells enthaltene Information über die dnamische Anpassung der Variablen zu veranschaulichen n α ij

3 Impuls-Antwort-Funktionen Impuls-Antwort-Funktionen zeigen, wie sich Schocks in einer Variablen im geschätzten Sstem auf künftige Werte dieser und der anderen Variablen auswirken Beispiel: bivariates VAR(1)-Modell: 1, t 2, t = α = α , t 1 1, t 1 + α 12 + α 22 2, t 1 2, t 1 Auswirkung eines Impuls der Variable 1 in Periode t: => 2, t (Annahme: Störgrößen sind kontemporär unkorreliert) + ε 1, t + ε ε 1,t Periode 1 t 2t α + ε 11 α 11 ε ε 11 α12α 21ε 11 0 α 21 ε 11 α α ε + α α 11ε 11

4 Impuls-Antwort-Funktionen Beispiel: bivariates VAR(1)-Sstem 1, t 2, t = α = α , t 1 1, t 1 + α 12 + α 22 2, t 1 2, t 1 + ε Es sei die Koeffizientenmatrix: 0,5 : = 0,2 Eine Impuls der Größe Eins für 1 in Periode t = 0 lässt sich darstellen als Für die einzelnen Perioden ergeben sich folgende Auswirkungen: 1, t + ε 2, t A 1 0,1 0,6 ε ( ) ' 0 = 1 0 1,0 2,0 1,1 2,1 1,2 2,2 1 = 0 = = A A A 1 = 1 0 0,5 = 0,2 A ,23 = 0,22 Keine AR- oder MA-Darstellung => Rein zur Veranschaulichung 4

5 Impuls-Antwort-Funktionen Die Koeffizientenmatrix der MA- Darstellung des VAR-Sstems zeigt die Antwort der einzelnen Variablen auf einen Impuls, der vor t-perioden auf eine Variable eingewirkt hat Bezieht sich die Störung auf die i-te Variable des Sstems, so ist jeweils die i-te Spalte dieser Koeffizientenmatrix maßgeblich (MA-Darstellung!!!) 1 0 0,5 0,1 0,23 0,11 B 0 =, B 1=, B 2= 0 1 0, 2 0,6 0, 22 0,34 Die Auswirkungen eines Impuls auf die Sstemvariablen in den jeweiligen Perioden sind in den jeweiligen Koeffizientenmatrizen der MA-Darstellung in der ersten Spalte abgebildet. (z.b. die Änderung von 2 durch einen Schock von 1, der zwei Perioden zurückliegt, beträgt -0,22; siehe den Wert aus der Matrix B 2 aus ersten Spalte und zweiten Zeile) Die MA- Darstellung eines VAR ist von großer Bedeutung!! 5

6 Wiederholung: Moving-Average Darstellung eines VAR(p)-Prozesses Annahme: die Stabilitätsbedingung ist erfüllt Für das bivariate VAR(2)-Modell können folgende Beziehungen aufgestellt werden: -1 ( ) = ε = ( ) AL A L t t t t 1, t ε1, t 1, t -1 ε1, t ε ε 2 2 ( I- AL 1 - AL 2 ) = = ( I- AL 1 - A2L ) ε 2, t 2, t 2, t 2, t Die Beziehung kann im allgemeinen Fall eines VAR(p)-Modells geschrieben werden als: ( ) ε ( ) ( ) = B L mit B L = A L = B + BL+ B L +... t t = Bε + Bε + Bε +... t 0 t 1 t 1 2 t 2 ( ) ( ) es gilt : B L A L = I Auch der VAR(p)-Prozess kann als unendlicher vektorieller MA-Prozess geschrieben werden 6

7 Wiederholung: Moving-Average Darstellung eines bivariaten VAR(1)-Prozesses Berechnung der einzelnen B i Matrizen über folgende Gleichung: B = AB + A B A B für i= 1,2,... i 1 i-1 2 i-2 q i-q mit B = I und B = 0 für j < 0 0 j 2 2 B = AB = AI = A B = A B = A = A da A nicht existiert für VAR(1) usw. Der VAR(1)-Prozess kann also auch als unendliche MA-Darstellung aufgeschrieben werden: ( ) ε 0ε 1ε -1 2ε = B L = B + B + B + t t t t t 7

8 Orthogonalisierung der Störterme Methodisches Problem der Impuls-Antwort Funktionen: Annahme der Unkorreliertheit kontemporärer Störterme Eine Störung, die auf eine Variable des VAR wirkt, hat häufig auch unmittelbar Einfluss auf andere Sstemvariablen Tatsächliche Schocks sind über die Gleichungen hinweg miteinander korreliert Nur wenn die Varianz-Kovarianz-Matrix der Störgrößen eine Diagonalmatrix ist, ändern sich die Residuen der übrigen Variablen nicht zeitgleich (kontemporär), wenn eine Störgröße ε j, t geschockt wird Sind die Störgrößen aber miteinander korreliert, so verändert ein Impuls von ε j, t auch gleichzeitig die anderen Störgrößen, so dass die endgültige Wirkung auf die zu untersuchenden Variablen nicht eindeutig dem Impuls ε j, t zugeordnet werden kann (Zuordnungsproblem) Lösung: Orthogonalisierung der Störterme, d.h. Transformation der Residuen und Sstemmatrizen, so dass die transformierten Residuen voneinander unabhängig sind 8

9 Zuordnungsproblem Beispiel: Es ist davon auszugehen, dass die Störterme in der Sozialprodukts- und in der Geldmengengleichung kontemporär korreliert sind Angenommen, die Kovarianzmatrix der Störungen sei 1, 0 0,5 Ω= : E( εε ' ) t t = 0,5 0,74 Ein positiver Impuls auf das Sozialprodukt 1 ist demnach mit hoher Wahrscheinlichkeit auch mit einer kontemporären ebenfalls positiven Bewegung der Geldmenge 2 verbunden An dieser Stelle tritt bei der Durchführung der Impuls-Antwort-Analse ein Zuordnungsbzw. Identifikationsproblem auf => Welcher Impuls bewirkt die beobachtete Reaktion? 9

10 Orthogonalisierung der Störterme Cholesk-Zerlegung Für jede smmetrische positiv definite Matrix Ω gibt es eine Dreiecksmatrix C mit positiven Elementen unterhalb der Hauptdiagonalen und Werten 1 auf der Hauptdiagonalen sowie eine Diagonalmatrix D, so dass gilt: Ω = CDC Die Kovarianzmatrix 1, 0 0,5 Ω= : E( εε ' ) t t = 0,5 0,74 ' kann so zerlegt werden in die folgende untere Dreiecksmatrix C und die Einheitsmatrix als Diagonalmatrix: 1, C = und D = 0,5 0,

11 Orthogonalisierung der Störterme Es ist nun möglich, die unendliche MA-Darstellung eines VAR-Prozesses = B ε + B ε + B ε... = B ε t 0 t 1 t 1 2 t 2 i t-i i=0 wie folgt aufzuschreiben: t = B0CC ε t + B1CC εt 1+ B2CC εt 2... = Bi C C εt-i i=0 = BCu + BCu + BCu... = B C u t 0 t 1 t 1 2 t 2 i t-i i=0 wobei u t = C -1 wichtig : CC ε -1 t = I 11

12 Orthogonalisierung der Störterme Die Besonderheit dieser Cholesk-Zerlegung lässt sich nun an den Eigenschaften der modifizierten Störgrößen erkennen Es gilt für den Erwartungswert der modifizierten Störgrößen E( ut ) = 0 und für Kovarianzmatrix ( ) ( εε ) E u u = E C C = C Ω C = C CDCC = I ' -1 ' -1-1 '-1-1 ' '-1 t t t t Die modifizierten Störgrößen sind nicht mehr miteinander kontemporär korreliert Die Impuls-Antwort-Funktionen werden nun für das transformierte Sstem berechnet Die Veränderung der einzelnen Variablen sind dann eindeutig einzelnen Schocks zu zuordnen. 12

13 Orthogonalisierung der Störterme Problematisch bleibt jedoch, dass die gewählte Methode der Orthogonalisierung der Kovarianzmatrix eine bestimmte Kausalstruktur zwischen den kontemporären Variablen impliziert Die orthogonalisierte Impuls-Antwort-Funktion hängt somit von der Anordnung (Reihenfolge) der Variablen im VAR-Modell ab => Widerspruch zu Definition von VAR-Sstemen Dies soll im folgenden gezeigt werden, wobei wir auf die ursprünglich Darstellung des VAR zurückgreifen Multiplikation des ursprünglichen VAR(p)-Modells mit C -1 liefert einen VAR-Prozess mit der geforderten orthogonalen Kovarianzstruktur: = A + A A + ε t 1 t 1 2 t 1 p t-p t 13 C = C A + C A C A + u t 1 t 1 2 t 1 p t-p t

14 Orthogonalisierung der Störterme Diese Transformation zeigt aber zugleich, dass aufgrund der unteren Dreiecksform der Matrix C -1 kontemporäre Abhängigkeiten zwischen den Elementen von t hergestellt werden Aufgrund der Dreiecksform dieser Matrix entsteht ein besondere Struktur Das erste Element von t ist unbeeinflusst von den übrigen Elementen, das zweite Element ist hingegen vom ersten, das dritte vom ersten und vom zweiten abhängig usw. (rekursive Kausalstruktur) Die Reihenfolge der Variablen im Vektor t bekommt durch die Orthogonalisierung eine erhebliche Bedeutung Kritik kann entschärft werden, wenn eine Veränderung der Reihenfolge der Variablen keine signifikanten Auswirkungen auf die Struktur der Impuls-Antwort Funktionen hat 14

15 Konfidenzintervalle der Impuls-Antwort Funktionen Wichtig: Sind die Auswirkungen eines Impulses auf die Sstemvariablen signifikant? Berechnung der Konfidenzintervalle: 1. Analtische Berechnung der Intervalle 2. Monte Carlo Simulation der Intervalle 3. Bootstrapping der Intervalle 15