Aufgaben zu Kapitel 20

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1 Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v w 2 + v 2 w + v 2 w 2 2 Aufgabe 202 Für welche a, b C ist (( C ) 2 ( C 2 )) C : v w, v w + a v w 2 v 2 w 2 2v 2 w + b v 2 w 2 hermitesch? Für welche a, b C ist f außerdem positiv definit? Aufgabe 203 Gibt es zu jedem λ R 0 einen Vektor v eines euklidischen Vektorraums mit Skalarprodukt mit v v = λ? Aufgabe 204 Beweisen Sie die auf den Seiten 675 und 69 formulierte Cauchy-Schwarz sche Ungleichung Aufgabe 205 Begründen Sie: Ist U ein Untervektorraum eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraums V, so lässt sich jedes v V eindeutig in der Form v = u + u mit u U und u U schreiben Insbesondere gilt also V = U + U Aufgabe 206 Sind und zwei Skalarprodukte des R n, so ist jede Orthogonalbasis bezüglich auch eine Orthogonalbasis bezüglich Stimmt das? Aufgabe 207 Begründen Sie die auf Seite 687 gezogenen Folgerungen r (i) := b A x (i) Ui bezüglich des kanonischen Skalarproduktes, 2 U i = r (0), r (),, r (i ), unter den dort gemachten Voraussetzungen Rechenaufgaben Aufgabe 208 Auf dem R-Vektorraum V ={f R[X] deg(f ) 3} R[X] der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 3 ist das Skalarprodukt durch f g = f(t)g(t)dt für f, g V gegeben (a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V bezüglich (b) Man berechne in V den Abstand von f = X + zug = X 2 0 Aufgabe 209 Bestimmen Sie alle normierten Vektoren des C 3, die zu v = i und v 2 = i bezüglich des 0 i kanonischen Skalarproduktes senkrecht stehen 3 Aufgabe 200 Berechnen Sie den minimalen Abstand des Punktes v = zu der Ebene,

2 2 Aufgaben zu Kapitel 20 Anwendungsprobleme Aufgabe 20 Im Laufe von zehn Stunden wurde alle zwei Stunden, also zu den Zeiten t = 0, t 2 = 2, t 3 = 4, t 4 = 6, t 5 = 8 und t 6 = 0 in Stunden, die Höhe h,, h 6 des Wasserstandes der Nordsee in Metern ermittelt Damit haben wir sechs Paare (t i,h i ) für den Wasserstand der Nordsee zu bestimmten Zeiten vorliegen: (0, 0), (2, 5), (4, 3), (6, 06), (8, 04), (0, 08) Man ermittle eine Funktion, welche diese Messwerte möglichst gut approximiert Aufgabe 202 Bestimmen Sie die ersten Koeffizienten einer Fourierreihenentwicklung der sogenannten Sägezahnfunktion, also der periodischen Fortsetzung der Funktion f(t)= { t, falls t <π 0, falls t = π f(t) π π π 2 π 3π t Abbildung 206 Die Sägezahnfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode π π

3 Hinweise zu Kapitel 20 3 Hinweise zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Man beachte die Definition eines euklidischen Skalarproduktes auf Seite 670 Aufgabe 202 Man beachte das Kriterium von Seite 673 Aufgabe 203 Beachten Sie die positive Definitheit des Skalarproduktes Aufgabe 204 Wählen Sie in der für alle λ, μ K geltenden Ungleichung 0 (λ v + μ w) (λ v + μ w) spezielle Werte für λ und μ Aufgabe 205 Wählen Sie eine Orthonormalbasis in U und setzen Sie diese zu einer Orthonormalbasis von V fort Aufgabe 206 Man suche ein Gegenbeispiel Aufgabe 207 Beachten Sie bei () den Projektionssatz auf Seite 684 bezüglich des durch die Matrix A definierten Skalarproduktes Die Aussage (2) können Sie per Induktion beweisen Rechenaufgaben Aufgabe 208 Verwenden Sie das Orthonormierungsverfahren von Gram und Schmidt (siehe Seite 682) Aufgabe 209 Bestimmen Sie alle Vektoren v = (v i ), welche die Bedingungen v v und v v 2 und v = erfüllen Aufgabe 200 Man beachte den Projektionssatz auf Seite 684 und die anschließenden Ausführungen Anwendungsprobleme Aufgabe 20 Man beachte die Methode der kleinsten Quadrate auf Seite 686 Als Basisfunktionen wähle man Funktionen, welche diese 2-Stunden-Periodizität des Wasserstandes berücksichtigen Aufgabe 202 Beachten Sie die Anwendung auf Seite 680

4 4 Lösungen zu Kapitel 20 Lösungen zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Das erste Produkt ist kein Skalarprodukt, das zweite schon Aufgabe 202 Das Produkt ist für a = 2und b R hermitesch und für a = 2und b>0positiv definit Aufgabe 203 Ja Aufgabe 204 Aufgabe 205 Aufgabe 206 Nein Aufgabe 207 Rechenaufgaben Aufgabe 208 (a) Es ist { 3, 2 2 X, 45 8 (X 2 3 ), 75 8 (X X)} eine Orthonormalbasis von V (b) Der Abstand beträgt 325 i e Aufgabe 209 iϕ ϕ [0, 2 π[ 3 Aufgabe 200 Der minimale Abstand ist 2 Anwendungsprobleme Aufgabe 20 Die Näherungsfunktion f lautet f = cos ( ) ( ) 2 πt 2 πt sin 2 2 Aufgabe 202 Es gilt a k = 0 für alle k, und b =, b 2 =, b 3 = 2/3, b 4 = /2

5 Lösungswege zu Kapitel 20 5 Lösungswege zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Das erste Produkt ist kein Skalarprodukt, denn es ist nicht linear im ersten Argument, wie das folgende Beispiel zeigt: (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = 0 = ( ) 3 Das zweite Produkt ist ein Skalarprodukt Offenbar können wir das Skalarprodukt auch mittels der Matrix A = durch v w = v T A w ausdrücken Weil die Matrix A symmetrisch und nach dem Kriterium von Seite 673 sogar positiv definit ist, ist ein Skalarprodukt ( ) a Aufgabe 202 Wir können das gegebene Produkt mittels der Matrix A := durch 2 b v w = v T A w beschreiben Nun überprüfen wir, für welche komplexen Zahlen a und b die Matrix hermitesch bzw positiv definit ist, denn es ist in diesem Fall das Produkt hermitesch bzw positiv definit Die Matrix A ist hermitesch, wenn A T = A gilt, also genau dann, wenn a = 2 und b R ist Und A ist genau dann positiv definit, wenn det(a) >0 gilt, d h b>4 (man beachte das Kriterium von Seite 690) Aufgabe 203 Wir müssen voraussetzen, dass es wenigstens einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor u in V gibt Diesen Vektor u normieren wir auf die Länge und erhalten so den Vektor n Weil jede positive reelle Zahl λ eine (positive) Wurzel λ besitzt, exisitiert in V der Vektor v := λ n Mit diesem so erklärten Vektor v gilt die Gleichung v v = ( λ n) ( λ n) = λ 2 (n n) = λ Also ist ein Skalarprodukt :V V R stets surjektiv, wenn V = {0} gilt Aufgabe 204 Im Fall w = 0 stimmen alle Behauptungen Darum setzen wir von nun an w = 0 voraus Für alle λ, μ K gilt die Ungleichung 0 (λ v + μ w) (λ v + μ w) Wir wählen nun das reelle λ := w w (> 0) und μ := v w und erhalten so: 0 (λ v + μ w) (λ v + μ w) = λ λ(v v) + λ μ(v w) + μ λ(w v) + μ μ(w w) = λ(λ(v v) + μ(v w) + μ(w v) + μ μ) = λ((w w)(v v) μ μ μ μ + μ μ) = λ( w v (v w)(v w)) Wir können die positive Zahl λ in dieser Ungleichung kürzen und erhalten w 2 v 2 v w 2 Wegen der Isotonie der Wurzelfunktion folgt die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung Weiterhin folgt aus der Gleicheit v w v w v w = v w

6 6 Lösungswege zu Kapitel 20 mit obiger Wahl für λ und μ sogleich (λ v + μ w) (λ v + μ w) = 0, wegen der positiven Definitheit des Skalarproduktes also λ v + μ w = 0 Weil λ = 0 gilt, bedeutet dies, dass v und w linear abhängig sind Ist andererseits vorausgesetzt, dass v und w linear abhängig sind, so existiert ein ν K mit v = ν w Wir erhalten v w = u w w = ν w w = v w Damit ist alles begründet Aufgabe 205 Die Dimension von V bzw U sei n bzw r Wir wählen eine Orthonormalbasis {b,, b r } von U und ergänzen diese zu einer Orthonormalbasis B ={b,, b r, b r+,,b n } von V Offenbar gilt {b r+,,b n } U Ist nun v ein beliebiges Element von V, so gibt es λ,, λ n R mit v = λ b + +λ r b }{{} r + λ r+ b r+ + +λ n b n }{{} =:u U =:u U Damit haben wir eine gewünschte Darstellung gefunden Wir begründen noch, dass eine solche Darstellung eindeutig ist Gilt nun u + u = v = w + w für Elemente u, w U und u, w U, so folgt u w = w }{{} u }{{} U U Weil aber für den Durchschnitt U U ={0} gilt, folgt sogleich u = w und u = w, also die Eindeutigkeit einer solchen Darstellung Aufgabe 206 ( Die ) Aussage ist falsch Wähle etwa im R 2 für das kanonische Skalarprodukt und für jenes, das durch die Matrix A =, also durch v w := v 2 T A w, gegeben ist Dann steht e bezüglich senkrecht auf e 2 nicht aber bezüglich,dae e 2 = 0 gilt Aufgabe 207 () Die Aussage x (i) x = ist nach dem Projektionssatz auf Seite 684 äquivalent zu min y x y x (0) +U i (x (i) x) u = 0 für alle u U i, wobei das Skalarprodukt nun mit der (positiv definiten) Matrix A gegeben ist Mit dem Vektor r (i) := b A x (i) gilt für alle u U i 0 = (x x (i) ) u = (b A x (i) ) T u Die Aussage (2) begründen wir durch Induktion: ( ) U i = r (0), A r (0),, A i r (0) = r (0), r (),, r (i ) Wir begründen die Gleichheit per Induktion nach i Für i = 0 stimmt die Behauptung Wir zeigen, dass r (i) U i+ gilt; wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren r (0),,r (i) folgt dann die Behauptung Bei der folgenden Rechnung kommt () x i x (0) U i ins Spiel, r (i) = b A x (i) = b A(x (0) + λ 0 r (0) + +λ i r (i ) ) r (0), A r (0),, A i r (0) =U i+, weil b A x (0) = r (0) gilt Wegen der linearen Unabhängigkeit der r j gilt U i+ = r (0), r (),, r (i)

7 Lösungswege zu Kapitel 20 7 Rechenaufgaben Aufgabe 208 (a) Wir verwenden das Orthonormalisierungsverfahren von Gram und Schmidt Setze c = Wegen c = 2 erhalten wir als ersten Basisvektor einer Orthonormalbasis b := 2 Wegen X = 0 ist c 2 := X bereits orthogonal zu b Mit c 2 = 23 3 erhalten wir b 2 := 2 X als zweiten Basisvektor einer Orthonormalbasis Für c 3 wählen wir c 3 := X 2 ( X ) X( 2 X X2 ) = X 2 3 Wegen c 3 = erhalten wir b 3 := 8 (X 2 3 ) als dritten Vektor einer Orthonormalbasis Für c 4 wählen wir c 4 := X 3 ( X ) X( 2 X X3 ) 45 8 (X )( 8 (X2 3 ) X3 ) = X X Wegen c 4 = 8 75 erhalten wir mit b 75 4 := 8 (X3 3 5 X) einen vierten und letzten Vektor einer Orthonormalbasis Es ist also B ={b, b 2, b 3, b 4 } eine Orthonormalbasis von V (b) Es gilt d(f, g) = f g = (f g) (f g) = ( (t 2 t 2) 2 dt) 2 = 325 Aufgabe 209 Die Bedingungen v v, v v 2 besagen für einen Vektor v = (v i ) C 3 v i v 2 = 0, i v 2 + i v 3 = 0 Setzt man v 2 = λ C, so erhält man aus diesen Bedingungen i v = i λ, v 3 = λ, also v = λ mit λ C Nun benutzen wir noch die Forderung der Normierung, d h v =, um λ genauer zu bestimmen, = v = (λ v) T (λ v) = λλ v T v = λ 3 Diese Bedingung besagt λ = eiϕ 3 Damit haben wir die gesuchten Vektoren bestimmt Es sind dies die Elemente der Menge e iϕ i ϕ [0, 2 π[ 3 Aufgabe 200 Wir gehen vor wie in dem Beispiel nach dem Projektionssatz auf Seite 684 Wir bilden die Matrix A, deren Spalten die Basisvektoren b, b 2 von U sind und erhalten dann den Koordinatenvektor von u bezüglich der Basis B = (b, b 2 ) durch Lösen des Gleichungssystems A T A x = A T v Das Gleichungssystem lautet ( ) ( ) 3 3 x = 3 5

8 8 Lösungswege zu Kapitel 20 ( ) /2 Die eindeutig bestimmte Lösung besagt, dass die senkrechte Projektion von v auf U der Vektor u = /2 b 3/2 3/2 b 2 = 2 2 ist Damit erhalten wir für den minimalen Abstand den Abstand von v zu U 3 2 v u = 2 = 2 Anwendungsprobleme Aufgabe 20 Um die Periodizität des Wasserstandes zu berücksichtigen, wählen wir f =, f 2 = cos( 2 2 πt ), f 3 = sin( 2 2 πt ) als Basisfunktionen Gesucht sind nun λ,λ 2,λ 3 R, sodass die Funktion f = λ f + λ 2 f 3 + λ 3 f 3 die Größe (f (t ) h ) 2 + +(f (t 6 ) h 6 ) 2 minimiert Wir ermitteln nun die Matrix A und den Vektor p (siehe Seite 686), um die Normalengleichung aufstellen zu können Für die Matrix A erhalten wir 0 /2 3/2 A = /2 3/2 0 /2 3/2 /2 3/2 und für den Vektor p gilt 0 5 p = Damit können wir nun die Normalengleichung A T A v = A T p aufstellen Sie lautet mit unseren Zahlen x = Dieses Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, die eindeutig bestimmte Lösung ist wobei wir auf zwei Dezimalstellen gerundet haben Damit haben wir die Näherungsfunktion f ermittelt λ = 093, λ 2 = 023, λ 3 = 046, f = cos ( ) ( ) 2 πt 2 πt sin 2 2 Aufgabe 202 Wir ermitteln zuerst die ersten a k Offenbar muss für diese Funktion a 0 = 0 gelten Wir bestimmen a,a 2 : a = π f(t) cos(t) dt = 0, π π a 2 = π f(t) cos(2 t)dt = 0 π π

9 Lösungswege zu Kapitel 20 9 f(t) t Abbildung 207 Die Ausgleichsfunktion und die vorgegebenen Stützstellen Allgemeiner erhalten wir für alle k unter Berücksichtigung der Symmetrie des Integrationsintervalles und der Antisymmetrie der Funktion f(t) cos(k t) die Koeffizienten a k = 0 Nun zu den b k Wir ermitteln die ersten Koeffizienten mittels partieller Integration: Analog: b = π f(t) sin tdt π π = π t sin tdt π π = u = t v = sin t u = v = cos t = = { π t cos t π π π + π = 2 π + 0 = 2 π } cos t dt b 2 = π b 3 = π b 4 = π π f(t) sin(2 t)dt = π π f(t) sin(3 t)dt = 2/3 π π f(t) sin(4 t)dt = /2 π