Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

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1 3. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regeläßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzatheatisch sind zwei Gesichtspunkte von Interesse: (A) Die entenbeträge werden auf ein Konto it Zinseszins eingezahlt. (B) Die entenzahlungen erfolgen aus eine Kapital, das auf Zinseszins angelegt ist. Beerkung zu Vergleich von (A) und (B): echnet an in beiden Fällen (A) und (B) it de gleichen Aufzinsfaktor q, und der gleichen ente, so üssen sich zu jede Zeitpunkt n die Kontostände von (A) und (B) zu Kapital Kq n aufsuieren, wobei K das Anfangskapital in (B) ist.

2 3.. Konstante nachschüssige enten bei durchgehend zinseszinslicher Verzinsung Der entenbetrag wird a Ende der entenperiode bezahlt. Bezeichnung:... konstanter entenbetrag 0... Barwert der nachschüssigen ente n... Laufzeit der ente (in Jahren) n... nachschüssiger entenendwert, d.h. Wert von n nachschüssigen enteneinzahlungen nach der n-ten entenperiode i... Zinssatz q q = + i K... Kapital, aus de die entenzahlung erfolgt K n... Kapital, das nach n Jahren noch vorhanden ist Satz: Werden die (jährlich) konstanten entenbeträge nachschüssig auf ein Konto it (jährliche) Zinssatz i eingezahlt, so ergibt sich folgender entenendwert nach n entenperioden: n = qn (3.) Erfolgt die entenzahlung dagegen aus eine Kapital K, so hat das Kapital nach n entenperioden noch einen Wert von Beerkung: K n = Kq n qn = Kq n n (3.) Addiert an die Gleichungen (3..) und (3.), so erhält an K n + n = Kq n

3 3 Zu Beweis: (A) 0 3 n n n Zinsterine n n n 3 0 q n q n q n 3 q q Folglich gilt für den nachschüssigen entenendwert: entenbeträge Laufzeit in Zinsperioden Wert der Zahlungen nach n Jahren n = q n + q n + q n q + q + = n k=0 q k = qn (B) K 0 3 n n Zinsterine entenauszahlung Wir berechnen nun das Kapital, das nach k Jahren, k {,,..., n}, noch vorhanden ist: K = Kq K = K q = (Kq )q = Kq q K 3. = K q = (Kq q )q = Kq 3 q q

4 4 Folglich gilt für den Kapitalwert nach n Jahren: K n = Kq n q n q n... q = Kq n n k=0 q k = Kq n qn I Fall (B) ergibt sich die Fragestellung: Wird das Kapital verbraucht? Wenn ja, wann?

5 5. Fall: Das Kapital wird nicht verbraucht = ewige ente (Bezeichnung: e ) Das ist der Fall für Ki, d.h. ausgezahlte ente Zinsen für das (Anfangs-)Kapital = K K K K 3 Eine axiale ewige ente eax erhält an für: K n = K für alle n N. = Es werden gerade nur die Zinsen ausgezahlt.. Fall: eax = Ki (3.3) Das Kapital wird i Laufe der Zeit verbraucht, d.h. der entenbetrag uss über de Zinsertrag liegen. = > Ki ( K( + i)) Frage: Wann ist das Kapital verbraucht? = Gesucht n so, dass K n = 0 0 = Kq n qn = Kqn n Kq n = qn = n (3.4) ustellen der Gleichung nach n (später)

6 6 Zur Barwertberechnung i Falle (A): Aus der Definition des Barwertes folgt: 0 q n = n (3.5) Daraus ergibt sich it Gleichung (3.) der Barwert in Abhängigkeit vo entenbetrag, n und q: 0 = q n q n () (3.6) Gleichung (3.6) entspricht der Gleichung (3.4) (vgl. Beerkung a Anfang). Vereinbarung: Wir werden nicht ehr zwischen K und 0 verwenden nur noch 0. unterscheiden, wir

7 7 Beispiel: Wieviel uss an 30 Jahre lang jährlich nachschüssig einzahlen, dait an anschließend 0 Jahre lang eine jährlich nachschüssige ente in Höhe von e erhält? (Sowohl in der Ansparphase als auch in der Auszahlphase sei i = 6%.) Lösung: gegeben: n = 30, n = 0, A = 4.000, i = 6% gesucht: 0 3 A A A A Den Kapitalwert bestien, aus de die entenzahlungen über die 0 Jahre bezahlt werden können. Abzinsung ittels Forel (3.6): K 0... Kapital, das zu Beginn der 0 Auszahljahre vorliegen uss: K 0 = A q 0 q 0 () = 4.000, 060, , 06 = 75.78,.. Dieser Wert K 0 uss Endwert der Einzahlungen sein. (3.): = K 0 q 30 = K 0 0, 06, = 3.48, 97.

8 8 Die Auflösung nach n (A) Frage: Wie lange uss an jährlich nachschüssig einen Betrag einzahlen, u nach n Jahren über einen vorgegebenen Kapitalwert n verfügen zu können ( i sei bekannt)? n (3.) = qn n = qn ( 0) Es ist also q n = n () q n = n () + (> 0) ( ) ln }{{} q n n = ln () + (q ) = n ln q n = ln ( n () + ) ln q = ln ( n i + ) ln ( + i) (3.7) (B) Frage: Wann erfolgt die letzte nachschüssige entenzahlung der Höhe aus eine Kapital 0, das it de Zinssatz i verzinst wird? Prüfen, ob > 0 i! (sonst Aufgabe sinnlos)

9 9 Die Auflösung nach q Die Frage nach de in der entenforel verwendeten Zinssatz ist die Frage nach de internen Zinssatz des entenstroes. (A) n (3.) = qn = n () = (q n ) = q n n q + n = 0 (B) 0 (3.6) = qn q n () = 0 q n () = q n = 0 q n+ ( 0 + )q n + = 0 i.a. nicht nach q auflösbar, Berechnung iterativ Newton Verfahren

10 0 Bei unterjährlichen Zahlungen: konforer Zinssatz: q = q, q = q i = entenendwert nach n Jahren: n = q n q = qn i (3.8) entenendwert nach eine Jahr: = q q = q = i i (3.9) = jährlich nachschüssige Ersatzrente

11 3.. Konstante vorschüssige enten bei durchgehend zinseszinslicher Verzinsung entenbetrag wird a Anfang der entenperiode gezahlt Beerkung: n... vorschüssiger entenendwert Vergleich von nachschüssigen und vorschüssigen enten: (A) 0 3 n n 0 nachschüssig Zinsterine vorschüssig Daraus erkennt an, dass die Anzahl der entenzahlungen in beiden Modellen gleich groß ist. Bei der vorschüssigen enteneinzahlung erfolgen die enteneinzahlungen nur genau eine Zinsperiode früher, das heißt: jede Einzahlung wird genau eine Periode länger verzinst als bei der nachschüssigen enteneinzahlung. Also gilt folgender Satz: Für den vorschüssigen entenendwert n nach n Jahren einer jährlich vorschüssigen konstanten ente, die auf ein Konto it Zinssatz i eingezahlt wird, gilt: n = q n = q qn (3.0) Für den Barwert dieser ente 0 erhalten wir (it 0q n = n) 0 = n q = qn n q n (3.)

12 3.3. Unterjährliche konstante enten bei geischter jährlicher Verzinsung nachschüssig entenzahlg. + + Zinsterine vorschüssig entenzahlg. + + Zinsterine Zu den unterjährlichen Zahlungen (nachschüssig oder vorschüssig) wird eine gleichwertige (konfore) jährlich nachschüssige Ersatzzahlung berechnet. Bezeichnung: k und k Mit dieser Ersatzzahlung hat an dann diese Problee auf das Proble der (jährlich) nachschüssigen entenzahlung zu den Zinsterinen (jährlich) zurückgeführt. k = ( + ) i( ) (3.) k = ( + ) i( + ) (3.3)

13 3 Beispiel: Jährliche Zahlungen von.000 e haben nach 0 Jahren einen entenendwert bei eine Zinssatz von 6% und. vorschüssiger Zahlung von 0 (3.0) = q q0 =.000, 06, 060 0, 06. nachschüssiger Zahlung von = , 7 0 = 0 q = 58.69, 54 Die Differenz dieser beiden Endwerte 0 0 = 9.490, 7 sind die Zinsen für die erste vorschüssige ate von.000 e, also z =.000(, 06 0 ) = 9.490, 7