Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)

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1 Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 004 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 4. Juni 004 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer, nichtprogrammierbarer Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung Hinweis: Der Bereich Analysis besteht aus vier Aufgaben. Die Schülerinnen und Schüler haben daraus drei Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule. Die Aufgabe Analytische Geometrie ist von allen Schülern zu bearbeiten.

2 - - Analysis: Aufgabe 1 x + 3x 1.0 Gegeben ist die reelle Funktion f: x a in der maximalen x 1 Definitionsmenge D(f). Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G(f) Bestimmen Sie die Definitionsmenge D(f) und die Nullstellen Untersuchen Sie das Verhalten des Graphen G(f) der Funktion f für x. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen G(f) an Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph G(f) monoton steigt bzw. monoton fällt. Bestimmen Sie Art und Lage der Extremalpunkte des Graphen G(f). ' x x 3 Teilergebnis:f(x) = (x 1) Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Graphen G(f) und alle Asymptoten im Bereich 7 x 7 in ein kartesisches Koordinatensystem. (Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm) Der Graph G(f) und die x-achse schließen im II. Quadranten ein Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung von Teilaufgabe 1.4 und berechnen Sie die Maßzahl dieser Fläche.

3 - 3 - Analysis: Aufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f: x (x ) e x a in der maximalen Definitionsmenge D(f) = IR. Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G(f)..1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen G(f) mit der x-achse. 4. Bestimmen Sie das Verhalten der Funktion f an den Rändern des Definitionsbereiches D(f) und geben Sie die Gleichung der Asymptote an. 8.3 Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f. Ermitteln Sie Art und Koordinaten der lokalen Extremalpunkte des Graphen G(f) auf zwei Stellen nach dem Komma. x Teilergebnis: f'(x) = ( x + x+ ) e 3.4 Der Graph G(f) besitzt zwei Wendepunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen G(f) auf zwei Stellen nach dem Komma. 3.5 Bestimmen Sie den Schnittwinkel, den die Tangente t an den Graphen G(f) im Punkt P(0; ) mit der y-achse einschließt. 5.6 Zeichnen Sie den Graphen G(f) und die Tangente t im Bereich 1,7 x 6 in ein kartesisches Koordinatensystem. Verwenden Sie dazu die bisherigen Ergebnisse. (Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm)

4 - 4 - Analysis: Aufgabe Ein Unternehmen stellt Werkstücke her. Die Herstellungskosten K werden durch die Funktionsgleichung ( ) 3 K(x) = 1 x beschrieben. 100 Der Graph der Funktion K heißt G(K). Der Umsatz U(x) ergibt sich als Produkt aus dem Verkaufspreis von 17 pro Stück und der verkauften Stückzahl x. Für die folgenden Teilaufgaben sind nur die Maßzahlen zu berücksichtigen Zeigen Sie, dass die Funktion K keine Extremalstellen mit horizontaler Tangente besitzt. mögliches Teilergebnis:K'(x) = 0,03x 0,9x+ 6, Zeigen Sie, dass G(K) einen Wendepunkt besitzt. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes und stellen Sie die Gleichung der Wendetangente w auf Zeichnen Sie den Graphen G(K) sowie die Wendetangente w im Bereich 0 x 55 in ein kartesisches Koordinatensystem. x-achse: 1cm A 5 (Stück); y-achse: 1cm A 100 ( ) 3.4 Erstellen Sie die Funktionsgleichung des Umsatzes U(x) und zeichnen Sie den Graphen der Funktion U(x) in das Koordinatensystem von Teilaufgabe Entnehmen Sie dem Schaubild aus Teilaufgabe 3.3 den Bereich der Stückzahlen, für den das Unternehmen Gewinn erzielt Für die Gewinnfunktion gilt: G(x) = U(x) K(x). Berechnen Sie, bei welcher Stückzahl der maximale Gewinn erzielt wird. Ermitteln Sie den maximalen Gewinn G max.

5 - 5 - Analysis: Aufgabe In einer Firma fallen Blechteile der in nebenstehender Skizze dargestellten Form an. Die obere Begrenzungslinie ist der Parabelbogen G(p). Der zu diesem Parabelbogen gehörende Funktionsterm lautet: 1 p(x) = x + 8 mit dem 4 Definitionsbereich D(p) = [ 4 ; 4]. G(p) D C Q P A B Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche eines Blechteils Aus diesen Blechteilen werden rechteckige Plättchen ABCD in der skizzierten Form so heraus geschnitten, dass der Eckpunkt C(u; p(u)) mit 0 u 4 auf dem Parabelbogen G(p) liegt. Stellen Sie die Maßzahl A(u) der Fläche der Rechtecke ABCD in Abhängigkeit von u dar. 1 3 Ergebnis: A(u) = 16u u Zeigen Sie, dass für u = die Flächenmaßzahl des zugehörigen Rechtecks ABCD den Wert A() = 8 hat. Weisen Sie nach, dass es keine weiteren Rechtecke mit der gleichen Flächenmaßzahl gibt Bestimmen Sie nun u so, dass die Flächenmaßzahl A(u) der Rechtecke ihren absolut größten Wert A max annimmt und berechnen Sie A max Berechnen Sie den Abfall in Prozent, wenn aus einem Blechteil das flächengrößte Rechteck herausgeschnitten wird.

6 - 6 - Analytische Geometrie 5.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade 4 k+ r g k : x = 7 +λ mit k, λ IR und die Punkte 3 A (1; ; ), B( 8; 3; 4) und C(3; 0; 0) gegeben Die Ebene E enthält die Punkte A und C und schneidet die x 3 - Achse bei x 3 = 1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und Normalenform. [mögliches Teilergebnis: E: x 1 + x 3x 3 3 = 0] 3 5. Berechnen Sie k so, dass B auf der Geraden g k liegt Ermitteln Sie, für welchen Wert des Parameters k die Gerade g k und die Ebene E parallel sind, und berechnen Sie für diesen Fall den Abstand der Geraden g k von der Ebene E Für die folgenden Teilaufgaben gilt: k = Die Gerade g 4 und die Ebene E schneiden sich im Punkt D. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D Ermitteln Sie den Schnittwinkel φ zwischen der Geraden g 4 und der Ebene E Die Punkte A, B und C bilden die Eckpunkte des Dreiecks ABC. Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche des Dreiecks S(s; s; 0) soll die Spitze einer dreiseitigen Pyramide mit ABC als Grundfläche sein. Bestimmen Sie s so, dass das Pyramidenvolumen 7 VE beträgt.