UNIVERSITÄT BIELEFELD -

Transkript

1 UNIVERSITÄT BIELEFELD - FAKULTÄT FÜR PHYSIK LEHRSTUHL FÜR SUPRAMOLEKULARE SYSTEME, ATOME UND CLUSTER PROF. DR. ARMIN GÖLZHÄUSER Grundversuch Thermodynamik Ideale Gasgesetz Durchgeführt am BetreuerIn: Praktikanten (Gruppe 1): Dr. Udo Werner Marius Schirmer marius.schirmer@gmx.de Verena Mohaupt verena.mohaupt@web.de Postfach: E3-470 Marcus Boettiger m.boettiger@web.de

2 Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuchs 1 2 Theoretische Grundlagen 1 3 Versuchsaufbau, -durchführung und Messwerte 3 4 Auswertung und Veranschaulichung der Messwerte Verifizierung des Gesetzes von Boyle-Mariotte Verifizierung des Gesetzes von Gay-Lussac Bestimmung von α Verifizierung des Gesetzes von Charles Bestimmung von β Fehleranalyse und Fehlerberechnung Fehler beim Ablesen Fehlerrechnung Abbildungsverzeichnis 1 Schematische Darstellung der Versuchsapparatur Graphische Darstellung von pv mit Regressionsgerade Graphische Darstellung von V/T mit Regressionsgerade V-T-Diagramm Graphische Darstellung von p/t mit Regressionsgerade p-t-diagramm Fehlerfortpflanzung bei der Verifizierung des Boyle-Mariotte schen Gesetzes Fehlerfortpflanzung bei der Verifizierung des Gay-Lussac Gesetzes Fehlerfortpflanzung bei der Verifizierung des Charles Gesetzes Tabellenverzeichnis 1 Messdaten bei konstanter Temperatur Messdaten bei konstanten Drücken Messdaten bei konstanten Volumina Verifizierung des Boyle-Mariotte schen Gesetzes Verifizierung des Gesetzes von Gay-Lussac Werte von V/T Verifizierung des Gesetzes von Charles Werte von p/t II

3 1 ZIEL DES VERSUCHS 1 1 Ziel des Versuchs Ziel dieses Versuchs und seiner Auswertung ist der Nachweis der Zustandsgleichung des idealen Gasgesetzes. Dazu wird im folgenden Kapitel die theoretische Grundlage eines idealen Gases beschrieben und den daraus resultierenden Spezialfällen: Gesetz von Boyle-Mariotte, Gesetz von Gay-Lussac und das Gesetz von Charles, in denen jeweils eine Zustandsvariable konstant gehalten wird. Im dritten Kapitel beschreiben wir den Versuchsaufbau und die Durchführung des Versuchs mit den ermittelten Messdaten. Die Messdaten werden dann im vierten Kapitel benutzt, um die vorgestellten Gesetze des zweiten Kapitels zu überprüfen. Abschließend führen wir im fünften Kapitel eine Fehlerfortpflanzungsberechnung durch. 2 Theoretische Grundlagen In der Physik (Thermodynamik) werden Gase in reale und ideale Gase eingeteilt und formal unterschiedlich behandelt. Somit gibt es eine angenäherte Zustandsgleichung für reale Gase (Van-der-Waals sche Zustandsgleichung) 1 ( ) p + V an 2 V 2 }{{} Binnendruck und eine Zustandsgleichung für ideale Gase Mit p Gasdruck V Gasvolumen n Stoffmenge des Gases R allgemeine Gaskonstante= 8, 314 J T Gastemperatur a,b Van-der-Waals-Konstanten bn }{{} Kovolumen = nrt pv = nrt. (1) molk Liegt die Temperatur des Gases genügend oberhalb ihres Kondensationspunktes, dann kommen die meisten Gase den Eigenschaften des idealen Gases nahe 2. In 1 Für bestimmte Anwendungen ist auch die Van-der-Waals sche Zustandsgleichung zu ungenau und es muss auf weiterentwickelte Gleichungen zurückgegriffen werden, wie z.b. die Redlich-Kwong- Gleichung, Redlich-Kwong-Soave-Gleichung oder Benedict-Webb-Rubin-Gleichung. 2 Vergleiche Kuchling, S. 280

4 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN 2 diesem Fall wirken keine Kräfte, außer beim Zusammenstoß, zwischen den Molekülen und das Eigenvolumen der Moleküle ist klein im Verhältnis zum Gasvolumen. Bei steigendem Druck oder sinkender Temperatur weichen sie aber von diesen Eigenschaften ab und die Van-der-Waals sche Gleichung beschreibt das Verhalten der Gase besser 3. Im folgenden beschränken wir uns auf die Zustandsgleichung für ideale Gase. Allgemein bestimmen die Zustandsgleichungen über die Zustandsvariablen Druck, Volumen und Temperatur den Zustand eines Gases. Aus der Zustandsgleichung 1 ergeben sich verschiedene Spezialfälle. So erhält man für konstante Temperaturen das Gesetz von Boyle-Mariotte pv = konstant. Und bei einem kontanten Druck das Gesetz von Gay-Lussac V T = konstant ( V = V T T 0 273, 16K = V 0 (1 + αt) Bei konstantem Volumen folgt das Gesetz von Charles p T = konstant ( p = p T T 0 273, 16K = p 0 (1 + βt) ) ) 3 Vergleiche Tipler, S. 621

5 3 VERSUCHSAUFBAU, -DURCHFÜHRUNG UND MESSWERTE 3 3 Versuchsaufbau, -durchführung und Messwerte Das zu untersuchende eingeschlossene Gas kann durch das Wärmebad mit Temperaturregeleinheit erwärmt werden. Weiterhin können Volumen und Druck des Gases durch das einseitig höhenverstellbare Quecksilberbarometer justiert werden. Somit kann immer eine Zustandsvariable konstant gehalten und die beiden andern ermittelt werden. Messung der Zustandsvariablen: Volumen: Mit Hilfe des Zentimetermaßstabes wird die Höhe des Gasvolumens millimetergenau bestimmt. Die Querschnittsfläche des eingeschlossenen Gasvolumens beträgt 1, m 2. Temperatur: Die Gastemperatur wird mit dem Thermometer in C gemessen. Zu beachten ist hierbei, dass das Thermometer die Temperatur der Umwälzflüssigkeit mißt und somit erst ein Gleichgewicht zwichen Umwälzflüssigkeit und Gasprobe abgewartet werden muß. Druck: Der Druck des eingeschlossenen Gases wird über die Höhendifferenz H der Quecksilberpegel gemessen und zum ermittelten Atmosphärendruck p Atm addiert. Thermometer eingeschlossene Gasprobe System mit Pumpe zur Erwärmung des Gases Maßstab H höhenverstellbares Ende des Quecksilberbarometers Quecksilberpegel Quecksilberbarometer Wärmebad mit Heizung Abbildung 1: Schematische Darstellung der Versuchsapparatur

6 3 VERSUCHSAUFBAU, -DURCHFÜHRUNG UND MESSWERTE 4 1. Zuerst haben wir die Zimmertemperatur (T Z ) und den Luftdruck (p Atm ) abgelesen: T Z = 19 C p Atm = 742, 5mmHg. 2. Desweiteren haben wir zur Verifizierung des Boyle- Mariotte schen Gesetzes bei (konstanter) Zimmertemperatur das Volumen für unterschiedliche Drücke bestimmt. Zur Weiteren Messung (siehe 3.) entschieden wir uns für die zwei gelbmarkierten Messergebnisse. H p [cm] H V [cm] 0,0 16,2 1,8 16,0 3,3 15,6 5,0 15,3 6,8 15,0 8,3 14,6 10,0 14,3 Tabelle 1: Messdaten bei konstanter Temperatur 3. Zur Messung von Daten bei unterschiedlichen Temperaturen heizten wir das Wasserbad auf eine Temperatur von 70 C und nahmen im Laufe der Abkühlung des zirkulierenden Wassers je 7 Volumendaten bei den zuvor ausgewählten (konstanten) Drücken 0,0 und 5,0. T [ C] H p0,0 [cm] V p=0,0 [cm] H p5,0 [cm] V p=5,0 [cm] ,9 5 17, ,6 5 17, ,3 5 17, , ,5 5 16, ,2 5 15,6 Tabelle 2: Messdaten bei konstanten Drücken Weiterhin lasen wir bei den ausgewählten (konstanten) Volumina 15,3 und 16,2 die entsprechenden Drücke ab.

7 4 AUSWERTUNG UND VERANSCHAULICHUNG DER MESSWERTE 5 T [ C] V 16,2 [cm] H p,v=16,2 [cm] V 15,3 [cm] H p,v=15,3 [cm] 70 16,2 13,2 15,3 17, ,2 11,8 15,3 16, ,2 10,5 15,3 15, ,2 9,3 15,3 13, ,2 8,3 15,3 12, ,2 5,8 15,3 9, ,2 2,2 15,3 7,1 Tabelle 3: Messdaten bei konstanten Volumina Da der Abkühlvorgang des Wassers sehr schnell ging, bzw. das Ablesen der gewünschten Daten lange dauerte, mussten wir das zirkulierende Wasser zwischen den 4 Messungen immer wieder auf die gewünschte Temperaur aufheizen. 4 Auswertung und Veranschaulichung der Messwerte 4.1 Verifizierung des Gesetzes von Boyle-Mariotte In der folgenden Tabelle werden die aufgearbeiteten und umgerechnenten Daten präsentiert: H p [cm] H p [mm] H V [cm] H V [m]p M =H p [mm]+742,5mmhg p M [Pa] V[m 3 ]=1,02*10-4 m 2 *H V [m] p M [Pa]*V[m 3 ]=[J] 0,0 0,0 16,2 0, , ,3 0, ,635 1,8 18,0 16,0 0, , ,7 0, ,654 3,3 33,0 15,6 0, , ,2 0, ,645 5,0 50,0 15,3 0, , ,3 0, ,649 6,8 68,0 15,0 0, , ,7 0, ,653 8,3 83,0 14,6 0, , ,2 0, ,639 10,0 100,0 14,3 0, , ,3 0, ,638 Tabelle 4: Verifizierung des Boyle-Mariotte schen Gesetzes Die letzte Spalte der obigen Tabelle gibt das Produkt von Druck und Volumen an, welches nach Boyle-Mariotte konstant sein soll. Für die Standardabweichung ergibt sich ein Wert von 0,0075, welcher auf eine geringe Streuung um den Mittelwert hinweist. Abbildung 2 verdeutlicht dies

8 4 AUSWERTUNG UND VERANSCHAULICHUNG DER MESSWERTE 6 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 p*v 1,65 1,64 1,63 1,62 y = -0,0006x + 1,647 1,61 1, Anzahl der Werte pm[pa]*v[m3]=[j] Linear (pm[pa]*v[m3]=[j]) Abbildung 2: Graphische Darstellung von pv mit Regressionsgerade Die niedrige Steigung von -0,0006 der Regressionsgeraden bestätigt die annähernde Konstanz von p V. 4.2 Verifizierung des Gesetzes von Gay-Lussac In der folgenden Tabelle werden die aufgearbeiteten und umgerechnenten Daten präsentiert: T [ C] T[K]=T[ C]+273,16 H p0,0 [cm] p 0,0 [Pa]=H p0,0 [cm]+742,5*133,3 V p=0,0 [cm] V p=0,0 [m 3 ]=V p=0,0 [cm]/100*1,02* , ,25 19,0 0, , ,25 18,9 0, , ,25 18,6 0, , ,25 18,3 0, , ,25 18,0 0, , ,25 17,5 0, , ,25 17,2 0, H p5,0 [cm] p 5,0 [Pa]=H p5,0 [cm]+742,5*133,3 V p=5,0 [cm] V p=5,0 [m 3 ]=V p=5,0 [cm]/100*1,02* ,25 18,0 0, ,25 17,6 0, ,25 17,4 0, ,25 17,1 0, ,25 16,9 0, ,25 16,3 0, ,25 15,6 0, Tabelle 5: Verifizierung des Gesetzes von Gay-Lussac

9 4 AUSWERTUNG UND VERANSCHAULICHUNG DER MESSWERTE 7 0, , V/T 0, , , , , , y = 1E-10x + 6E-08 y = -1E-10x + 5E Anzahl der Werte Vp=0,0[m3]/T[K] Linear (Vp=0,0[m3]/T[K]) Vp=5,0[m3]/T[K] Linear (Vp=5,0[m3]/T[K]) Abbildung 3: Graphische Darstellung von V/T mit Regressionsgerade Das Diagramm zeigt 2 Graphen die den Quotienten V/T darstellen. Dieser sollte jeweils eine Konstante ergeben, was die Graphen und die geringe Standardabweichung von 4, und 3, gut bestätigen. V p=0,0 [m 3 ]/T[K] V p=5,0 [m 3 ]/T[K] 5,64751E-08 5,35027E-08 5,70085E-08 5,30873E-08 5,69456E-08 5,32717E-08 5,68808E-08 5,31509E-08 5,6814E-08 5,3342E-08 5,69996E-08 5,30911E-08 5,78704E-08 5,24871E-08 Tabelle 6: Werte von V/T Bestimmung von α In diesem Abschnitt bestimmen wir den Volumenausdehnungskoeffizienten α aus unserern Daten über die Regressionsgerade V = V 0 + mt mit m := αv 0 Die folgenden Abbildungen tragen unsere Daten in V-T-Diagrammen auf. Zur Bestimmung von m und V 0 haben wir jeweils eine Regressionsgerade durch die gemessenen Werte gelegt.

10 4 AUSWERTUNG UND VERANSCHAULICHUNG DER MESSWERTE 8 0, , , , Volumen [m³] 0, , , V = 5x10^(-8)T + 2x10^(-5) Vulumen [m³] 0, , , V = 6x10^(-8)T + 10^(-5) 0, , , Temperatur [ C] Vp=0,0[m3]=Vp=0,0[cm]/100*1,02*10-4 Linear (Vp=0,0[m3]=Vp=0,0[cm]/100*1,02*10-4) 0, Temperatur [ C] Vp=5,0[m3]=Vp=5,0[cm]/100*1,02*10-4 Linear (Vp=5,0[m3]=Vp=5,0[cm]/100*1,02*10-4) Für unsere Werte ergeben sich dann: Abbildung 4: V-T-Diagramm α 0 = m = V K = 2, K 1 α 5 = m = V K = K 1 Der Volumenausdehnungskoeffizient α ig eines idealen Gases liegt bei α ig = 1 273, 1K = 3, K 1. Unsere berechneten Werte stimmen bis auf eine (geringe) Abweichung mit dem Literaturwert überein. 4.3 Verifizierung des Gesetzes von Charles In der folgenden Tabelle werden die aufgearbeiteten und umgerechnenten Daten präsentiert: T [ C] T[K]=T[ C]+273,16 V 16,2 [cm] V 16,2 [m 3 ]=V 16,2 [cm]/100*1,02*10-4 H p,v=16,2 [cm] p V=16,2 [Pa]=(H p,v=16,2 [cm]*10+742,5)*133, ,16 16,2 0, , , ,16 16,2 0, , , ,16 16,2 0, , , ,16 16,2 0, , , ,16 16,2 0, , , ,16 16,2 0, , , ,16 16,2 0, , ,85 V 15,3 [cm] V 15,3 [m 3 ]=V 15,3 [cm]/100*1,02*10-4 H p,v=15,3 [cm] p V=15,3 [Pa]=(H p,v=15,3 [cm]*10+742,5)*133,3 15,3 0, , ,45 15,3 0, , ,15 15,3 0, , ,95 15,3 0, , ,75 15,3 0, , ,75 15,3 0, , ,05 15,3 0, , ,55 Tabelle 7: Verifizierung des Gesetzes von Charles

11 4 AUSWERTUNG UND VERANSCHAULICHUNG DER MESSWERTE y = 0,0765x + 357,2 p/t y = -0,2193x + 340, Anzahl der Werte pv=16,2[pa]/t[k] Linear (pv=15,3[pa]/t[k]) pv=15,3[pa]/t[k] Linear (pv=16,2[pa]/t[k]) Abbildung 5: Graphische Darstellung von p/t mit Regressionsgerade Das Diagramm zeigt 2 Graphen die den Quotienten p/t darstellen. Dieser sollte jeweils eine Konstante ergeben, was die Graphen und die geringe Standardabweichung von 1,50 und 1,54 relativ gut bestätigen. p V=16,2 [Pa]/T[K] p V=15,3 [Pa]/T[K] 339, , , , , , , , , , , , , , Tabelle 8: Werte von p/t Bestimmung von β In diesem Abschnitt bestimmen wir den Volumenausdehnungskoeffizienten β aus unserern Daten über die Regressionsgerade p = p 0 + mt mit m := βp 0 Die folgenden Abbildungen tragen unsere Daten in p-t-diagrammen auf. Zur Bestimmung von m und p 0 haben wir jeweils eine Regressionsgerade durch die gemessenen Werte gelegt.

12 5 FEHLERANALYSE UND FEHLERBERECHNUNG 10 0, , , , Volumen [m³] 0, , , V = 5x10^(-8)T + 2x10^(-5) Vulumen [m³] 0, , , V = 6x10^(-8)T + 10^(-5) 0, , , Temperatur [ C] Vp=0,0[m3]=Vp=0,0[cm]/100*1,02*10-4 Linear (Vp=0,0[m3]=Vp=0,0[cm]/100*1,02*10-4) 0, Temperatur [ C] Vp=5,0[m3]=Vp=5,0[cm]/100*1,02*10-4 Linear (Vp=5,0[m3]=Vp=5,0[cm]/100*1,02*10-4) Abbildung 6: p-t-diagramm Für unsere Werte ergeben sich dann: β 15,3 = m 354, 56 = p K = 3, K 1 β 16,2 = m 353, 05 = p K = 3, K 1 Der Volumenausdehnungskoeffizient β ig eines idealen Gases liegt bei α ig = 1 273, 1K = 3, K 1. Unsere berechneten Werte stimmen bis auf eine geringe Abweichung mit dem Literaturwert überein. 5 Fehleranalyse und Fehlerberechnung 5.1 Fehler beim Ablesen Da bei diesem Versuch viele Geräte analog sind entsteht schon beim Ablesen der Werte eine gewisse Ungenauigkeit. Diese lässt sich jedoch nur grob einschätzen. Bei der Volumenmessung am Zentimetermaßstab nahmen eine Ablesfehler ( h) von 0,002m an Bei der Temperaturmessung haben wir einen Messfehler von ± 0,5K angenommen.

13 5 FEHLERANALYSE UND FEHLERBERECHNUNG 11 Bei der Druckmessung am Zentimetermaßstab nahmen eine Ablesfehler ( H) von 0,002m an Damit ergeben sich folgende Messfehler für die Zustandsvariabeln: V = Grundfläche h = 1, m 2 0, 002m = 2, T = ±0, 5K p = 742, 5mmHg + 2mm 5.2 Fehlerrechnung Die folgenden Graphiken zeigen die verifizierten Gesetze und die Fehlerfortpflanzung, die durch eingezeichnete Fehlerbalken kenntlich gemacht wurden. Die Fehlerfortpflanzung für die Temperatur C T berechnet sich auf folgendem Wege: C T = (V p) 2 + (p V ) 2 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 p*v 1,65 1,64 1,63 1,62 y = -0,0006x + 1,647 1,61 1, Anzahl der Werte pm[pa]*v[m3]=[j] Linear (pm[pa]*v[m3]=[j]) Abbildung 7: Fehlerfortpflanzung bei der Verifizierung des Boyle-Mariotte schen Gesetzes Die Fehlerfortpflanzung für die Temperatur C p : C p = ( ) 2 ( ) 2 1 V T V + T T 2

14 5 FEHLERANALYSE UND FEHLERBERECHNUNG 12 0, , V/T 0, , , , , , y = -1E-10x + 6E-08 y = 1E-10x + 5E Anzahl der Werte Vp=0,0[m3]/T[K] Linear (Vp=0,0[m3]/T[K]) Vp=5,0[m3]/T[K] Linear (Vp=5,0[m3]/T[K]) Abbildung 8: Fehlerfortpflanzung bei der Verifizierung des Gay-Lussac Gesetzes Die Fehlerfortpflanzung für die Temperatur C V : ( ) 2 1 ( p ) 2 C V = T p + T T y = -0,0765x + 357,81 p/t y = 0,2193x + 338, Anzahl der Werte pv=16,2[pa]/t[k] Linear (pv=15,3[pa]/t[k]) pv=15,3[pa]/t[k] Linear (pv=16,2[pa]/t[k]) Abbildung 9: Fehlerfortpflanzung bei der Verifizierung des Charles Gesetzes

15 LITERATUR 13 Literatur [1] Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik I, Walter de Gruyter Berlin, 10. bearbeitete und erweiterte Auflage, 1990 [2] Horst Kuchling, Taschenbuch der Physik, Fachbuchverlag Leibzig, 18. neubearbeitete Auflage, 2004 [3] Paul A. Tipler, Gene Mosca, Physik für Wissenschaftler und Ingenieure, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage, 2004 [4] Udo Werner, Script für das Physik-Praktikum I, Universität Bielefeld Fakultät für Physik, 2006