) sind keine Terme. Setzt man für die Variable eines Terms eine Zahl ein, so erhält man als Ergebnis wieder eine Zahl. y = 2 3 y = 11

Transkript

1 Wert eines Terms berechnen sind sinnvolle Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern bestehen können. Setzt man für die Variablen Zahlen ein, so erhält man als Ergebnis wieder eine Zahl. Sinnlose Rechenausdrücke (z. B.: a_ 0 ) sind keine. Setzt man für die Variable eines Terms eine Zahl ein, so erhält man als Ergebnis wieder eine Zahl. y = 3 y = 11 1 Berechne den Wert des Terms _ 3x + x 7, wenn x = 4! _ 3x + x 7 = _ = 1_ = = 3 Berechne jeweils den Wert des Terms, wenn x =! a) 5x 7 + x = b) 8 + 6x = c) x x = d) 9x 3 = e) 3x + 1 = f) 1x + 7 x = g) 34 8x = h) 10x 6 = Berechne jeweils den Wert des Terms, wenn m =! a) m² 7 = b) 3 + m³ 1 = c) m² m = d) 1 + m³ m = 3 Berechne jeweils den Wert des Terms, wenn a = 3! _ 5a a) 3 + a 6 = b) + _ 3a 10a 9 a = c) 9 _ 5 + a = d) _ 8a 6 3a = 4 Berechne jeweils den Wert des Terms, wenn x = ( 4)! x_ 3x a) x = b) 3 + _ x + x = c) 10 _ 4 = d) _ 6x 3 + x = aufstellen aufstellen bedeutet, einen gegebenen Sachverhalt mithilfe von Variablen und Rechenzeichen in die Sprache der Mathematik zu übersetzen. Z. B.: Eine Zahl x wird um 4 vermehrt. x + 4 Der unbekannte Wert wird immer mithilfe eines Platzhalters (Variable) im Term ausgedrückt. Subtrahiere vom Dreifachen einer Zahl das Produkt der Zahl und 7! 3x x 7 3x x 7 = 3x 7x = 4x 1

2 5 Übersetze die Aussagen in die Sprache der Mathematik! Das Vierfache einer Zahl verringert um 3 4x 3 a) Das Doppelte einer Zahl minus 6 b) Eine Zahl vermehrt um 9 c) Addiere 3 zum Dreifachen einer Zahl d) Bilde den Quotienten aus dem 1 fachen einer Zahl und 6 Stelle einen passenden Term auf und vereinfache ihn so weit als möglich! a) Zum Sechsfachen einer Zahl wird das Doppelte der Zahl addiert. b) Das Dreifache einer Zahl wird um das Vierfache der Zahl vermindert. c) Eine Zahl wird um das Dreifache dieser Zahl vermehrt und anschließend durch das Doppelte der Zahl dividiert. 7 Stelle einen Term auf und vereinfache so weit als möglich! a) Subtrahiere von einer Zahl die Hälfte der Zahl. b) Bilde den Quotienten aus einer Zahl und 5. c) Die Summanden sind das Doppelte einer Zahl und 9. Wie lautet die Summe? Addieren und Subtrahieren von Potenztermen Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten (Hochzahl) können addiert bzw. subtrahiert werden. a + 4a + a 3 + a a = a 3 + a + a Das Ergebnis wird in absteigender Potenz angegeben. Vereinfache den Term so weit als möglich! x² 3x + 5x³ x² + 7 8x = x² x² 3x 8x + 5x = x² 11x + 5x³ + 7 = = 5x³ + x² 11x Vereinfache die so weit als möglich! a) x³ 4x + 5 x² 4x³ + x 4 = b) 8x + 3x² 7x³ + 5 8x³ 5x = c) 9 3x 6x² + 7x 4x³ + 1 = d) 10x² + 5x + 3x² 5x + 6x² 9x³ = 9 Vereinfache die so weit als möglich! a) a + 4a² a³ + 9 7a² 10 = b) 13a³ + 7a² 1 + 8a² 9a³ = c) a² 7a + 8a³ + 4 9a² + 1 = d) 7 a + 7a³ 5a + a =

3 10 Fasse die so weit als möglich zusammen! a) m + m² 8 + 5m³ 3m + m² = b) r² + 7r r³ + r² 8 + 4r³ 7 = c) 1 + s³ 7s³ + s² 6s + 8 = d) 4p³ + p² 3 + 4p³ 5p² = Vereinfache den Term so weit als möglich! x² 4y + x³ 7a + x² + 7y² 9 + 3a = x² + x² 4y + x³ 7a + 3a + 7y² 9 Gleiche Potenzterme zusammenfassen = 3x² 4y + x³ 4a + 7y² 9 = x³ + 3x² + 7y² 4a 4y 9 Ergebnis in absteigender Potenz und alphabetischer Reihenfolge ordnen. 11 Fasse zusammen und ordne das Ergebnis nach dem Grad der Potenz! a) 5x³ a + 3x² + 7 a² = b) 3a + 6b c² + 7a 6b² = c) b³ + 6a 7a² b² + 6 = d) 4y + 3z³ x² + z² 7x = 1 Fasse zusammen und ordne das Ergebnis nach dem Grad der Potenz! a) 3x 5 y + z³ y² + x 4 = b) a 4 + 6b b³ + 7a² c = c) 9x² + a² c³ + 7a 5 c = d) c² + 8 7a + c² a³ + c 5 = Multiplizieren und Dividieren von Potenztermen Multiplizieren Dividieren = = = / / / = ² / / / a 3 a = a a a a a = a 5 a 7 a 4 = a a a a a a a / / / / = a³ a a a a / / / / Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem werden dividiert, indem man man die Exponenten addiert. die Exponenten subtrahiert = 5 +3 = = 5 3 = a m a n = a m+n a m a n = a m n a 0; m > n > 0 Vereinfache die Potenzterme! Multiplizieren Dividieren a) x 5 x² = x 5 + = x 7 c) x 5 x² = x 5 = x 3 b) x 5 3x² = 3 x 5 + = 6x 7 d) 1x 5 3x² = 1x5 = 1 x x x x x / / / = 4x³ 3x 3 x x / / / Gib jeweils das Produkt der Potenzterme an! a) x 6 x³ = b) a 7 a² = c) m³ m 5 = d) y 4 y³ = e) x³ x² = f) 4m² 3m 7 = g) 5y² 6y³ = h) 7a³ 8a 8 = 3

4 14 Gib jeweils den Quotienten der Potenzterme an! a) x 7 x² = b) s 5 s³ = c) z 6 z³ = d) y 9 y 5 = e) 4z² z = f) 10x 4 5x² = g) 8m 5 m³ = h) 1a 7 4a² = Klammern ausmultiplizieren Steht ein Faktor vor einer Klammer, so wird der Faktor mit jedem Teil des Terms in der Klammer multipliziert. Dabei muss auf die Vorzeichen und Operationszeichen geachtet werden! a (b c) = ab ac Löse die Klammern durch Multiplizieren auf! 6(x + 5) = 6 x = 1x + 30 a(a 3b) = a a a 3b = a² 6ab 15 Löse die Klammern durch Multiplizieren auf! a) 4(5y ) = b) 3(3 7x) = c) 8(5 + a) = d) 9(4s ) = e) 7(x + 6) = f) 4( 9x) = g) (m 7) = h) 5(3y + 4) = 16 Multipliziere aus! a) x(x 4) = b) 8a( a) = c) 4m(m + 7) = d) 3s(9 6s) = e) 7a(a + ) = f) 4y(y + 5) = g) 3e(6 3e) = h) 5a(a + 1) = Multiplizieren von Summen und Differenzen Beim Multiplizieren von Summen und Differenzen wird jeder Wert der ersten Klammer jeweils mit den Werten in der zweiten Klammer multipliziert. Anschließend wird das Ergebnis noch so weit als möglich zusammengefasst. (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (a b) (c + d) = ac + ad bc bd (a + b) (c d) = ac ad + bc bd (a b) (c d) = ac ad bc + bd a) (4 + x)(3 + x) = 1 + 4x + 6x + x² = x² + 10x + 1 b) (a 3)(a 5) = a² 5a 6a + 15 = a² 11a

5 17 Vereinfache die Klammern durch Ausmultiplizieren! a) ( + a)(a + 4) = b) (x + 3)(x + 4) = c) (5 + a)(a + 1) = d) (m + 3)( + m) = e) (a + )(a + 7) = f) (4 + x)(x + 6) = 18 Löse die Klammern auf und fasse anschließend zusammen! a) (3a 5)(a + 1) = b) ( + x)(3 x) = c) (6 + m)(m 3) = d) (7 a)(5a ) = e) (4a 7)(3 a) = f) (x + 6)(x 8) = 1. binomische Formel Wenn eine Summe zu quadrieren ist, wird die 1. binomische Formel angewendet. (a + b)² = a² + ab + b² Wende die 1. binomische Formel an! (a + b)² = a² + ab + b² (3 + x)² = x + x² = 9 + 6x + x² = x² + 6x Wende die 1. binomische Formel an! a) (a + )² = b) (3 + x)² = c) (4 + a)² = d) (7 + m)² = e) (5 + y)² = f) (s + 4)² = g) (x + 1)² = h) (8 + y)² = 0 Quadriere die Summe! a) (a + 1)² = b) (4 + x)² = c) (3 + 3a)² = d) (5 + m)² = 1 Welches Ergebnis gehört zu welcher Rechnung? a) (3 + x)² = 1: 4x² + 8x + 4 b) (x + 3)² = : x² + 6x + 9 c) (x + )² = 3: 4x² + 1x + 9 5

6 . binomische Formel Wenn eine Differenz zu quadrieren ist, wird die. binomische Formel angewendet. (a b)² = a² ab + b² Wende die. binomische Formel an! (a b)² = a² ab + b² (x 3)² = 4x² x = 4x² 1x + 9 Wende die. binomische Formel an! a) (a )² = b) (x 3)² = c) (4 a)² = d) (m 8)² = e) (6 y)² = f) (s 4)² = g) (x 1)² = h) (9 y)² = 3 Quadriere die Differenzen! a) (3a 1)² = b) ( 3x)² = c) (5a 3)² = d) (7 m)² = 4 Welches Ergebnis gehört zu welcher Rechnung? a) (4 6x)² = 1: 4x² 4x + 36 b) (x 4)² = : 36x² 48x + 16 c) (x 6)² = 3: x² 8x

7 Lösungen 1 a) 5 b) 18 c) 0 d) 15 e) 7 f) 9 g) 18 h) 6 a) 3 b) 10 c) 4 d) 7 3 a) b) 3 c) 6 d) 5 4 a) b) 7 c) 1 d) 16 5 a) x 6 b) x + 9 c) 3 + 3x d) 1x = 6x 6 a) 6x + x = 8x b) 3x 4x = x c) (x + 3x) x = 4x x = 7 a) x x_ = x_ b) x_ 5 c) x a) 3x³ x² x + 1 b) 15x³ + 3x² + 3x + 5 c) 4x³ 6x² + 4x + 10 d) 9x³ + 19x² 9 a) a³ 3a² + a 1 b) 4a³ + 15a² 1 c) 8a³ 7a² 7a + 5 d) 7a³ 6a a) 5m³ + 3m² m 8 b) 3r³ + 3r² + 7r 15 c) 6s³ + s² 6s + 9 d) 8p³ 4p² 3 11 a) 5x³ a² + 3x² a + 7 b) 6b² c² + 10a + 6b c) b³ 7a² b² + 6a + 6 d) 3z³ x² + z² 7x + 4y 1 a) 3x 5 + x 4 + z³ y² y b) a 4 b³ + 7a² + 6b c c) 7a 5 c³ + a² + 9x² c d) c 5 a³ + c² 7a a) x 9 b) a 9 c) m 8 d) y 7 e) 4x 5 f) 1m 9 g) 30y 5 h) 56a a) x 5 b) s² c) z³ d) y 4 e) z f) x² g) 4m² h) 3a 5 7

8 15 a) 0y 8 b) 9 1x c) a d) 36s 18 e) 7x + 4 f) 8 36x g) 4m 14 h) 15y a) x² 8x b) 16a 16a² c) 4m² + 8m d) 7s 18s² e) 7a² + 14 f) 8y² + 0y g) 18e 9e² h) 5a² + 5a 17 a) a² + 6a + 8 b) x² + 7x + 1 c) a² + 6a + 5 d) m² + 5m + 6 e) a² + 9a + 14 f) x² + 10x a) 3a² a 5 b) x² + 4x + 6 c) m² + 9m 18 d) 5a² + 37a 14 e) 4a² + 19a 1 f) x² 10x a) a² + 4a + 4 b) x² + 6x + 9 c) a² + 8a + 16 d) m² + 14m + 49 e) y² + 10y + 5 f) s² + 8s + 16 g) x² + x + 1 h) y² + 16y a) 4a² + 4a + 1 b) 4x² + 16x + 16 c) 9a² + 18a + 9 d) 4m² + 0m a) 3: 4x² + 1x + 9 b) : x² + 6x + 9 c) 1: 4x² + 8x + 4 a) a² 4a + 4 b) x² 6x + 9 c) a² + 8a + 16 d) m² 16m + 64 e) y² 1y + 36 f) s² 8s + 16 g) x² x + 1 h) y² 18y a) 9a² 6a + 1 b) 9x² 1x + 4 c) 5a² 30a + 9 d) 4m² 8m a) : 36x² 48x + 16 b) 3: x² 8x + 16 c) 1: 4x² 4x