Funktionen mehrerer Variablen: Integralrechnung. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

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Friederike Regina Maier
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1 Funktionen mehrerer Variablen: Integralrechnung ufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

2 Inhaltsverzeichnis ii

3 Doppelintegrale. Doppelintegrale.. Doppelintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale Beispiel : I = y= = y 2 ) d dy Innere Integration nach : I = y= = y 2 ) d dy = + y 2 ) dy = 4 Innere Integration nach y: I = y= = y 2 ) d dy = ) d = 4 ufgaben: a) I = 2 + y) d dy, + y + ) d dy, I = y d dy 2 π sin y d dy, π 2 sin y d dy, π/4 cos2y) d dy c) I = sin + y) d dy, cos + y) d dy, cos + y) d dy

4 Doppelintegrale 2 a) I = sin cos 2y) d dy, sin cos 2 y d dy, π/4 sin2) cos y) d dy sin2) cos 2 y d dy c) I = π 2 = y= y cos y) d dy, 2 π sin y) d dy d) I = 2 = y= ln y) d dy, 2 = y= 2 ln y) d dy e) I = 2 = y= sin y d dy, 2 = y= cos y 2 d dy, π/4 = y= cos 2y) d dy a) I = e 2y d dy, 2 y 2 e +2 d dy 2 = y= e y d dy, 2 = y= e y 2 d dy, 2 = y= e 2 d dy y c) I = 2 2 = y= 2 y y ) 2 d dy, = 2 y= ) y y2 2 d dy d) I = 2 + y d dy, 2 + 2y d dy, 2 d dy + y e) I = y d dy, d dy + y) 2

5 Doppelintegrale.2. Doppelintegrale mit beliebigen Integrationsgrenzen 4 a) I = y y= = 2 y y d dy, y d dy, y= = = 4 2 y= y dy d y 2 dy d, 2 2 y 2 dy d, 2 y dy d = y= y c) I = 2 + y 2 ) dy d, + y ) d dy, y= = = 2 y= + y) dy d d) I = + sin y) dy d, cos + sin y) dy d.. Doppelintegrale in Polarkoordinaten Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale und zeichnen Sie den Integrationsbereich 5 I = y d dy, : r, ϕ π 4 y y 2 d dy, : 2 + y 2 4, y Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale 6 a) I = 2 e 2 +y 2) d dy, = 2 + y 2 ϕ= cos 2 ϕ r= r dr dϕ,.4. Doppelintegrale in der Volumenberechnung Berechnen Sie die Volumina der Körper, die durch folgende Flächen begrenzt werden oder durch andere ngaben bestimmt werden

6 Doppelintegrale 7 a) f, y) = 2 + sin sin y, f : π, y π g, y) = 2 + sin sin y, g : 2 + y 2 π 2 b) 2 + y 2 = 9, z =, z = 9 y c) y = 2, y = 4, z = + + 2y d) z = 2 2 y, =, y =, z =

7 Doppelintegrale: Lösungen 2. Doppelintegrale: Lösungen 2.. Doppelintegrale mit konstanten Integrationsgrenzen L a) I = 2 + y) d dy = ) + y + d dy = ) + y dy = ) y + dy = 2 y d dy = 2 y dy = π sin y d dy = 2 π sin y dy = 4 π π/4 2 sin y d dy = 9 π cos 2y) d dy = 2 sin y dy = 8 π/4 cos 2y) dy = 4 c) I = sin + y) d dy = cos + y) d dy = sin y + cos y) dy = 2 sin y + cos y) dy = cos + y) d dy = sin + cos ) d = 2 + π 2

8 Doppelintegrale: Lösungen L2 a) I = sin cos 2y) d dy = cos 2y) dy = π/4 sin2) cos y) d dy = sin cos 2 y d dy = sin2) cos 2 y d dy = 2 cos y) dy = cos 2 y dy = π 4 cos 2 y dy = π 8 c) I = π 2 y cos y) d dy = 2 sin πy) dy = 2 π = y= 2 π sin y) d dy = 2 cos π)) d = 2 d) I = 2 ln y) d dy = ln + 2 ln 2) d = ln ln 4.49 = y= 2 2 ln y) d dy = 2 ln ln 2 ) d = = y= = ln ln.7 e) I = 2 = y= sin y d dy = 2 d = ln = y= cos y 2 d dy = 2 d 2 = 2 π/4 = y= cos 2y) d dy = 2 d = 2 9

9 Doppelintegrale: Lösungen L a) I = e 2y d dy = e 2y e 2y) dy = 2 + e + e 2 e ).74 2 y 2 e +2 dy d = 2 e +2 d = e4 e 2 ) = y= e dy d = ln 2 y e d = ln = y= e y 2 dy d = 2 2 e d = 2 + e 2 ) 2 = y= e 2 y dy d = 8 e 2 d = 2 + e 2 ) c) I = 2 2 = y= 2 y y ) dy d = ln 2 ) d = 2 ln = y= ) y y2 2 dy d = 2 ln 2 7 ) 2 d = ln 2. d) I = dy d = + y ln + ) d = 2 ln y dy d = 2 2 ln + 2) d = 5 4 ln dy d = + y ln + ) d = u ) ln u du = 2 ln.65 u = + ) e) I = 4 4 dy d = ln 2 + y d = 6 ln y) 2 dy d = 2 4 d = 8

10 Doppelintegrale: Lösungen 2.2. Doppelintegrale mit beliebigen Integrationsgrenzen L4 a) I = y y d dy = 2 y dy = 8 y= = 2 y y d dy = 2 y= = 2 y 2 dy = y d dy = ) d = 7 8 = y= y 2 d dy = 4 d = y 2 d dy = 2 5 d = = y= y d dy = 2 2 ) 2 ) 2) d = 24 c) I = 2 + y 2 ) d dy = 4 d = y + y ) d dy = y= = ) y y7/2 dy = y) d dy = 2 ) + 2 ) 2 ) 2 d = 6 = y= d) I = + sin y) d dy = + cos ) d = π2 8 + π 2 =.8 cos + sin y) d dy = + cos cos ) d = 2 + π.4

11 Doppelintegrale: Lösungen 2.. Doppelintegrale in Polarkoordinaten L5 I = y d dy = 2 π/4 r sin 2ϕ)dr dϕ = π/4 sin 2ϕ)dϕ = 5 r= ϕ= ϕ= bbildung : Darstellung des Integrationsbereiches für das Integral I : r, ϕ π 4 y y 2 d dy = 2 r= r 4 r 2 dr π ϕ= sin 2 ϕ dϕ = π 2 2 r= r 4 r 2 dr = 2 5 π 6.72, u = 4 r 2 bbildung 2: Darstellung des Integrationsbereiches für das Integral I 2 : r 2, ϕ π

12 Doppelintegrale: Lösungen L6 a) I = 2π 2 e 2 +y 2) d dy = cos 2 ϕ dϕ ϕ= r= r e r2 dr = π r= r e r2 dr = π ) 2 e.45 ϕ= cos 2 ϕ r= r dr dϕ = 2 ϕ= cos 4 ϕdϕ = 6 ϕ= cos 4ϕ) + 4 cos 2ϕ) + ) dϕ = 2 π Doppelintegrale in der Volumenberechnung L7 a) f, y) = 2 + sin sin y, f : π, y π V = 2 + sin sin y) d dy = π π π 2 + sin sin y) d dy = 4π = π y= π y= π dy = 8 π VE g, y) = 2 + sin sin y, g : 2 + y 2 π 2 V = = 4 π = π 2 + sin sin y) d dy = π = π π 2 2 d = 2π 62. VE π 2 2 y= π sin sin y) dy d = b) 2 + y 2 = 9, z =, z = 9 y V = 9 y) d dy = 8π VE c) y = 2, y = 4, z = + + 2y V = + + 2y) ddy = = y= y) dy d = VE d) z = 2 2 y, =, y =, z =, V = 2

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