Datenstrukturen Teil 3. Traversierung und AVL- Bäume. Traversierung. Traversierung. Traversierung

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1 Traversierung Datenstrukturen Teil 3 Traversierung und AVL- Bäume Traversierung: bezeichnet verschiede Verfahren einer Routenbestimmung durch baumförmige Graphen Dabei wird jeder Knoten und jede Kante nur einmal besucht Traversierungsalgorithmen sind für die effiziente Durchwanderung von Bäumen unerlässlich Es gibt vier Traversierungsmethoden Pre-Order / Hauptreihenfolge Traversierung Ausgehend von der Wurzel wird zunächst der linke Teilbaum abgearbeitet, danach der rechte Dabei wird für jeden Teilbaum der Algorithmus rekursiv aufgerufen Traversierung In-Order / Symmetrische Reihenfolge Hier wird zunächst der linke Teilbaum betrachtet, danach die Wurzel und zuletzt der rechte Teilbaum Ebenfall rekursive Abarbeitung

2 Traversierung Traversierung Post-Order / Nebenreihenfolge Hierbei wird zunächst der linke Teilbaum, dann der rechte Teilbaum und dann die Wurzel betrachtet Ebenfalls rekursiv Level-Order Ausgehend von der Wurzel werden alle Elemente nebeneinander (quasi von links nach rechts) abgearbeitet Diese Methode ist die rechenintensivste, da immer wieder zu Vorgängerknoten zurückgegangen werden muß Pre-Order Beispiel für Traversierungen In-Order Beispiel für Traversierungen Ergebnis: Ergebnis:

3 Beispiel für Traversierungen AVL-Bäume Post-Order Ergebnis: Spezielle Binärbäume Benannt nach Adel son-vel skii und Landis Per Definition darf sich die Tiefe (Höhe) eines linken Teilbaums maximal um 1 von der Tiefe (Höhe) eines rechten Teilbaums unterscheiden. Daher ist der Baum immer maximal balanciert AVL-Bäume Dies wird durch spezielle Algorithmen für das Einfügen und Löschen von Knoten erreicht Hierzu wird für jeden Knoten der Wert Balance mitgespeichert Dieser beinhaltet die Tiefendifferenz der jeweiligen Teilbäume Ist die Differenz größer als 1 oder kleiner als -1, so wird jeweils ein bestimmter Algorithmus ausgelöst Dieser heißt Rotation Beispiel AVL-Bäume

4 AVL-Bäume, Rotation Rotation Beispiele Es gibt vier Rotationsarten Linksrotation Linksrotation Rechtsrotation LinksRechtsrotation RechtsLinksRotation Vorteil der AVL-Bäume Immer Balanciert, dadurch minimale Suchschrittanzahl Nachteil der AVL-Bäume Einfügen und Löschen sind komplex und langsam Rotation Beispiele Rotation Beispiele Rechtsrotation RechtsLinksrotation

5 Rotation Beispiele AVL-Bäume, Rotation LinksRechtsrotation Unterteilung in Einfachrotation: Links- / Rechtsrotation Doppelrotation: LinksRechts- / RechtsLinksrotation Einfachrotation immer dann, wenn durch Einfügen oder Löschen ein Höhenunterschied > 1 an einem der beiden äußersten Teilbäume eines Zweiges eines AVL-Baumes ergibt Doppelrotation immer dann, wenn der Höhenunterschied an inneren Teilbäumen auftritt Beispiel Einfachrotation Beispiel Doppelrotation

6 Einfügen benötigt maximal eine Rotation. Löschen komplexer, da auf dem Pfad zur Wurzel ggf. mehrere Rotationen erforderlich sind. Strategie: Löschen wird wie bei natürlichen Suchbäumen auf das Löschen von Randknoten (d.h. Knoten mit höchstens einem Nachfolger) zurückgeführt. D.h. beim Löschen eines Knotens mit zwei nichtleeren Unterbäumen ("innerer Knoten") wird der größte linke oder der kleinste rechte Knoten verwendet. Der Balancefaktor im Unterbaum des gelöschten Randknotens muß angepaßt werden. Der Balancefaktor auf allen Knoten im Pfad zur Wurzel muß (rekursiv) überprüft und angepaßt werden.

7 Mögliche Fälle beim Löschen sind entsprechend der Rotation und Doppelrotation beim Einfügen: Löschen entspricht sozusagen dem Einfügen im gegenüberliegenden Unterbaum ACHTUNG: Manchmal kann man sich nach dem Löschen zwischen einfacher und doppelter Rotation entscheiden! ABER: Bei jedem Fall muß überprüft werden, ob sich die Höhe des betrachteten AVL (Unter-)Baums gegenüber der Höhe vor dem Löschen ändert Falls ja: Rebalancierung rekursiv auf Elternknoten aufrufen Falls nein: fertig.