Taylorentwicklung der k ten Dimension

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1 Taylorentwicklung der k ten Dimension 1.) Taylorentwicklung ) Vorgehenesweise ) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y ) Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math... 5

2 1.1.) Vorgehenesweise Taylorentwicklung 1.) Taylorentwicklung ) Vorgehenesweise Sei f : R 2 R die zu betrachtende Funktion, welche k + 1-fach stetig differenzierbar ist. Diese Forderung ist wichtig, denn sonst würde beispielsweise die k te Ableitung nicht existieren, welche wir aber im Taylorpolynom T k ( f, a) bilden. Zu berechnen ist die Taylor-Entwicklung von f in dem Entwicklungspunkt a in der k. Ordnung. Für α N 2 0 ist die Taylorentwicklung wie folgt definiert: T k ( f, a) = α k Wobei über α ein Multiindex definiert wird, d.h. D α f ((0, 0)) (x a) α (1) α! (i) Zunächst ist α ein Vektor, dessen Einträge positive ganze Zahlen enthalten. D.h. α N0 m, wobei in unserem Fall m = 2 ist. (ii) α definiert die Länge des Vektor, d.h. α = m α k k=1 (iii) α! = m α k! k=1 (iv) D α f = α f x α = α f m k=1 xα k k (v) (x a) α = m (x k a k ) α k k=1 Bemerkung: m=2 = α 1 +α 2 f x α 1 1 xα 2 2 Die Taylor-Entwicklung der 1. Ordnung lässt sich über eine Jacobiund die der 2. Ordnung über die Hesse-Matrix darstellen. Im wesentlichen sind diese Bestandteile der Formel, und die Summe wird zu einem Einzeiler: T 2 ( f, a) = f (a) + J f (a) (x a) (x a)t H f (a) (x a) Wobei x = x y

3 1.2.) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y ) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y ) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y 4 Zu berechnen ist die Taylor-Entwicklung von f um den Nullpunkt (a = (0, 0)) in der 6. Ordnung. Für unsere Funktion und die Bedingung α 6 lässt folgende α Paarungen zu: α 1 = (0, 0) α 2 = (0, 1) α 3 = (0, 2) α 4 = (0, 3) α 5 = (0, 4) α 6 = (0, 5) α 7 = (0, 6) α 8 = (1, 0) α 9 = (1, 1) α 10 = (1, 2) α 11 = (1, 3) α 12 = (1, 4) α 13 = (1, 5) α 14 = (2, 0) α 15 = (2, 1) α 16 = (2, 2) α 17 = (2, 3) α 18 = (2, 4) α 19 = (3, 0) α 20 = (3, 1) α 21 = (3, 2) α 22 = (3, 3) α 23 = (4, 0) α 24 = (4, 1) α 25 = (4, 2) α 26 = (5, 0) α 27 = (5, 1) α 28 = (6, 0) Damit ergeben sich folgenden Differentialgleichungen: 0 0 x 0 y 0 f (0, 0) = ( 8 x2 4 y 4 + e x2 +y 2 )(0, 0) = x 0 y 1 f (0, 0) = ( 16 y3 + 2 y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 0 y 2 f (0, 0) = (4 y2 e x2 +y 2 48 y e x2 +y 2 )(0, 0) = 2 0 x 0 3 y 3 f (0, 0) = (8 y3 e x2 +y y e x2 +y 2 96 y)(0, 0) = 0 0 x 0 4 y 4 f (0, 0) = (16 y4 e x2 +y y 2 e x2 +y e x2 +y 2 96)(0, 0) 0 5 x 0 y 5 f (0, 0) = (32 y5 e x2 +y y 3 e x2 +y y e x2 +y 2 )(0, 0) = 0 = 84 0 x 0 6 y 6 f (0, 0) = (64 y6 e x2 +y y 4 e x2 +y y 2 e x2 +y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 1 y 0 f (0, 0) = (2 x ex2 +y 2 16 x)(0, 0) = x 1 y 1 f (0, 0) = (4 x y ex2 +y 2 )(0, 0) = x 1 y 2 f (0, 0) = (8 x y2 e x2 +y x e x2 +y 2 )(0, 0) = x 1 y 3 f (0, 0) = (16 x y3 e x2 +y x y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 1 y 4 f (0, 0) = (32 x y4 e x2 +y x y 2 e x2 +y x e x2 +y 2 )(0, 0) = 0 1 x 1 5 y 5 f (0, 0) = (64 x y5 e x2 +y x y 3 e x2 +y x y e x2 +y 2 )(0, 0) = 0

4 1.2.) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y ) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y x 2 0 y 0 f (0, 0) = (4 x2 e x2 +y e x2 +y 2 16)(0, 0) 2 1 x 2 y 1 f (0, 0) = (8 x2 y e x2 +y y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 2 y 2 f (0, 0) = (16 x2 y 2 e x2 +y x 2 e x2 +y y 2 e x2 +y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 2 y 3 f (0, 0) = (32 x2 y 3 e x2 +y x 2 y e x2 +y y 3 e x2 +y y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 2 y 4 f (0, 0) = (64 x2 y 4 e x2 +y x 2 y 2 e x2 +y y 4 e x2 +y 2 = x 2 e x2 +y y 2 e x2 +y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 3 y 0 f (0, 0) = (8 x3 e x2 +y x e x2 +y 2 )(0, 0) = x 3 y 1 f (0, 0) = (16 x3 y e x2 +y x y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 3 y 2 f (0, 0) = (32 x3 y 2 e x2 +y x 3 e x2 +y x y 2 e x2 +y x e x2 +y 2 )(0, 0) = 0 3 x 3 3 y 3 f (0, 0) = (64 x3 y 3 e x2 +y x 3 y e x2 +y x y 3 e x2 +y x y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 4 y 0 f (0, 0) = (16 x4 e x2 +y x 2 e x2 +y e x2 +y 2 )(0, 0) = 12 4 x 4 1 y 1 f (0, 0) = (32 x4 y e x2 +y x 2 y e x2 +y y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 4 y 2 f (0, 0) = (64 x4 y 2 e x2 +y x 4 e x2 +y x 2 y 2 e x2 +y x 2 e x2 +y y 2 e x2 +y e x2 +y 2 )(0, 0) = x 5 y 0 f (0, 0) = (32 x5 e x2 +y x 3 e x2 +y x e x2 +y 2 )(0, 0) = x 5 y 1 f (0, 0) = (64 x5 y e x2 +y x 3 y e x2 +y x y e x2 +y 2 )(0, 0) = 0 6 x 6 0 y 0 f (0, 0) = (64 x6 e x2 +y x 4 e x2 +y x 2 e x2 +y e x2 +y 2 )(0, 0) = 120 Setzen wir dies nun in die Gleichung (1) ein, so erhalten wir: T 6 ( f, (0, 0)) = 1 6 x x4 y x2 y x4 + x 2 y 2 7x y6 7 2 y4 + y = 1 7x 2 + y x4 + x 2 y y (x6 + y 6 ) (x4 y 2 + x 2 y 4 )

5 Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math 2.) Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math 5 standalone.sagenb.org Dieser Algorithmus lässt sich relativ einfach implementieren. Zunächst benötigen wir folgende Funktionen: Das mehrdimensionale Differenzieren 1 def mehrdimdiff (f, alpha ): 2 g=f 3 for j in range (0, alpha [0]): 4 g=g. diff (x) 5 for j in range (0, alpha [1]): 6 g=g. diff (y) 7 return g Eine Erzeugung der Produkte (x a) α, hier ist range(0, 2) = {0, 1}, wegen m = 2 9 def Prod ( VectorX,a, alpha ): 10 prod =1; 11 for i in range (0,2): 12 prod = prod *( VectorX [i]-a[i ])^( alpha [i ]) 13 return prod Die Berechnung der Taylor-Entwicklung 14 def CalcTaylor (f,a,k ): 15 Sum =[]; 16 VectorX =[x,y ]; 17 for m in range (0, k +1): 18 for n in range (0,k -m +1): 19 alpha =[m,n ]; 20 quotient =1/( factorial ( alpha [0])* factorial ( alpha [1])); 21 differential = mehrdimdiff ( f, alpha ); 22 differenz = Prod ( VectorX,a, alpha ); 23 Sum. append ( quotient * differential (a [0], a [1])* differenz ); 24 return Sum Einen Cut-Algorithmus, der die Ableitungen heraustrennt, welche gleich null sind 26 def Taylor (f,a,k ): 27 TaylorOf_f = CalcTaylor (f,a,k ); 28 OhneNull =[]; 29 for i in range (0, len ( TaylorOf_ f )): 30 if TaylorOf_f [i ]!=0: 31 OhneNull. append ( TaylorOf_f [i ]); 32 return OhneNull

6 Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math 6 Und zu guter letzt die Funktion, die die vorher erzeugten Vektoren in ein Polynom umwandelt 34 def Funktion (T ): 35 Ausgabe =0; 36 for i in range (0, len (T )): 37 Ausgabe = Ausgabe + T[i] 38 return Ausgabe Nun folgt die Initialisierung 40 a =[0,0]; 41 k =6; 42 T= Taylor (f,a,k) 43 Polynom = Funktion (T) Über 45 print " $T_ {",k," }(f,( ",a [0], ",",a [1], " ))= ", Polynom, "$" lässt sich das Polynom in LATEX-kompatiblem Code erzeugen. Diese Realisierung lässt sich mit ein paar wenigen Handgriffen leicht in einen Algorithmus für den m dimensionalen Fall ergänzen. Die Differentiale können ebenfalls sehr einfach ausgegeben werden: Dazu werden wieder zwei Funktionen geschrieben, die erste erzeugt die Differentiale und druckt diese dann aus. 46 def PPA (f,a, alpha ): 47 g=f 48 for j in range (0, alpha [0]): 49 g= diff (g(x,y),x) 50 for j in range (0, alpha [1]): 51 g= diff (g(x,y),y) 52 print " \\ frac {\ partial ^{ ", alpha [0], "} }{\ partial x ^{ ", alpha [0]," }}\\ 53 frac {\ partial ^{ ", alpha [1], " }}{\ partial y ^{ ", alpha [1], " }} f(",a [0], ",", 54 a [1], " )=( ",g," )( ",a [0], ",",a [1], " )= ",g(a [0], a [1]), " \\\ \n"

7 Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math 7 Es wird eine Initiatorfunktion benötigt, die durch Iteration und PPA(f,a,alpha) alle Differentiale ausgibt. Hierbei wird die IF-Else Anweisung verwendet, anderenfalls wäre die Ausgabe für 56 def Ausgabe (f,a,k ): 57 i =1; 58 for m in range (0, k +1): 0 f x 0 y 0 unleserlich. 59 for n in range (0,k -m +1): 60 if m ==0: 61 if n ==0: 62 print i; 63 print "f(x,y )= ",f(x,y) 64 i=i +1; 65 else : 66 alpha =[m,n] 67 print i; 68 PPA (f,a, alpha ) 69 i=i +1; 70 else : 71 alpha =[m,n] 72 print i; 73 PPA (f,a, alpha ) 74 i=i +1; print i lässt sich bei bedarf auch entfernen, aber um die Übersicht zu behalten (Klammern und Brüche müssen in LaTeX-Code angepasst werden) habe ich sie implementiert gelassen. Möchte man nun noch alle Alphas kennen, so lässt sich dies über folgende Funktion einfach realisieren: 74 def ErzListAlpha ( k ): 75 i =1; 76 for m in range (0, k +1): 77 for n in range (0,k -m +1): 78 alpha =[m,n] 79 print " \\ alpha_ {",i," }=( ", alpha [0], ",", alpha [1], ") \n" 80 i=i +1