Didaktik der Arithmetik Subtraktionsverfahren

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1 7.2) Subtraktion Didaktik der Arithmetik Subtraktionsverfahren Vorlesung: Lernen und Anwenden von Arithmetik Universität Münster Vorkenntnisse von Schulanfängern: Im Vergleich zur Addition sind die Vorkenntnisse der Schulanfänger niedriger als vergleichbare Aufgaben zur Addition. Trotzdem lösen fast 50 % aller Schulanfänger die folgende Subtraktionsaufgabe richtig: Ein Kind hat 10 im Portmonee. Es kauft eine Brille für 8. Wie viel bleiben übrig? Die Untersuchungen zeigen jedoch auch, dass die Vorkenntnisse von Klasse zu Klasse variieren, weshalb jeder Lehrer schnell die Kenntnisse bezüglich der Addition und Subtraktion ermitteln muss und somit den Unterricht in der Anfangsphase differenziert gestalten muss ) Subtraktion 7.2) Subtraktion Lösungswege von Schulanfängern Zählstrategien: Wenn bei der Lösung von Subtraktionsaufgaben Zählstrategien angewendet werden können, unterscheiden wir in 2 Typen: (a) Subtraktion durch Abziehen (oder Wegnehmen): Anna hat 8 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin Sophie 5 Bonbons. Wie viele Bonbons bleiben ihr noch? Symbolische Form: 85 (b) Subtraktion durch Ergänzen: Sophie hat 5 Bonbons. Wie viele Bonbons muss Sophie bekommen, um insgesamt 8 Bonbons zu haben? Symbolische Form: 5+8 Lösungswege von Schulanfängern Zählstrategien: Welcher Lösungsweg zu wählen ist, ist stark kontextabhängig und hängt zudem von den gegebenen Zahlen ab: So ist 413 das Abziehen, bei 4138 das Ergänzen sinnvoll. Bei den Zählstrategien wird weiter unterschieden in: Zählstrategien mit Materialeinsatz Reine Zählstrategien 3 4 1

2 7.2) Subtraktion 7.2) Subtraktion Zählstrategien mit Materialeinsatz (am Beispiel 85 bzw. 5+8): (a) Wegnehmen: Es werden insgesamt 8 Plättchen etc. hingelegt. Dann 5 Plättchen entfernt und die verbliebenen Plättchen werden dann ausgezählt, um die Lösung der Subraktionsaufgabe zu erhalten: 1.) 8 Elemente hinlegen: 2.) 5 Elemente wegnehmen: 3.) Lösung durch Auszählen: Statt Plättchen oder anderes Material zu verwenden, können auch die Finger als Elemente benutzt werden! Zählstrategien mit Materialeinsatz (am Beispiel 85 bzw. 5+8): (b) Ergänzen: Es werden zunächst 5 Plättchen etc. hingelegt. Dann werden weitere Plättchen ergänzt, bis insgesamt 8 Plättchen liegen. Die Anzahl der hinzugefügten Plättchen liefert die Lösung der Subtraktionsaufgabe: 1.) 5 Elemente hinlegen: 2.) Elemente hinzulegen, bis 8 Elemente liegen: 3.) Lösung durch Auszählen der hinzugefügten Elemente: ) Subtraktion ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 7 Reine Zählstrategien ohne Materialeinsatz (am Beispiel 85): (a) Rückwärtszählen (bis zu einer gegebenen Zahl): Beispiel: 7,6,5. Ich zähle bis zur 5 um 3 Schritte zurück, also 853 (b) Rückwärtszählen (um eine gegebene Zahl von Schritten): Beispiel: 7 (1 weniger), 6 (2 weniger), 5 (3 weniger), 4 (4 weniger), 3 (5 weniger), also 853. (c) Vorwärtszählen: Beispiel: 6 (1 mehr), 7 (2 mehr), 8 (3 mehr), also 853. Problem: Bei allen 3 Strategien, weichen die Ergebnisse oft um 1 nach oben oder unten ab, da die Eckzahlen 8 bzw. 5 mitgezählt werden!!! 8 Unterschiedliche Subtraktionsaufgabentypen zu (734): (a) Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin 3 Bonbons. Wie viele Bonbons bleiben ihr noch? (b) Anne hat einige Bonbons. Sie gibt hiervon ihrer Freundin 3 Bonbons. Sie behält noch 4 Bonbons übrig. Wie viele Bonbons hatte Anne ursprünglich? (c) Anne hat 7 Bonbons. Sie gibt hiervon ihrer Freundin einige Bonbons. Danach hat sie noch 4 Bonbons. Wie viele Bonbons hat Anne ihrer Freundin gegeben? (d) Anne hat 3 Bonbons. Sie bekommt von ihrer Freundin einige Bonbons. Danach hat sie 7 Bonbons. Wie viele Bonbons hat sie bekommen? (e) Anne hat 7 Bonbons. Ihre Freundin hat 3 Bonbons. Wie viele Bonbons hat die Freundin weniger? (f) Anne hat insgesamt 7 Bonbons und zwar 3 Karamellbonbons und einige Pfefferminzbonbons. Wie viele Pfefferminzbonbons hat sie? 2

3 ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 Klassifikation von Subtraktionsaufgabentypen zu (734): Die Tatsache dass alle Aufgabentypen auf die selbe Subtraktionsaufgabe führen bereitet den Schülern einige Schwierigkeiten. Je nach Aufgabenstellung können folgende Subtraktionshandlungen durchgeführt werden: Abziehen (a), (b), (c) (dynamisch) Ergänzen (d) (dynamisch) Vergleichen (e) (statisch) Vereinigen (f) (statisch) Studie von Elsbeth Stern 1 : Elsbeth Stern kategorisiert in ihrer Abhandlung zum Thema Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"? solche Aufgaben in 3 Aufgabentypen mit insgesamt 12 Unterkategorien. Die Aufgabentypen sind: Kombinationsaufgaben Austauschaufgaben Vergleichsaufgaben Bei den Tests zeigte sich, dass vor allem Vergleichsaufgaben mit unbekannter Referenzmenge für deutsche Erstklässler schwer zu lösen sind (vgl. nächste Seite) Stern, Elsbeth, 1992: Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"? Das Verstehen von Textaufgaben aus psychologischer Sicht, In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 38 (1992), Heft 5: Psychologie und Mathematik II, S ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines Studie von Elsbeth Stern 1 : Kombinationsaufgabe, Typ CB2 nach Stern: Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln. Maria hat 7 Murmeln. Wie viele Murmeln hat Hans? (Lösungsquote deutscher Erstklässler: 55 %) Austauschaufgabe, Typ CH4 nach Stern: Maria hatte 8 Murmeln. Dann gab sie einige Hans. Jetzt hat Maria 3 Murmeln. Wie viele Murmeln hat sie Hans gegeben? (Lösungsquote deutscher Erstklässler: 49 %) Vergleichsaufgaben, Typ CP6 nach Stern: Maria hat 4 Murmeln. Sie hat 3 Murmeln weniger als Hans. Wie viele Murmeln hat Hans? (Lösungsquote deutscher Erstklässler: 16 %) 1 Stern, Elsbeth, 1992: Warum werden Kapitänsaufgaben "gelöst"? Das Verstehen von Textaufgaben aus psychologischer Sicht, In: Der Mathematikunterricht, Jahrgang 38 (1992), Heft 5: Psychologie und Mathematik II, S Darstellungsformen für die Subtraktion: Wie schon beim Erwerb des Kleinen 1+1 sollen die Schülerinnen zunächst genügend Erfahrungen mit der Subtraktion im Zahlenraum von 10 bis 12 sammeln, bevor dann heuristische Strategien angewendet werden können. Das erfolgt wie auch bei der Addition durch Übungen mit enaktiven, ikonischen und symbolischen Darstellungsformen. 3

4 ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 Enaktive Darstellungsformen für die Subtraktion: Man kann von einer vorgegebenen Anzahl von Gegenständen einige entfernen, oder auch von einem gegebenen Geldbetrag etwas kaufen. Bei solchen Handlungen wird die Subtraktion anschaulich in Handlungen "übersetzt". Derartige Handlungen sind gerade für jüngere Kinder sehr wichtig, da diese den mathematischen "Gegenstand" im eigentlichen Sinne des Wortes "begreifen" müssen. Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: Bei der ikonischen Darstellung handelt es sich um Abbildungen, die den Sachverhalt hier die Subtraktion veranschaulichen sollen. Da Schulbücher unvermeidlich auf bildliche Darstellungen zurückgreifen müssen, ist dieser Aspekt besonders bedeutsam. Das Problem dieser Veranschaulichung besteht darin, dass die Subtraktion in unserer Vorstellung eine Handlungsfolge darstellt, Abbildungen aber immer nur Zustände wiedergeben. Die verschiedenen Formen der Darstellung lassen sich trennen in einphasige, zweiphasige sowie dreiphasige ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: Beispiel für eine einphasige ikonische Darstellung: Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: Beispiel für eine zweiphasige ikonische Darstellung: Abbildung: zweiphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.52) 15 Abbildung: einphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus: Leininger, P.; Ernst, G. et al. (1999): Nussknacker 1. Leipzig, Stuttgart, Düsseldorf: Ernst Klett Grundschulverlag, S.3) 16 4

5 ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 Ikonische Darstellungsformen für die Subtraktion: Beispiel für eine dreiphasige ikonische Darstellung: Abbildung: dreiphasige ikonische Darstellung der Subtraktion (entnommen aus: Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 Mathematik Teil A. Hannover : Schroedel Verlag, S.54) Symbolische Darstellungsformen für die Subtraktion: Bei der symbolischen Darstellung der Subtraktion schreibt man Terme auf, etwa 8 7, oder schreibt Gleichungen wie Dabei können die Platzhalter bei Subtraktionsaufgaben an drei Stellen stehen: a b a b a b ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 Beispiel für die symbolische Darstellungsform für die Subtraktion: Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ a b (entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.101 ) Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ a b (entnommen aus: Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 Mathematik Teil A. Hannover: Schroedel Verlag, S. 54) Heuristische Strategien: Nachdem die Schüler durch die verschiedenen Darstellungsformen einen sicher Subtraktionsaufgaben im 1012er Zahlenraum durchführen können, sollten schnell heuristische Verfahren in den Vordergrund gestellt werden. Folgende heuristische Strategien spielen bei der mündlichen Subtraktion eine Rolle: Analogieaufgaben Nachbaraufgaben Halbierungsaufgaben / Fasthalbierungsaufgaben Schrittweises Rechnen Umkehraufgaben 19 Abbildung: symbolische Darstellungsform Typ a b (entnommen aus: Grassmann, M. (Hrsg.) (2002): Primo 1 Mathematik Teil A. Hannover: Schroedel Verlag, S. 44) 20 5

6 ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 Heuristische Strategien Analogieaufgaben: 752, also analog Die Gültigkeit dieser Analogiebildung kann am Rechenrahmen oder Rechenfeld gut begründet werden: Heuristische Strategien Nachbaraufgaben: Die Lösung der Aufgabe 145 erfolgt durch die leicht zu lösende Aufgabe , daher Ausgehend von der leichten Aufgabe 155 lassen sich somit die Nachbaraufgaben 145, 165, 154 und 156 schnell lösen. Abbildung: heuristische Strategien, Nachbaraufgaben (entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2001): Denken und Rechnen 1. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.99) 21 Abbildung: heuristische Strategien, Analogieaufgaben (entnommen aus: MoselGöbel, D.; Stein, M. (Hrsg) (2001): Leonardo 1. Frankfurt am Main: Verlag Moritz Diesterweg, S.80) ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 20er Raum Kleines 11 Heuristische Strategien Halbierungs und Fasthalbierungsaufgaben: Ausgehend von Halbierungsaufgaben wie z.b. 126 oder 147, die von den Schülern relativ schnell beherrscht werden, lassen sich dann Fasthalbierungsaufgaben (also spezielle Nachbaraufgaben) schnell lösen: 136 wird auf die Halbierungsaufgabe 126 zurückgeführt, zum Ergebnis 1 addiert. Analog können die Aufgaben 116 bzw. 125 gelöst werden Heuristische Strategien Schrittweises Rechnen: Komplexe Rechnungen beispielsweise mit Zehnerüberschreitung werden schrittweise gerechnet mit Zehn bzw. Zehnerzahlen als Bezugspunkt. 146 wird also aufgespaltet in14410 (zurück zum vollen Zehner) und 102 (Abziehen vom vollen Zehner) Abbildung: heuristische Strategien, schrittweises Rechnen (entnommen aus: Rinkens, H.D.; Hönisch, K. (Hrsg.) (1998): Welt der Zahl 1. Hannover: Schroedel Verlag, S.86) 6

7 ) Subtraktion im 20er Raum Kleines ) Subtraktion im 100er Raum 25 Heuristische Strategien Umkehraufgaben: Die Schüler sollten schnell erkennen, dass die Subtraktion die Umkehroperation der Addition ist. Das hat zur Folge, dass die Schüler neben dem Kleinen 1+1 nicht auch noch das Kleine 11 komplett auswendig beherrschen müssen. Aufgaben wie 179 können durch Rückgriff auf die Aufgabe des Kleinen 1+1 gelöst werden ohne erneute Rechnung erhalten die Schüler somit das Ergebnis Umkehraufgabe Umkehraufgabe 1798 Tauschaufgabe 1789 Tauschaufgabe Schwierigkeitsstufen im 100erRaum: Abbildung: Schülerfehler bei der Subtraktion im 100er Raum (entnommen aus: Roth, S. 146) ) Subtraktion im 100er Raum ) Subtraktion im 100er Raum Schülerfehler Heuristische Strategien: Die im 20er Raum erarbeiteten heuristischen Strategien haben im Hunderterraum eine noch größere Bedeutung. Es sind: (a) Analogieaufgaben (b) Schrittweises Rechnen (c) Umkehraufgaben (d) Nachbaraufgaben / Halbierungsaufgaben (weniger wichtig) (e) Gleichsinniges Verändern Die Subtraktion ist nach zahlreichen Untersuchungen von Grassmann für die Schüler schwerer wie die Addition. Das beruht auf Defiziten im Rückwärtszählen und vor allem eine nicht ausreichende Verdeutlichung des Zusammenhanges zwischen Addition und Subtraktion Die meisten Fehler bei der mündlichen Subtraktion treten analog zur Addition in den beiden Fehlergruppen Fehler bei der Erfassung des Stellenwertes von Ziffern Rechenrichtungsfehler auf

8 ) Subtraktion im 100er Raum Schülerfehler 8.1) Halbschriftliches Rechnen Wann werden Halbschriftliche Rechenverfahren eingesetzt? Dazu Oehl: Halbschriftliche Rechenformen ergeben sich immer dann, wenn zur Lösung einer Aufgabe zwei oder mehr Rechenschritte erforderlich sind und wenn diese Teilschritte in irgendeiner Form schriftlich fixiert werden. Abbildung: Halbschriftliches Rechnen (entnommen aus: Padberg, S. 159) 29 Abbildung: Schülerfehler bei der Subtraktion im 100er Raum (entnommen aus: Roth, S. 169) ) Halbschriftliches Rechnen 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion Beim halbschriftlichen Rechnen werden im Gegensatz zum schriftlichen Rechnen (Ziffernrechnen) Besonderheiten der vorliegenden Zahlen ausgenutzt (meist im Zahlenraum bis 1.000) werden flexibel passende Rechenstrategien eingesetzt. Bauer beschreibt das wie folgt: Halbschriftliches Rechnen ist ein flexibles, je auf die Besonderheit der vorliegenden Aufgaben und des Zahlenmaterials bezogenes Rechnen unter Verwendung geeigneter Strategien. Es werden Zwischenschritte, Zwischenrechnungen, Zwischenergebnisse fixiert [ ] sowie Rechengesetze und Rechenvorteile ausgenutzt. Die halbschriftlichen Rechenverfahren für die Subtraktion, die bei Schülerlösungen angewendet werden können in fünf Hauptstrategien unterschieden werden. Zu den vier Strategien, die schon bei der Addition angewendet werden, also Schrittweises Rechnen Stellenweises Rechnen Hilfsaufgabe Vereinfachen tritt die Strategie des Ergänzens auf

9 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion Häufigkeit der Strategien in Schulbüchern: (1) Schrittweises Rechnen Symbolische Notationsmöglichkeiten: Die Strategie des Schrittweisen Rechnens wird in sämtlichen Schulbüchern thematisiert (ca. 50 % der Schulbücher beschränkt sich sogar auf diese Strategie). Die Strategie Hilfsaufgabe wird wesentlich seltener angesprochen noch seltener die Strategien des Vereinfachen und Schrittweisen Rechnen Ebenso bietet sich die Notation mit Hilfe des Rechenstrichs an. Hintergrund dieser Strategie ist die Regel zum Auflösen vom Minusklammern : 26 (20+6) (20) ) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion (2) Stellenweises Rechnen: (3) Hilfsaufgabe: Diese Strategie wird aufgrund der vielen Schwierigkeiten nur in wenigen Schulbüchern thematisiert. Siehe dazu folgende Beispiele: (a) (b) Durch Auf oder Abrunden des Subtrahenden auf den nächsten vollen Zehner bzw. Hunderter (alternativ durch eine Analogieaufgabe) kann eine Differenz mittels einer Hilfsaufgabe bestimmt werden. Symbolische Notationsformen (Rechenstrich auch denkbar!): (a) Aufrunden des Subtrahend (b) Abrunden des Minuenden

10 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion (4) Vereinfachen: (5) Ergänzen: 37 Veränderung der Ausgangsaufgabe, so dass das Ergebnis unverändert bleibt. Die Strategie beruht auf dem Gesetz der Konstanz der Differenz bei gleichsinniger Veränderung von Subtrahend und Minuend. Symbolische Notationsform: Durch das gleichsinnige Verändern kann gleichzeitig schon die schriftliche Subtraktion im Sinne der Erweiterungstechnik vorbereitet werden Diese Strategie greift auf die Deutung der Subtraktion als Ergänzen zurück: Vom Subtrahenden wird schrittweise zum Minuenden ergänzt. Symbolische Notationsform: (a) (b) ) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion Strategien des halbschriftlichen Rechnens Schulbuchbeispiel: (5) Ergänzen: Durch diese Strategie kann die schriftliche Subtraktion im Sinne der Auffülltechnik vorbereitet werden. Die Strategie bietet sich vor allem dann an, wenn Minuend und Subtrahend dicht beieinander liegen. Dennoch greifen die Kinder bei einer Aufgabe wie selten auf diese Strategie zurück Abbildung: Halbschriftliches Subtrahieren entnommen aus: Wittmann, E.; Müller, G. (Hrsg.) (2002): Das Zahlenbuch. Mathematik im 2. Schuljahr, S.72) 10

11 8.1.2) Halbschriftliches Rechnen Subtraktion 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen Strategien des halbschriftlichen Rechnens Schulbuchbeispiel: Berechnen Sie folgende Aufgaben mittels der angegebenen halbschriftlichen Rechenstrategie im Sechsersystem: Aufgabe 2 Subtraktion Abbildung: Halbschriftliches Subtrahieren entnommen aus: Eidt, H.; Lammel, R. et al. (2002): Denken und Rechnen 3. Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag, S.41) (a) Schrittweises Rechnen: (b) Stellenweises Rechnen: (c) Hilfsaufgabe: (d) Vereinfachen: (e) Ergänzen: ) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen Aufgabe 2 (a): Aufgabe 2 (b): Schrittweises Rechnen: Stellenweises Rechnen:

12 8.1.8) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen Aufgabe 2 (c): Hilfsaufgabe: ) Aufgaben zum halbschriftlichen Rechnen Aufgabe 2 (e): Ergänzen: Aufgabe 2 (d): Vereinfachen: