Abschlussprüfung Mathematik 12 Nichttechnik A I - Lösung

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1 GS m_nt-a_lsg_gs.pdf Abschlussprüfung 0 - Mathematik Nichttechnik A I - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( x) D f = IR. x x x mit der Definitionsmenge Teilaufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion f und deren Vielfachheit. Begründen Sie dann ohne weitere Rechnung, dass in den Intervallen ] ; [ sowie ] ; [ jeweils eine Extremstelle liegt. Geben Sie auch deren Art an. f( x) 0 = x x f( ) = 6 6 = 0 x = 0 x = x = x = x x ( x ) = x x ( ) - - x = 0 auflösen einfache Nullstellen: x = x = x = Negativer Leitkoeffizient: Im ersten Intervall ein Tiefpunkt, im zweiten Intervall ein Hochpunkt. AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 9

2 Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen G f. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. f' ( x) x x f' ( x) = 0 x x = 0 auflösen x = 0. x =.90 f ( 0.).06 TP( 0..06) f `(x) neg pos neg f (.90).76 HP(.90.76) G f smf sms smf TP HP Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph G f rechts- bzw. linksgekrümmt ist, sowie die Koordinaten des Wendepunkts. f'' ( x) ( 6x ) f'' ( x) = 0 6x = 0 auflösen x = f 0.8 f ''(x) pos neg WP(. 0.5) G f lk rk G ist linksgekrümmt in ] ; f ] und WP G ist redhtsgekrümmt in [ f ; [. AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 9

3 Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie den Graphen G f im Bereich x.5, auch unter Verwendung vorliegender Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem. 0 5 AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 9

4 Teilaufgabe.5 ( BE) Die Gerade G t enthält die Schnittpunkte des Graphen mit der und mit der bei x =. Zeigen Sie, dass die Gerade G t Tangente an G f ist und zeichnen Sie G t in das vorhandene Koordinatensystem ein. f( 0) 0 ( ) Steigung der Tangente: m t 0 Steigung von G f im Punkt (0/-): f' ( 0) 0.5 Teilaufgabe.6 ( BE) Die Graphen G f und G t schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Flächenstück: A = ( f( x) tx ( )) dx 0 Gleichung der Tangente: tx ( ) m t ( x ) x Stammfunktion: Fx ( ) x x x x dx Fx ( ) x x 6 Nebnerechnungen: F ( ) 6 F0 ( ) 0 Flächenmaßzahl: A F( ) F0 ( ) 6 Teilaufgabe.7 ( BE) Gegeben ist zusätzlich die Funktion p mit D p = IR und es gilt: f( x) px ( ) = 5x. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f pmit deren Vielfachheiten und erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Stellen für die Graphen der beiden Funktionen. Differenzfunktion: dx ( ) = f( x) px ( ) dx ( ) 5x dx ( ) x ( x 5) AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 9

5 Nullstellen: dx ( ) = 0 5x x = 0 auflösen x = 0 doppelte Nullstelle Berührpunkt x = einfache Nullstelle Schnittpunkt Graphische Darstellung in der Prüfung nicht verlangt Graph von f Graph von d Graph von p Gemeinsame Punkte von f und p Nullstellen von d AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 5 von 9

6 Teilaufgabe.0 ( BE) Gegeben sind die reellen Funktionen k a mit k a ( x) = a x ( a ) ( 8a 0) mit D ka = IR und a IR +. Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie den Wert des Parameters a so, dass der Graph der Funktion k a bei x = die als Tangente besitzt. kx ( a) a x ( a ) ( 8a 0) x- Achse ist Tangente x = ist Nullstelle. k ( a) = 0 6 ( a ) 6 ( 8a 0) 0 unabhängig von a k' ( x a) a x ( a ) ( 8a 0) k' ( a) = 0 6 ( a ) ( 8a 0) = 0 8 6a 6 a 0 = 0 8 a = 0 auflösen a a = =.75 Teilaufgabe. ( BE) Untersuchen Sie, welcher Zusammenhang zwischen den Graphen der Funktion f (aus.0) und k (a = ) besteht. kx ( ) x f( x) x x f( x) = kx ( ) x x x Der Graph von f und der Graph von k sind bezüglich der zueinander symmetrisch. 0 5 Graph von f Graph von k für a = AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 6 von 9

7 Teilaufgabe (7 BE) Eine Kugel soll eine Bahn hinabrollen, die durch den Graphen G h der Funktion h mit dem Funktionsterm hx ( ) = gx ( ) if 0 x x 6x if x 6 8 beschrieben wird. Dabei ist der Graph von g das in oben stehender Skizze dargestellte Geradenstück. Prüfen Sie durch Rechnung, ob die Bahn G h an der Stelle x = einen Sprung bzw. einen Knick aufweist Gleichung der Geraden: gx ( ) = Linksseitiger Grenzwert: lim x Funktionswert: h ( ) = g ( ) = Rechtsseitiger Grenzwert: lim x 6x 8 Der Graph von h ist stetig an der Stelle x = stetig, also kein Sprung an der Stelle x =. Ableitungsfunktion: h' ( x) = if 0 x if x 6 Linksseitiger Grenzwert: lim x Rechtsseitiger Grenzwert: lim x Der Graph von h ist differenzierbar an der Stelle x = stetig, also kein Knick an der Stelle x =. AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 7 von 9

8 Graphische Darstellung in der Prüfung nicht verlangt Teilaufgabe.0 Der Querschnitt eines Abflusskanals ist begrenzt durch ein Rechteck und einen Halbkreis mit Radius r. Alle Angaben sind in Meter. Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet. Teilaufgabe. (5 BE) Zeigen Sie, dass sich die Maßzahl Ax ( ) der Querschnittsfläche des Kanals in Abhängigkeit von x durch Ax ( ) = ( 0.5π) π π darstellen lässt. Querschnittsfläche = Rechteck Halbkreis Ax ( ) = x r π Nebenbedingung: x x = r r = = x Einsetzen: Ax ( ) = x Ax ( ) = x π ( x ) π x x Ax ( ) x = π x Ax ( ) π x π π π π AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 8 von 9

9 Teilaufgabe. ( BE) Die Strecken [AB], [BC], [DE] und [EF] besitzen in der Summe höchstens eine Länge von m. Weisen Sie nach, dass dann für die sinnvolle maximale Definitionsmenge D A der Funktion Ax ( ) gilt: D A = ] ; ]. AB BC DE EF = x x x x aus der Breite: x x Definitonsmenge: x Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie x so, dass die zugehörige Querschnittsflche maximalen Inhalt annimmt. Ableitungsfunktion: A' ( x) π A' ( x) = 0 π π π = 0 π x E = π π = = D π Randwerte: lim x π x π π A ( ) 8.8 Randextremum an der Stelle x =. Teilaufgabe. ( BE) Nun sei x =. Der Kanal ist bis m unter der Oberkante gefüllt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Querschnittsfläche des Kanals ausgelastet sind. m weniger gefüllt, d. h. es fehlen 8 = 8 A ( ) A ( ) 0.79 Der Kanal ist zu 79,0% gefüllt. AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 9 von 9