303 Statistik. 1. Aufgaben. 2. Grundlagen

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1 303 Statistik 1. Aufgaben 1.1 Dokumentieren Sie mit Hilfe eines Würfel-Simulationsprogrammes, wie aus einer gleichverteilten Zufallsgröße durch Mittelwertbildung eine Normalverteilung entsteht. Bestätigen Sie die Richtigkeit des Zusammenhangs s x = s / n! 1.2 Messen Sie die Zählrate (Impulse pro Zeiteinheit) der natürlichen, ständig vorhandenen Radioaktivität! Untersuchen Sie die dabei entstehende Verteilung! 2. Grundlagen Stichworte: Basiswissen: arithmetisches Mittel, Standardabweichung, Varianz, Grundgesamtheit, Stichprobe, Normalverteilung, Zentraler Grenzwertsatz der Statistik, Vertrauensbereich, Histogramm Weiterführend: Poisson-Verteilung, t-parameter 2.1 Statistik in Wissenschaft und Natur Bei wissenschaftlichen Messaufgaben ist es zur Erhöhung der Auswertegenauigkeit oft sinnvoll, mehrfach zu messen. Es existiert hier zwar ein durch den physikalischen Zusammenhang vorgegebener wahrer Wert, aber aufgrund unvermeidlicher zufälliger Fehler misst man bei mehrmaliger Wiederholung derselben Messung meist unterschiedliche Werte. Welcher davon der richtige ist, weiß man nicht, aber man versucht, durch Mittelwertbildung über viele unterschiedliche Einzelmesswerte, dem wahren Wert möglichst nahe zu kommen. Treten bei der Messung keine systematischen Fehler auf, so kann das arithmetische Mittel der Messwerte als beste Schätzung für den tatsächlichen Wert angenommen werden. Auch in der Natur existieren zufällige (statistische) Größen. Ein Beispiel dafür ist die ständig vorhandene natürliche Radioaktivität, experimentell bestimmbar als die Zählrate (Impulse pro Zeiteinheit) der von einem geeigneten Detektor registrierten γ-quanten. Hier gibt es keinen wahren Wert, von Interesse ist aber z.b. der häufigste Wert (Maximum der Verteilungskurve) oder auch der durchschnittliche Wert (arithmetisches Mittel). Weitere Beispiele finden wir bei diversen Glücksspielen. Beim Würfeln kommen im Falle eines ideal gebauten Würfels und einer großen Zahl von Würfen alle Zahlen von 1 bis 6 gleich oft vor. Es entsteht eine Gleich- (bzw. Rechteck-) Verteilung (vgl. Bild 1a). 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 1 von 10 10/14

2 Voraussetzung für eine sinnvolle statistische Auswertung ist immer das Vorhandensein einer hinreichend großen Anzahl von Einzelmesswerten, d.h. einer genügend großen Stichprobe. Prinzipiell gilt, dass die Aussagekraft einer Statistik mit steigendem Stichprobenumfang wächst. Wie groß eine Messreihe gewählt werden muss, hängt von der gewünschten Ergebnisgenauigkeit der speziellen Aufgabe ab. 2.2 Vorbereitung der Auswertung statistischer Messreihen Das Ziel aller statistischen Untersuchungen besteht darin, von einer endlichen Stichprobe auf die Verhältnisse in der Grundgesamtheit zu schließen. Der erste Schritt hierzu ist, das Datenmaterial zu sichten, tabellarisch oder grafisch darzustellen und mit wenigen geeigneten Zahlen zusammenzufassen. Wenn die Messreihe nur diskrete Werte annehmen kann und nur wenige verschiedene Werte vorkommen (z.b. die natürlichen Zahlen von 1 bis 6 beim Würfeln), benutzt man zur Darstellung das Stabdiagramm. Dabei werden über den einzelnen Werten "Stäbe" aufgetragen, deren Längen den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten der beobachteten Werte entsprechen (vgl. Bild 1a). Wenn die Messgröße stetige Werte annehmen kann oder sehr viele verschiedene Werte vorkommen (z.b. Zählrate der Radioaktivität), wählt man für die Darstellung ein Histogramm (Bild 1b). Dafür unterteilt man den Wertebereich der Messgröße in äquidistante Intervalle (Klasseneinteilung) und bestimmt für jedes Intervall die Anzahl der darin liegenden Messwerte. Das Histogramm besteht also aus Rechtecken, deren Grundseiten gleich sind und deren Höhen den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten entsprechen. Die Beschriftung erfolgt an den Klassenmittelpunkten. Als Richtwert für die Anzahl k der Intervalle gilt k = n (n... Anzahl der Messwerte). Bild 1a) diskrete Verteilung im Stabdiagramm. 1b) Verteilung in einem Histogramm: Beispielmessvorgang: Zerfallsrate Radioaktivität. (Darstellung von Klassenmittelpunkten!) Was fängt man nun mit den gesammelten und aufbereiteten Daten an? Das hängt davon ab, welches Ziel man verfolgt. Interessiert die Art der Verteilung (Gleich, Dreieck, Gauß,...)? Oder die Lage des Maximums/der Maxima (falls vorhanden)? Oder der Mittelwert, die Breite der Verteilungskurve (Streuung bzw. Standardabweichung), die Genauigkeit der Mittelwertbestimmung usw.? Wir beginnen mit dem Mittelwert und der Standardabweichung. 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 2 von 10 10/14

3 2.3 Mittelwert, Standardabweichung, Varianz Der arithmetische Mittelwert x einer Messreihe x 1, x 2,..., x n wird nach 1 x = n berechnet. Der Mittelwert macht eine Aussage über die Lage der Verteilungkurve. n xk (1) k 1 Als ein geeignetes Maß für die Breite der Verteilung (Streuung der einzelnen Messwerte bezüglich ihres Mittelwertes) benutzt man die sogenannte Varianz s 2 (mittlere quadratische Abweichung) bzw. deren Wurzel, welche Standardabweichung s genannt wird und sich mittels s = 1 n (n 1) (x k x ) 2 k=1 (2) berechnen lässt. Im Nenner ist durch den Term (n 1) berücksichtigt, dass zur Schätzung der Standardabweichung schon ein anderer Schätzwert benutzt wird, nämlich der Mittelwert. Kennt man den wahren Wert, so wird durch n geteilt. In Statistiklehrbüchern findet man diesen Unterschied unter den Begriffen Standardabweichung der Stichprobe (n 1) bzw. Standardabweichung der Grundgesamtheit (n). Bei gängigen Softwareprodukten und modernen Taschenrechnern können meist beide Werte berechnet werden. Bei wissenschaftlichen Messreihen wird die Standardabweichung durch die Qualität der Messung bestimmt (aus dem Zusammenwirken aller Messfehler ergibt sich eine Streuung der Einzelwerte um den Mittelwert). Bei der Radioaktivitätsmessung erhält man eine sogenannte Poisson-Verteilung (s.unten). Hier ist die Standardabweichung s direkt abhängig von der Größe des Mittelwertes x (sie ist für eine hinreichend große Zahl n von Messwerten gleich der Wurzel des Mittelwertes s = x ). Für die Varianz gilt daher s 2 = x. Beim Würfeln gilt immer: s 1,71. Begründung: Für die Berechnung der Varianz kommen als Differenz (x k x ) nur die drei Beträge 0,5 = 3 3,5 = 4 3,5, 1.5 = 2 3,5 = 5 3,5 und 2.5 = 1 3,5 = 6 3,5 vor, und zwar alle gleich oft. Daraus ergibt sich (für n ) ein fester Wert, nämlich: s 2 = 1 6 ( 2 0, , ,5 2 ) 2,92. Für die Standardabweichung erhält man daraus: s = , Statistisch verteilte Messwerte Seite 3 von 10 10/14

4 2.4 Streubreite des Mittelwertes Bei physikalischen Messreihen (also auch im Praktikum) interessiert neben der Größe des Mittelwertes vor allem dessen Genauigkeit (Stichwort: Fehlerrechnung). Dazu eine Aussage zu treffen, ist nicht trivial, da man in der Regel die Messreihe nur ein Mal aufnimmt und der Mittelwert am Ende als Zahl auf dem Taschenrechner steht. Wenn man sich aber die Zeit nimmt und die Messreihe (bestehend aus jeweils n Messwerten) mehrfach wiederholt und jedes Mal den Mittelwert bildet, so sieht man, dass die entstehenden Mittelwerte nicht gleich sind, sondern ebenfalls streuen. Sie streuen aber weniger (bei genauer Betrachtung um den Faktor n weniger) als die Einzelwerte. Das liegt daran, dass sich durch die Mittelwertbildung die großen Ausreißer gegenseitig aufheben. Die Streubreite des Mittelwertes ist also: s x (3). n Im Versuch wird dieser Zusammenhang mit Hilfe des Würfel-Simulationsprogramms nachgewiesen. Durch die Aufnahme vieler Messwerte (großes n) verbessert man also nicht die Güte der Messung an sich (s ist unabhängig von n), dafür aber die Zuverlässigkeit der Schätzung von x ( x wird kleiner). Bei rein statistischen Messungen wird somit die Genauigkeit allein durch die Anzahl der Messwerte bestimmt. Bei Messungen von physikalischen Größen kann dagegen auch s beeinflusst werden (durch genaueres Messen). Die Größe x = s/ n kann man als den Fehler (die Messgenauigkeit) des statistisch gefundenen besten Schätzwertes x betrachten. Genau genommen gilt dieser sogenannte Standardfehler aber nur in ca. zwei Drittel aller Fälle, denn er ist eigentlich nur der Vertrauensbereich für die statistische Sicherheit von 68%. Zum Verständnis dessen müssen wir jetzt noch die Normalverteilung und den Zentralen Grenzwertsatz mit ins Spiel bringen. 2.5 Gaußsche Normalverteilung Die Normal- oder Gaußverteilung ist die bekannteste und wichtigste statistische Verteilung (vgl. Bild 2). Das liegt zum einen daran, dass sie als mathematische Funktion analytisch einfacher zu handhaben ist als diskrete Zusammenhänge wie Zählraten und Ziffern und daher schon aus praktischen Gründen oft das Ziel verfolgt wird, eine gegebene Verteilung nach Möglichkeit durch eine Normalverteilung anzunähern. Ihre herausragende Bedeutung erhält die Gauß-Verteilung aber durch die Gültigkeit des Zentralen Grenzwertsatzes (vgl. Abschnitt 2.6). Denn dadurch kann sie tatsächlich bei vielen Messungen in Naturwissenschaft und Technik als die Fehlerverteilung schlechthin betrachtet werden. Sie entsteht immer dann, wenn sich viele unabhängige Zufallsgrößen aufsummieren, 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 4 von 10 10/14

5 was in der Praxis häufig der Fall ist, aber (Vorsicht!) im konkreten Fall ggf. auch erstmal nachgewiesen werden muss (nicht alles ist gaußverteilt). Bild 2: Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung w(x) der Gaußschen Glockenkurve. Bei der Gauß-Verteilung liegen ca. 68% aller Werte im Intervall μ σ ( 1σ-Bereich) um den Mittelwert μ, ca. 95% im Intervall μ σ ( 2σ-Bereich), ca. 99.7% im Intervall μ σ ( 3σ-Bereich) usw. Die Gleichung der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung w(x) lautet: 1 wx ( ) = e σ 2 1 x µ 2 2 (4). Hinweis: Bei theoretischen Verteilungen verwendet man für Mittelwert und Standardabweichung meist die Variablen μ und σ, bei praktischen Messaufgaben dagegen x und s. Experiment (Stichprobe) x s Theorie (Grundgesamtheit) μ σ 2.6 Zentraler Grenzwertsatz der Statistik Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass Summen von jeweils n Zufallszahlen, die derselben Grundgesamtheit entnommen werden, für große n eine Normalverteilung bilden, unabhängig davon, wie die einzelnen Zufallszahlen selber verteilt sind. 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 5 von 10 10/14

6 Das liegt vereinfacht gesagt daran, dass sich beim Aufsummieren die Ausreißer (nach oben und unten) gegenseitig kompensieren und somit eine Häufung hin zu mittleren Werten bevorzugt wird. Je größer die Anzahl n der Summanden, desto deutlicher ist dieser Effekt. Teilt man eine Summe durch die Anzahl ihrer Summanden n, so erhält man das arithmetische Mittel. Damit kann der Satz in gleicher Weise auch für die Mittelwerte formuliert werden: Die Mittelwerte x von Stichproben, bestehend aus jeweils n Zufallszahlen xk einer beliebiger Ausgangsverteilung, sind immer normalverteilt. Dabei ist der Mittelwert dieser Verteilung derselbe wie der von x k, nämlich x, während die 2 Varianz s x um den Faktor n kleiner ist als die Varianz s 2 der Ausgangsverteilung. Für die Standardabweichung s x der Mittelwert-Verteilung gilt daher: s x s (5). n Das ist derselbe Ausdruck wie Gl.3 in Abschnitt 2.4. Die Standardabweichung s x der Verteilung aller Mittelwerte nach dem Zentralen Grenzwertsatz entspricht also unserer Streuung Δ x der Mittelwerte, welche damit als die Breite eines 1σ-Intervalls einer Normalverteilung gedeutet werden kann. Da nur rund 68% aller Werte im 1σ-Intervall liegen, kann die Fehlerangabe ± (s/ n) auch nur für 68% aller Fälle garantiert werden (in ca. 1/3 der Fälle könnte der Fehler größer sein). Wenn die Fehlerangabe auf das Doppelte, also ± 2 (s/ n) erhöht wird, erhält man eine 95%- ige statistische Sicherheit, mit ± 3 (s/ n) werden es 99.7% usw. 2.7 Der t-parameter Da in der Statistik keine 100%-igen Aussagen möglich sind, geht es immer darum, unter Berücksichtigung der gewünschten bzw. geforderten statistischen Sicherheit den zugehörigen Vertrauensbereich ( x = t s / n) des Ergebnisses x anzugeben. Die Zahl t (der sogenannte t-parameter ) kommt von der Student- oder t-verteilung und kann ganzzahlig (1, 2, 3, ) oder beliebig krumm sein. Er hängt außer von der Statistischen Sicherheit bzw. der Irrtumswahrscheinlichkeit α = (1 p) auch vom Stichprobenumfang ab und kann Tabellen entnommen werden. Tab. 1: Parameter t in Anhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit p und der Stichprobengrösse n p n = 5 n = 10 n = 20 n = 50 n = % % % Statistisch verteilte Messwerte Seite 6 von 10 10/14

7 3. Versuchsdurchführung 3.1 Würfelsimulation Programmbeschreibung Das Programm simuliert einen idealen Würfel, bei dem die möglichen Ziffern 1 bis 6 im statistischen Mittel alle mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten. Im Einzel-Modus ( Einzelner Durchlauf ) sind Messreihen beginnend beim Einzelwurf bis zu einer maximalen Zahl (Anzahl der Würfe n) von etwa möglich. Es wird die Häufigkeitsverteilung der Ziffern 1 bis 6 als Balken- bzw. Stabdiagramm dargestellt, sowie der Mittelwert und die Varianz bzw. Standardabweichung der Verteilung berechnet. Dasselbe kann anstatt mit nur einem Würfel auch für die Augensumme bei gleichzeitigem Werfen mit 2, 3, 5 oder 10 Würfeln durchgeführt werden. Im Automatischen Modus wird das Nacheinander-Ausführen mehrerer gleichartiger Messreihen simuliert (m Durchläufe zu je n Würfen, m 1000). Das Programm berechnet für jeden Durchlauf den Mittelwert. Die Verteilung aller Mittelwerte wird als Histogramm dargestellt. Der Mittelwert und die Varianz bzw. Standardabweichung dieser Verteilung werden berechnet. Zur Erstellung des Histogramms müssen die Mittelwerte in Klassen eingeordnet werden. Deren Anzahl sowie der Klassenmittelpunkt der untersten und der obersten Klasse müssen vorgegeben werden. Der Rest erfolgt automatisch Aufgaben Testen Sie das Programm, d.h. würfeln Sie einzeln mit einem Würfel! Erhöhen Sie die Zahl der Würfe langsam bis zum Maximum und beobachten Sie die Veränderungen in der Form der Verteilung sowie bei den ausgegebenen Werten (speziell Mittelwert und Standardabweichnung)! Notieren Sie x und s für die nahezu ideale (n ) Gleichverteilung! Stellen Sie im Einzelmodus die Zahl n der Würfe auf 100, führen Sie mehrere Messreihen hintereinander durch und beobachten Sie die dabei entstehenden Mittelwerte. In welchem Bereich streuen sie, wo häufen sie sich? Stellen Sie danach im Automatischen Modus die Zahl n der Würfe ebenfalls auf 100 und die Anzahl m der Durchläufe auf Betrachten Sie die nun entstehende (Gauß-?) Verteilung (vorher Klasseneinteilung optimieren). Notieren Sie die Werte für x und s und überprüfen Sie die Richtigkeit des Zusammenhangs s x = s / n! Wiederholen Sie das Ganze für n = 10 und n = Drucken Sie je ein Beispiel für Gleichverteilung und Mittelwertverteilung aus 10, 100 und 1000 Werten aus! Fertigen Sie eine (qualitative) Skizze an, welche die vier Verteilungen im selben Maßstab (x- Achse) zeigt. Diskutieren Sie das Ergebnis! 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 7 von 10 10/14

8 3.2 Messung der natürlichen Radioaktivität Messmethode Die Bestimmung der Zählrate erfolgt mit einem kommerziellen Strahlungsmessgerät. Dabei werden durch die statistisch einfallenden γ-quanten der natürlichen Radioaktivität in einem Szintillationskristall Lichtblitze erzeugt. Diese fallen auf die Fotokatode eines Sekundärelektronenvervielfachers (SEV) und lösen dort Elektronen aus, welche durch das Dynodensystem des SEV verstärkt werden. Die Registrierung der Ausgangsimpulse des SEV erfolgt nach weiterer Verstärkung durch einen Digitalzähler. Jeder gezählte Spannungsimpuls entspricht einem γ-quant. Die einzelnen Ereignisse sind statistisch unabhängig voneinander. Das zugrundeliegende Verteilungsgesetz ist eine Poisson-Verteilung. Hinweise zu den Einstellungen am Strahlungsmessgerät liegen am Versuchsplatz aus Aufgaben Machen Sie sich in einem Vorversuch mit Messzeit 1s ein Bild über die zu erwartenden Zählraten und passen Sie ggf. die Einstellungen am Gerät an! Die mittlere Zählrate (Impulse pro Sekunde) sollte im Bereich 30 bis 60 Imp/s liegen. Beachten Sie dabei auch, wie stark die Werte von Messung zu Messung streuen. Stellen Sie dann die Zählzeit von 1s auf 10s und nehmen Sie mindestens 20 Werte auf! Wer einen Taschenrechner mit Statistikfunktion besitzt und diesen beherrscht, kann auch bis zu 50 Werte aufnehmen (je mehr, desto besser ist die Statistik) Auswertung 1.) Stellen Sie die Verteilung der Zählraten in einem Histogramm der Klassenbreite 10 dar! Welche Art von Verteilung ist zu vermuten? Berechnen Sie x und s a) direkt aus allen gemessenen Werten über die Statistikfunktion des Taschenrechners oder per Hand aus Gl.(1) und Gl.(2) und b) über die Klassenmittelpunkte des Histogramms: anstatt der Originalwerte wird der jeweilige Klassenmittelpunkt mal die Anzahl der in diese Klasse fallenden Werte verwendet (Bild 1b)! Beispiel: in den Bereich 420 bis 430 fallen drei Messwerte, nämlich 421, 422 und 427; für die Berechnung von x und s wird aber dreimal der Klassenmittelpunkt 425 verwendet. Beantworten Sie folgende Fragen im Protokoll: Ergeben sich Unterschiede zwischen (a) und (b) und wenn ja warum? Wann würde man sinnvollerweise Methode (b) verwenden? Gilt s x (Poisson-Verteilung)? Hinweis dazu am Ende der Versuchsanleitung. 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 8 von 10 10/14

9 2.) Fertigen Sie eine grafische Darstellung entsprechend Bild 3 an (Mittelwert mit angrenzendem 1s- und 2s - Intervall)! Es sollten etwa 68% der Werte im 1s - Intervall und 95% im 2s - Intervall liegen. Prüfen Sie es nach und diskutieren Sie, welche Schlussfolgerungen sich daraus für die Fehlerangabe x ± x eines statistisch gewonnenen wissenschaftlichen Messresultats ergeben. Bild 3: Darstellung von Mittelwerten einzelner Messreihen im Vergleich zu x ± 1s, ± 2s Poisson-Verteilung: Diese Art von Verteilung ist in der Natur sehr häufig anzutreffen. Sie entsteht immer dann, wenn eine sehr geringe Ereigniswahrscheinlichkeit einer sehr großen Zahl von Ereignismöglichkeiten gegenübersteht (radioaktives Isotop mit einer Halbwertszeit von Millionen Jahren zerfällt ausgerechnet jetzt, während wir es beobachten, aber es gibt extrem viele dieser Isotope). Die Poisson-Verteilung (Bild 4) hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Gaußschen Glockenkurve und kann für große Mittelwerte x auch durch diese angenähert werden. Für kleine Mittelwerte ist sie unsymmetrisch. Dass eine Normalverteilung ursprünglich aus einer Poisson-Verteilung hervorgegangen ist, sieht man am Zusammenhang s 2 = x bzw. s x, d.h. wenn man eine Normalverteilung findet, deren Breite s etwa gleich der Wurzel ihres Mittelwertes ist, so kann man vermuten, dass ihr eigentlich ein poisson-verteilter Zusammenhang zugrunde liegt. Bild 4: Poisson-Verteilung mit x = Statistisch verteilte Messwerte Seite 9 von 10 10/14

10 Würden wir im Versuch (Aufgabe 3.2.2) anstatt der relativ großen Zählzeiten von 1s bzw. 10s bereits nach z.b. 0.1s messen, so kämen (bei einer Zählrate von 30 Imp/s) Zahlen zwischen 0 und ~10 heraus, mit dem Maximum bei 3 (vergleichbar mit Bild 4: Poisson-Verteilung, deutlich unsymmetrisch). Lässt man aber das Gerät 10s messen und nimmt dann erst den Wert auf, so werden die 100 Werte (Zufallsgrößen) bereits intern aufaddiert und nur die Summe ausgegeben. Statistisch betrachtet sind damit unsere Messwerte Summen von unabhängigen Zufallsgrößen derselben Grundgesamtheit (genau wie vom Zentralen Grenzwertsatz verlangt), d.h. die hier gemessenen Zählraten sollten näherungsweise normalverteilt sein. Die ursprüngliche Poissonverteilung ist aber noch daran zu erkennen, dass die Standardabweichung etwa der Wurzel des Mittelwertes entspricht. Literatur: Siehe Link: Messabweichungen.html 1. Fehlerrechnung leicht gemacht 2. Vorlesungen zur Fehlerechnung I,II und III 303-Statistisch verteilte Messwerte Seite 10 von 10 10/14