Die Standardabweichung

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1 Die Standardabweichung Ein anderes Maß, das wir im Zusammenhang mit den Messdaten und ihrem Durchschnittswert kennenlernen, ist die sogenannte Standardabweichung der Messdaten von ihrem arithmetischen Mittelwert. Definition 2. Die Standardabweichung s x einer N Daten umfassenden Messreihe ist die positive Quadratwurzel der Varianz der Messreihe; also: s x = q s 2 x.!! Klausurrelevant!! In unserem begleitenden Beispiel der Körpergröße ergibt sich für die Standardabweichung: s x = D. Horstmann: Oktober

2 Beispiel 1. Bei der Durchführung eines Experiments soll die Genauigkeit und die Präzision einer Pipette überprüft werden. Als Genauigkeit einer Pipette bezeichnet man die Differenz zwischen dem Mittelwert einer Anzahl wiederholter Messungen und dem Nominalwert, also dem Wert, den der Hersteller für die Pipette angegeben hat. Die Präzision einer Pipette gibt an wie gut die Messwerte übereinstimmen. Der Versuchsaufbau sei der folgende: Mit einer Kolbenhubpipette werden 100 Mikroliter (mit der Einheitsbezeichnung µl) destilliertes Wasser pipettiert und das Gewicht der Probe gemessen. Dieses Vorgehen wird weitere 9 Mal wiederholt. Hierbei erhält man z.b. folgende Messreihe, wobei mit g j (in mg) das Gewicht der j-ten Probe bezeichnet sei: j g j D. Horstmann: Oktober

3 Da die Dichte des Wassers bekannt ist und 1g/cm 3 beträgt, kann aus dem Gewicht einer Probe ihr Volumen berechnet werden. Man erhält dabei folgende Werte, wobei hier nun v j (in μl) das Volumen der j - ten Probe bezeichne: j v j Um die Genauigkeit zu überprüfen bildet man zuerst den Mittelwert der Messreihe v M = 1 N NX j=1 v j = = Die Genauigkeit G berechnet sich dann als G = vm v nominal = =0.02(μl), wobei v nominal = 100μl der Nominalwert sei. Die relative Genauigkeit, die in Prozent gegeben ist, bestimmt man durch G = 0.02 v nominal 100 =0.02%. D. Horstmann: Oktober

4 Als Maß für die Präzision benutzt man die empirische Standardabweichung (bzw. den Variationskoeffizienten). Für die Standardabweichung erhalten wir in diesem Fall s v = v u t 1 N 1 NX (v j v M ) 2 =1.496μl. j=1 Um die Standardabweichung mit der Größe der Messwerte in Bezug zu bringen, berechnen wir den Variationskoeffizienten V = s v = v M = 1.496%. Nun soll die Frage beantwortet werden, ob die untersuchte Pipette genau und präzise ist. Die Herstellerrichtlinien für die Pipette schreiben vor, dass die relative Genauigkeit G/v nominal unter 0.8% und der Variationskoeffizient V unter 0.15% liegt. Die hier angestellten Berechnungen implizieren jedoch, dass die untersuchte Pipette zwar genau jedoch nicht präzise ist. Daher sollte man die Pipette für die Experimente nicht benutzen, sondern an den Hersteller zurück schicken. D. Horstmann: Oktober

5 2. Elementare Rechenoperationen D. Horstmann: Oktober

6 2.1 Welche Zahlen sind aus der Schule bekannt? 1. Die natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...}, die wir mit dem Symbol IN bezeichnen werden. Wir wollen unterscheiden zwischen den natürlichen Zahlen IN und den natürlichen Zahlen einschließlich der Null unterscheiden, die wir mit dem Symbol IN 0 notieren. 2. Die Menge der ganzen Zahlen = {0, ±1, ±2, ±3,...}, die wir mit dem Symbol Z darstellen. 3. Die Menge der rationalen Zahlen, d.h. die Menge aller als Bruch darstellbaren Zahlen, die wir mit Q darstellen. 4. Die Menge der reellen Zahlen, also die Menge, die neben den Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, auch jene Zahlen enthält, für die dies nicht möglich ist, wie zum Beispiel die Kreiszahl π oder 2.Für sie werden wir das Symbol IR verwenden. D. Horstmann: Oktober

7 Diese Mengen lassen sich nun durch sogenannten Teilmengenrelationen in einen Zusammenhang bringen. IN Z. Hierbei schließt das verwendete Teilmengen-Zeichen nicht ausdrücklich aus, dass die Mengen auch die gleichen sind, d.h. es gilt auch Z Z. Offensichtlich gilt für die hier angegebenen Zahlen das Nachfolgende: IN IN 0 Z Q IR. Z \ IN, wobei die sogenannte leere Menge darstellt, die Menge also, die kein Element enthält. Die Behauptung Q \ Z ist leicht einzusehen. Die Behauptung jedoch, dass die reellen Zahlen größer sind als die Menge der rationalen Zahlen, ist nicht für jeden so leicht einsichtig. D. Horstmann: Oktober

8 2.1.1 Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises Behauptung 1. Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade. Es sei also n eine ungerade natürliche Zahl.Dann ist n darstellbar als: n =2k +1, wobei k eine natürliche Zahl oder Null ist. Hieraus folgt: n 2 =(2k +1) 2 =4k 2 +4k +1=2 (2k 2 +2k) +1. Somit ist auch n 2 eine ungerade Zahl. Dies ist ein sogenannter direkter Beweis. D. Horstmann: Oktober

9 2.1.1 Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises Behauptung 2. ist diese gerade. Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche Zahl, so Es sei also vorausgesetzt, dass n eine gerade natürliche Zahl ist. Wir nehmen nun einmal das Gegenteil zu der eben gemachten Behauptung an: Annahme 1. n = k ist ungerade. Nach dem eben geführten direkten Beweis ist dann k 2 = n auch ungerade.dies ist jedoch ein Widerspruch inserer Voraussetzung, dass n gerade ist. Somit muss die von uns gemachte Annahme falsch und n eine gerade Zahl sein. Dies ist ein sogenannter indirekter Beweis. D. Horstmann: Oktober

10 2.1.1 Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises Wir behaupten nun, dass IR \ Q ist, d.h. dass es reelle Zahlen gibt, die sich nicht als Bruch schreiben lassen. Behauptung 3. Die Wurzel aus 2 ist ein Element der reellen Zahlen, aber die Wurzel aus 2 ist kein Element der rationalen Zahlen. In Formelschreibweise: 2 IR aber 2 Q. Wir nehmen nun an, dass die zur Behauptung gegenteilige Aussage richtig ist. Somit gibt es eine ganze Zahl p und eine ganze Zahl q, die die folgenden Eigenschaften besitzen: 1. p Z und q Z sind teilerfremd, d.h. es gibt keine derartigen ganzen Zahlen r, n und m, so dass p = n r und q = m r mit r ±1 gilt. 2. Die Wurzel aus 2 ist gleich dem Quotienten aus diesen beiden Zahlen p und q, d.h. p 2= q, wobei der Bruch auf der rechten Seite dieser Gleichung aufgrund der ersten Eigenschaft von p und q soweit wie möglich gekürzt ist. D. Horstmann: Oktober

11 2.1.1 Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises Anmerkung 2. Dass die Zahl 2 tatsächlich auch existiert, sehen wir mit Hilfe des aus der Schule bekannten Satz des Phytagoras. Für die Länge x der Diagonalen eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 gilt nach diesem Satz: x 2 = =2. Wir können für die Länge x also das Symbol 2 verwenden. Wenn wir die Wurzel aus 2 quadrieren (also beide Seiten mit sich selbst noch einmal multiplizieren), so ergibt sich die Gleichung folgt, d.h. p 2 ist eine gerade Zahl. 2= p2 q 2, woraus 2 q2 = p 2 D. Horstmann: Oktober

12 2.1.1 Das Prinzip eines Widerspruchsbeweises Somit ist aber auch p bereits schon eine gerade Zahl, da das Quadrat einer ungerade Zahl eine ungerade Zahl ist, und wir können p mit Hilfe einer anderen ganzen Zahl p als 2 p schreiben, d.h. p =2 p. Somit gilt also, dass 2= 4 (p ) 2 q 2 ist,woraus nach Multiplikation mit q 2 die Gleichung q 2 =2 (p ) 2 folgt. Somit ist auch q eine gerade Zahl. Dies ist aber nicht möglich, da wir angenommen hatten, dass p und q teilerfremd sind. Zwei gerade Zahlen sind jedoch nie teilerfremd, womit wir zu einem Widerspruch gelangt sind. Also kann unsere Annahme, dass die Wurzel aus 2 eine rationale Zahl ist, nicht richtig gewesen sein und somit muss 2 Q gelten. D. Horstmann: Oktober

13 2.1.2 Weitere Bezeichnungen und Notationen Um Größenverhältnisse von Zahlen darzustellen, verwendet man die folgenden Zeichen: 1. Das Symbol bedeutet größer als oder gleich groß wie. 2. Das Symbol > bedeutet echt größer als. 3. Das Symbol bedeutet kleiner als oder gleichgroß wie. 4. Das Symbol < bedeutet echt kleiner als. Das heißt a<bschreibt man, wenn die Zahl a echt kleiner als die Zahl b ist, wobei a b geschrieben wird, wenn die Zahl a größer oder genauso groß sein kann wie die Zahl b. D. Horstmann: Oktober

14 Die Menge aller Zahlen, die echt größer als die Zahl a sind, aber die gleichzeitig auch echt kleiner als eine Zahl b sind, wird mit (a, b) oder mit {x IR a<x<b} angegeben.hierbei ist {x IR a<x<b} wie folgt zu lesen. Es ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die gilt, dass sie echt größer a und echt kleiner b sind.des Weiteren hat man 1. die Menge aller reellen Zahlen x, die echt größer als die Zahl a, aber kleiner oder gleich der Zahl b sind, d.h. (a, b] oder mit {x IR a<x b}. 2. die Menge aller reellen Zahlen x, die größer oder genauso groß sind wie die Zahl a, aber echt kleiner sind als die Zahl b, d.h. [a, b) oder mit {x IR a x<b} 3. die Menge aller reellen Zahlen x, die größer als oder genauso groß wie die Zahl a sind, die aber gleichzeitig kleiner als oder gleich der Zahl b sind, d.h. [a, b] oder mit {x IR a x b} D. Horstmann: Oktober

15 Man bezeichnet diese Mengen auch als Intervalle, wobei (a, b) das offene Intervall zwischen a und b bezeichnet;[a, b) das rechts halboffene und (a, b] das links halboffene Intervall zwischen a und b beschreibt;und [a, b] als das abgeschlossene Intervall von a bis b bezeichnet wird.die Zahl m = a + b 2 ist die Intervall-Mitte und d = b a ist die Intervall-Länge, sofern b a gilt. Den Betrag einer Zahl a stellt man mit dem Symbol a dar.hierbei gilt, dass der Betrag von a immer nichtnegativ ist und wie folgt definiert wird: a = a, falls a 0 und a = a, falls a 0. Also ist der Betrag der Zahl 4 gleich 4.Kürzer schreibt man eine solche Definition auch wie folgt: j a, falls a 0, a := a, falls a 0. D. Horstmann: Oktober

16 2.1.3 Weitere Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen Es seien a, b und c drei beliebige reelle Zahlen. Dann gelten: 1. Das Assoziativgesetz: a (b c) =(a b) c sowie a +(b + c) =(a + b) +c 2. Das Kommutativgesetz: a + b = b + a sowie a b = b a 3. Das Distributivgesetz: a (b + c) =a b + a c D. Horstmann: Oktober

17 2.2 Potenzen und Binomialkoeffizienten Wir bezeichnen nun im Nachfolgenden mit a und b zwei beliebige reelle Zahlen und mit n und m zwei beliebige natürliche Zahlen.Wir führen für a 0folgende Notationen ein: Somit sehen wir, dass a n := a... a {z } n-mal a n := 1 a... 1 a {z } n-mal a 1/n := n a. a m/n = n a m = ` n a m ist. D. Horstmann: Oktober

18 In dem Spezialfall m = n =2gilt die Gleichung Außerdem setzt man für alle reellen Zahlen a a 2/2 = a 2 = a. a 0 := 1. Insbesondere ist somit 0 0 := 1. Aus den oben angegebenen Notationen folgen nun für a 0und b 0leicht die aus der Schule bekannten Potenzgesetze: a n a n a m = a n+m, a = m an m, «a n b n = (a b) n, an a n b =, n b (a n ) m = a n m. Anmerkung 3. Tatsächlich gelten diese Regeln nicht nur für alle n, m IN, sondern sie gelten, wenn a>0 ist, auch für n, m IR. Dass dies wirklich so ist, werden wir in einem späteren Kapitel noch genauer sehen. D. Horstmann: Oktober

19 2.2.1 Der binomische Lehrsatz Es seien a und b zwei beliebige reelle Zahlen, dann gelten die nachfolgenden Formeln: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 +2 a b + b 2 (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 2 a b + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2. D. Horstmann: Oktober

20 2.2.2 Binomialkoeffizienten Für eine natürliche Zahl n wird mit der Notation n! das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n bezeichnet. Das Ausrufungszeichen bewirkt also, dass alle Zahlen von 1 bis n miteinander multipliziert werden.man schreibt n! und liest es als n Fakultät.Also ist n! := ny k = (n 1) n, k=1 wobei gesetzt wird. 0! := 1 D. Horstmann: Oktober

21 Mit dem Symbol n k wird ein sogenannter Binomialkoeffizient geschrieben.diese Notation steht, wenn n eine natürliche Zahl und k eine ganze Zahl bezeichnet, für den nachfolgenden Ausdruck: n k «8 >< := >: «n (n 1)... (n k+1) (k 1) k = n! k! (n k)!, für n>k 0, für n<k 0, für k<0. Für das Rechnen mit Binomialkoeffizienten gelten für alle n IN und k Z die nachfolgenden Rechenregeln: ««n n =, (2) k n k «= n k n 1 k 1 «n 1 + k (1) «. (3) D. Horstmann: Oktober

22 Es gilt nämlich n k «= n! k! (n k)! = = n! (n (n k))! (n k)! n «n k womit die erste Aussage folgt. Um die zweite Aussage zu zeigen, überlegen wir uns, dass für n 1 «n 1 (n 1)! = k 1 (k 1)! (n k)! und n 1 k «= (n 1)! k! ((n 1) k)!. D. Horstmann: Oktober

23 Wir addieren die beiden Ausdrücke und erhalten: ««n 1 n 1 (n 1)! + = k 1 k (k 1)! (n k)! + (n 1)! k! ((n 1) k)! Also gilt auch die zweite Aussage. = = = (n 1)! (k +(n k)) (n k)!k! n! k! (n k)! «n. k D. Horstmann: Oktober