Wir werden Lotteriespiel-Forscher Gewinnregeln von Lotteriespielen auf Basis von kombinatorischen Anordnungen einschätzen und selbst formulieren

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1 Wir werden Lotteriespiel-Forscher Gewinnregeln von Lotteriespielen auf Basis von kombinatorischen Anordnungen einschätzen und selbst formulieren DARUM GEHT ES SACHINFORMATIONEN Der Lehrplan für die Grundschule des Bundeslandes Nordrhein-Westfalen für das Fach Mathematik sieht in dem Bereich Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten das Beschreiben und Vergleichen von Wahrscheinlichkeiten als inhaltsbezogene Kompetenzen vor. Daneben sollen im Rahmen einfacher kombinatorischer Aufgaben Anzahlen für Kombinationsmöglichkeiten bestimmt werden. In diesem Kontext lassen sich mit dem hier vorgestellten Lotteriespiel durch Ziehen von Legosteinen Zufallsexperimente simulieren. Dabei befinden sich je ein roter und ein blauer Legostein bzw. später ein zusätzlicher gelber Legostein in einer Urne, welche bei der Unterrichtsdurchführung von undurchsichtigen Säckchen repräsentiert wird. Die Kinder ziehen jeweils einen Legostein, markieren auf dem Spielplan mit entsprechenden Farben und legen den Stein wieder zurück. Je nach Lotteriespiel wiederholen sie diesen Vorgang mehrmals, so dass auf dem Spielplan Zweier- oder Dreiertürme festgehalten werden, die über den Gewinn entscheiden. Für das erste Lotteriespiel ergeben sich acht und für das zweite Lotteriespiel neun verschiedene Farbkombinationen (siehe Randspalte), die von den Schülerinnen und Schülern gezogen werden können. Dieses Aufgabenformat fördert neben den inhaltsbezogenen Kompetenzen auch prozessbezogene Kompetenzen. Das Problemlösen/kreativ sein wird angesprochen, da die Schülerinnen und Schüler systematisch vorgehen und die Ergebnisse der Zufallsexperimente vergleichen, bewerten und reflektieren. Dazu müssen sie Strategien entwickeln, wie sie alle Kombinationsmöglichkeiten finden. Im Sinne des Modellierens müssen die Schülerinnen und Schüler aus der Sachsituation des Lotteriespiels ein mathematisches Modell entwickeln und so gewonnene Erkenntnisse zu Gewinnregeln und - chancen zurück übertragen. Zudem sind die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, zu argumentieren, weil sie zum einen Vermutungen über mathematische Zusammenhänge bei der Beurteilung von Gewinnregeln anstellen und zum anderen selbst aufgestellte Gewinnregeln überprüfen und begründen sollen. Abb.: Schülerlösung der möglichen Farbkombinationen Schuljahr 3, 4 Lehrplan-Bezug Inhaltsbezogene Kompetenzen: Daten, Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten Schwerpunkt Wahrscheinlichkeiten Prozessbezogene Kompetenzen: Problemlösen/kreativ sein Argumentieren Darstellen/Kommunizieren, Modellieren Mögliche Farbkombinationen 1. Lotteriespiel: 2 3 Möglichkeiten 2. Lotteriespiel: 3 2 Möglichkeiten Januar 2012 Mohr & Prigge für PIK AS ( 1

2 1. UNTERRICHTSEINHEIT Welche Gewinnregel ist besser? Gewinnregeln auf Fairness überprüfen ZIELE Die Schüler sollen alle Kombinationen der Dreiertürme mit zwei Farben in Form der kombinatorischen Figur Variation mit Wiederholung anordnen. Gewinnregeln mithilfe der Farbkombinationen einschätzen und mögliche Spielausgänge vorhersagen. ZEIT 2 Schulstunden (abhängig von den Vorkenntnissen der Kinder) SO KANN ES GEHEN Problemstellung/Leitfragen Transparenz Den Kindern sollte zunächst eine gewisse Prozesstransparenz über diese und die nächste Unterrichtseinheit gegeben werden. Dies kann in der Einführungsphase der Stunde geschehen: Wir werden in den nächsten beiden Stunden Lotteriespiele und ihre Gewinnregeln genauer erforschen und schauen, ob diese Spiele fair sind. Dazu bearbeitet ihr in Zweierteams ein Forscherheft mit Arbeitsblättern. Ihr lest euch die Arbeitsaufträge genau durch und erforscht die Lotteriespiele. Danach werden wir über eure Ergebnisse sprechen. Problemstellung In einem Theaterkreis vor der Tafel erläutert die Lehrperson die Vorgehensweise bei der Durchführung des Lotteriespiels und demonstriert eine Ziehung. Dabei wird gleichzeitig die Notationsweise, wie sie in der anschließenden Partnerarbeit auf den Arbeitsblättern geschehen soll, an der Tafel vorgeführt. Eine große Darstellung des Legoturms und der Gewinnregeln ist dabei hilfreich. Nachdem die Lehrperson dreimal gezogen hat, stellt sie die Gewinnregeln vor und lässt die Schüler entscheiden, welcher der Spieler gewonnen hat. So setzen sich die Schüler bereits aktiv mit dem Spiel auseinander. Um Konflikte bei der Durchführung des Spiels zu vermeiden, sollte sich innerhalb der Klassengemeinschaft auf allgemein gültige Spielregeln, wie z.b. Nicht-Schummeln, geeinigt werden. Die Lehrperson präsentiert anschließend die ersten Seiten des Forscherheftes und den Forscherauftrag Welche Gewinnregel ist besser? Zeichnet oder schreibt eine Erklärung auf, so dass die anderen Kinder euch verstehen können! (Forscherheft S.1: Spielplan; For- Material Schüler: Forscherheft Deckblatt Forscherheft S. 1: Spielplan Forscherheft S. 2: Farbkombinationen Säckchen mit einem blauen und einem roten Legostein (oder Steckwürfel) Tippkarten 1 und 2 Legosteine (oder Steckwürfel) blauer und roter Stift Sternchenaufgabe Lehrperson: Säckchen mit einem roten und einem blauen Legostein (oder Steckwürfel) große Abbildung: 3er-Turm große Abbildung: Gewinnregeln blaue und rote Kreide Januar 2012 Mohr & Prigge für PIK AS ( 2 Tafel

3 scherheft S.2: Farbkombinationen). Die beiden Gewinnregeln sind so konzipiert, dass Spieler 2 eine größere Gewinnchance hat, da er gewinnt, wenn er zweimal hintereinander die gleiche Farbe zieht. Damit hat Spieler 2 sechsmal die Möglichkeit zu gewinnen, wohingegen Spieler 1 lediglich zwei Gewinnchancen hat, nämlich nur wenn er nicht zweimal hintereinander die gleiche Farbe zieht (siehe Farbkombinationen in der Randspalte auf Seite 1). Arbeitsphase Die Arbeitsphase wird in Partnerarbeit durchgeführt, da bei dem Lotteriespiel zunächst zwei Kinder gegeneinander spielen. Jedes Forscherteam bekommt ein undurchsichtiges Säckchen mit je einem blauen und einem roten Legostein. Die Partner ziehen abwechselnd jeder dreimal. Nach jeder Ziehung entscheiden sie, wer die Spielrunde gewonnen hat und markieren dies im Spielplan (Forscherheft S.1: Spielplan). Im Anschluss bearbeiten sie die nächste Seite des Forscherheftes und ggf. die Sternchenaufgabe in Partnerarbeit, sodass zwei Kinder gemeinsam ein Forscherheft erstellen. Die Lehrperson gibt individuelle Hilfestellungen. Dabei sollte sie besonders darauf achten, dass alle Kinder die Spieldurchführung und die Spielregeln richtig verstanden haben. Sie weist ggf. auf die Tippkarten und die weiterführenden Sternchenaufgaben hin. Differenzierung Um allen Kindern ein erfolgreiches Bearbeiten des Forscherauftrages zu ermöglichen, können sie bei Schwierigkeiten auf Tippkarten zurückgreifen: Zum Finden aller möglichen Farbkombinationen (Forscherheft Seite 2, Nr. 1): Tipp 1: Auf dem Tisch findet ihr Legosteine. Baut die Dreiertürme damit nach! Zur Beantwortung der Frage Welche Gewinnregel war besser? (Forscherheft Seite 2, Nr. 2): Tipp 2: Markiert mit unterschiedlichen Farben, wo Spieler 1 und Spieler 2 gewonnen haben. Bei wie vielen Kombinationen konnte jeder von euch gewinnen? Schnelle Kinder können zur Weiterarbeit eine Sternchenaufgabe bearbeiten. Die Sternchenaufgabe enthält zwei neue, faire Gewinnregeln. Die Schüler sollen die Gewinnregel, bevor das Lotteriespiel durchgeführt wird, analysieren und auf ihrer Basis den Spielausgang vorhersagen, um anschließend ihre Vermutung zu überprüfen. Schlussphase / Reflexion Die Arbeit der Kinder an ihrem Forscherheft sollte auf jeden Fall eine angemessene inhaltliche Reflexion erhalten. Deshalb sollte einigen Kindern die Möglichkeit gegeben werden, ihre Forscherergebnisse vorzustellen und ggf. durch ein Tafelbild festzuhalten. Die verschiedenen Farbkombinationen können an der Tafel aufgemalt und somit von den Kindern für ihre Ergebnisbegründung genutzt werden. Januar 2012 Mohr & Prigge für PIK AS ( 3

4 2. UNTERRICHTSEINHEIT Das wird ein Unentschieden! Gewinnregeln formulieren und beurteilen ZIELE Die Schülerinnen und Schüler sollen alle Farbkombinationen von Zweiertürmen mit drei Farben finden und begründen, warum dies alle sind. Die Strategien, welche sie für das Finden aller Dreiturm-Kombinationen in der ersten Unterrichtseinheit entwickelt haben, können sie nutzen. eigenständig faire und unfaire Gewinnregeln formulieren und diese bei der Durchführung des Lotteriespiels überprüfen. Die zuvor gefundenen Farbkombinationen der Zweiertürme dienen als Argumentationsgrundlage für die Einschätzung der Gewinnchancen bei den jeweiligen Gewinnregeln. ZEIT 1 2 Schulstunden SO KANN ES GEHEN Problemstellung/Leitfragen Transparenz Anknüpfend an das erste Lotteriespiel aus der vorherigen Unterrichtseinheit wird den Schülerinnen und Schülern Prozesstransparenz in Bezug auf die sich daran anschließenden Inhalte gegeben: Wir werden heute ein zweites Lotteriespiel entdecken und selbstständig Gewinnregeln formulieren. Dabei werden wir erforschen, wie wir mit den Farbkombinationen der Zweier-Legotürme Begründungen für Gewinnchancen finden können! Material Schüler: Forscherheft S. 3: Farbkombinationen Forscherheft S. 4: Faire Gewinnregeln aufstellen und begründen Forscherheft S. 5: Spielplan für faire Gewinnregeln Säckchen mit einem roten, einem blauen und einem gelben Legostein (oder Steckwürfel) Tippkarten 1-6 Legosteine (oder Steckwürfel) blauer, roter und gelber Stift Sternchenaufgabe Lehrperson: Säckchen mit einem roten, einem blauen und einem gelben Legostein (oder Steckwürfel) große Abbildung: 2er-Turm blaue, rote, gelbe Kreide Tafel Problemstellung Die Lehrperson zeigt im Plenum ein undurchsichtiges Säckchen, welches je einen roten, blauen und gelben Legostein enthält und erklärt das zweite Lotteriespiel: Die beiden Spieler ziehen abwechselnd zweimal einen Legostein aus dem Säckchen, malen die abgebildeten Steine des jeweiligen Zweier-Legoturms auf dem Spielplan nacheinander in der gezogenen Farbe aus und legen den Legostein wieder zurück in das Säckchen. Bevor ein Spieler zieht, müssen immer alle drei Legosteine in dem Säckchen liegen. Damit die Schülerinnen und Schüler eigenständig Gewinnregeln formulieren können, benötigen sie die Übersicht über Januar 2012 Mohr & Prigge für PIK AS ( 4

5 alle Farbkombinationen, so dass der erste Arbeitsauftrag lautet: Findet alle Farbkombinationen der Zweier-Legotürme mit den Farben Rot, Blau und Gelb und malt sie auf diesem Arbeitsblatt auf! (Forscherheft S. 3: Farbkombinationen). Nachfolgend vermittelt die Lehrperson Zieltransparenz, indem sie den Forscherauftrag für diese Unterrichtsstunde erklärt: Schaut euch in eurem Team die Farbkombinationen der Zweiertürme genau an und stellt für jeden von euch eine Gewinnregel auf. Diese Regeln sollen fair sein, d.h. beide Spieler sollen damit die gleichen Gewinnchancen haben (Die Bedeutung des Begriffs fair sollte ggf. von einer Schülerin oder einem Schüler erklärt werden). Zeichnet oder schreibt die Begründung, dass die Gewinnregeln fair sind, so auf, dass die anderen Kinder euch verstehen können! (Forscherheft S. 4: Faire Gewinnregeln aufstellen und begründen). Zur Überprüfung der Fairness der Gewinnregeln soll das zweite Lotteriespiel anschließend durchgeführt werden, was ebenfalls von der Lehrperson erläutert wird: Wenn ihr begründet habt, dass die Gewinnregeln fair sind, sollt ihr das Gewinnspiel durchführen! (Forscherheft S. 5: Spielplan für faire Gewinnregeln). Danach wird darauf hingewiesen, dass die Entdeckungen bei der Lotteriespieldurchführung unten auf dem Arbeitsblatt aufgeschrieben werden sollen. Arbeitsphase Während der Arbeitsphase bearbeiten die gleichen Partnerteams wie in der ersten Unterrichtseinheit ihre Forscherhefte weiter. Zunächst sollen die Schülerinnen und Schüler alle Farbkombinationen der Zweiertürme finden und auf dem Arbeitsblatt aufzeichnen. Die Tippkarten 1-3 dienen der Unterstützung, um alle Kombinationen zu finden. Dies ist bedeutsam, da die Zweiertürme als Grundlage für die Formulierung der Gewinnregeln dienen. Anschließend formulieren die Teams selbstständig faire Gewinnregeln und können bei Bedarf die Tippkarten 4-6 benutzen. Die Lehrperson steht für individuelle Hilfestellungen bereit, weist die Schülerinnen und Schüler auf die Verwendung der Tippkarten hin und teilt schnellen Teams die Sternchenaufgabe aus. Insbesondere sollte die Lehrperson darauf achten, dass die Teams erst mit der Formulierung der Gewinnregeln beginnen, wenn sie alle Farbkombinationen gefunden haben, da diese die Basis für die Formulierung der Gewinnregeln darstellen. Differenzierung Um den Kindern ein erfolgreiches Bearbeiten des Forscherauftrages zu ermöglichen, können sie auf die folgenden Tipps zurückgreifen: Zum Finden aller möglichen Farbkombinationen der Zweiertürme (Forscherheft S. 3: Farbkombinationen): Tipp 1: Auf dem Tisch findet ihr Legosteine. Baut die Zweiertürme damit nach! Tipp 2: Schaut euch in eurem Forscherheft an, wie ihr die Dreiertürme gefunden habt! Vielleicht könnt ihr die Strategie auf die Zweiertürme übertragen! Tipp 3: Habt ihr schon einige Zweiertürme gefunden? Dann versucht die Türme nach Farben zu ordnen! Vielleicht fallen euch dann noch mehr Farbkombinationen ein! Januar 2012 Mohr & Prigge für PIK AS ( 5

6 Zur Formulierung von Gewinnregeln (Forscherheft S. 4: Faire Gewinnregeln aufstellen und begründen): Tipp 4: Schaut euch die Zweiertürme an und ordnet sie zum Beispiel nach den Farben der oberen oder unteren Legosteine! Fallen euch mit den geordneten Zweiertürmen Gewinnregeln ein? Tipp 5: Schaut euch an, welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede es bei den Zweiertürmen gibt! Ordnet die Türme nach Gemeinsamkeiten und versucht dadurch Gewinnregeln zu finden! Tipp 6: Beim ersten Lotteriespiel gab es zum Beispiel diese beiden Gewinnregeln: Spieler 1 gewinnt, wenn der dritte Legostein, den er zieht, blau ist. / Spieler 2 gewinnt, wenn der erste Legostein, den er zieht, blau ist. Fallen euch zu dem Lotteriespiel mit den Zweiertürmen ähnliche Gewinnregeln ein? Die Schülerinnen und Schüler, welche den Forscherauftrag schnell und ausführlich genug bearbeitet sowie ihre Entdeckungen hinreichend begründet haben, bekommen eine weiterführende Sternchenaufgabe. Bei dieser sollen Gewinnregeln in Bezug auf die jeweiligen Gewinnchancen eingeschätzt und mögliche Spielausgänge diskutiert werden. Schlussphase / Reflexion Bei der Reflexion der Forscherergebnisse sollten einige Kinder ihre gefundenen Gewinnregeln vorstellen und ihre Begründungen vorlesen können. Dabei sollten die Zweiertürme, welche bei den einzelnen Regeln zum Gewinn führen, an der Tafel entsprechend markiert werden und als Argumentationsgrundlage für die Begründung der Fairness der Gewinnregeln dienen. Außerdem können die gebauten Legotürme für die Begründung der Gewinnregeln genutzt werden. Die übrigen Kinder der Klasse, welche z.b. im Sitzkreis versammelt sind, sollten die vorgestellten Gewinnregeln der einzelnen Teams nachvollziehen, um die jeweiligen Gewinnchancen einschätzen und diskutieren zu können. Des Weiteren sollten die Zweierteams von ihren Spielerfahrungen berichten und dabei ihre gefundenen Entdeckungen präsentieren. Hierbei können die Schülerinnen und Schüler z.b. darüber diskutieren, warum etwa nicht beide Spieler gleich häufig gewonnen haben, obwohl sie in Bezug auf die Gewinnregeln gleiche Gewinnchancen hatten. Falls die Kinder die Zufälligkeit der Ergebnisse eines Lotteriespiels nicht von sich aus thematisieren, sollte die Lehrperson entsprechende Impulse geben. Weiterarbeit Zum Aufbau einer Grundvorstellung von Wahrscheinlichkeiten sollten neben dem hier aufgeführten Zufallsexperiment, bei dem alle Ereignisse gleichwahrscheinlich sind, auch Experimente mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten thematisiert werden. Dazu eignet sich besonders das Aufgabenformat des Glücksrads, bei dem die Größe der Kreissektoren und damit die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Farbe variiert werden kann. Januar 2012 Mohr & Prigge für PIK AS ( 6