( 0 ( x) d) Die Funktionsgleichung der Funktion 1 lautet: f( Für x 2 = 0 : Wähle die Werte -1 und 1. Überprüfe x1 = 1,

Transkript

1 Differentialrechnung IV (Wendepunkte) (Kap 7) (Haben Sie Probleme bei der Bearbeitung dieser Aufgaben versuchen Sie diese in Ihrer Kleingruppe mit Hilfe des Arbeitsbuchs Mathematik zu klären Führt dies zu keinem Ergebnis oder sind Sie sich unsicher wenden Sie sich bitte an die betreuenden Lehrkräfte!) 9 a) Kennzeichnen Sie zunächst an den unten abgebildeten Funktionsgraphen die Wendepunkte Zeichnen Sie dann die zugehörigen Tangenten ein und erläutern Sie warum die Tangenten so eingezeichnet werden müssen An den Wendepunkten geht der Graph von einer Links- in eine Rechtskurve über (oder umgekehrt) Die Wendetangenten berühren den Graph im Wendepunkt und haben die Steigung die der Graph dort hat Für ) liegen die Wendepunkte etwa bei 7 0 und 7 Bei Wendepunkt im Ursprung ist die Steigung 0 daher verläuft die Tangente auf der -Achse Bei h() liegen die Wendepunkte etwa bei 9 und 9 b) Skizzieren Sie zu beiden Graphen die Graphen der ersten Ableitung und h sowie die Graphen der zweiten Ableitung und h Erläutern Sie ausführlich den Zusammenhang zwischen den Graphen Y -0*X^+*X^ Y -0**X^+**X^ Y -(0***X^)+**X f ( ) ) )

2 Y -0*X^+7*X^ Y -X^+7**X Y -*X^+7* Die erste Ableitung von f () ist dort Null wo der Graph von f die Steigung 0 hat Das ist am Hochpunkt (etwa -) am Tiefpunkt (etwa ) sowie am Sattelpunkt im Ursprung der Fall Die Ableitung ist dort positiv wo der Graph von h steigt (in den Intervallen ] ; [ und ] ; [ (in den Intervallen ] ;0 [ und ] ;+ [) 0 ) und negativ wo der Graph fällt Die zweite Ableitung f von ) ist dort Null wo der Graph Wendepunkte hat (bei 7 0 und 7 ) Am Hochpunkt (etwa -) und am Tiefpunkt (etwa ) ist f nicht Null wohl aber am Sattelpunkt (0/ von f Die erste Ableitung von h () ist dort Null wo der Graph von h die Steigung 0 hat Das ist an den Hochpunkten (etwa -9 und 9) und am Tiefpunkt ( der Fall Die Ableitung ist dort positiv wo der Graph von h steigt (im Intervall ] 9;9 [) und negativ wo der Graph fällt (in den Intervallen ] ; 9 [ und ] 9;+ [) Die zweite Ableitung h von h() ist dort Null wo der Graph Wendepunkte hat (bei 9 und 9 ) An den Hochpunkten (etwa -9 und 9) und am Tiefpunkt ( ist h nicht Null c) Erläutern Sie außerdem das Verfahren zur Bestimmung der eakten Lage der Wendepunkte anhand der Graphen der beiden Ableitungen Aus den Graphen der Funktionen f und h kann man die Wendepunkte ungefähr ablesen Bei den Graphen der zweiten Ableitungen f und h stellt man fest dass sie genau dort Nullstellen haben Vergleichen Sie dazu die entsprechenden Kapitel im Buch

3 Wendepunkte: d) Die Funktionsgleichung der Funktion lautet: ) Bestimmen Sie rechnerisch die eakten Koordinaten der Wendepunkte I: Ableitungen ) II: Notwendige Bedingung: ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) ± ± 0 ) ( ) ( ausklammern : 7 ± An den Stellen 0 und können Wendepunkte vorliegen Für 0 : Wähle die Werte - und ) ) ( ) ( ) Bei 0 ist ein (+/-)-Vorzeichenwechsel (das heißt ein Wechsel von einer Links- zu einer Rechtskurve) und damit eine Wendestelle Überprüfe : Wähle die Werte und ( ) ) ( ) ( ) 0 Bei ist ein (-/+)-Vorzeichenwechsel (das heißt ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve) und damit eine Wendestelle Überprüfe 0 ( 0 ( ) 0 : ) ( also liegt hier eine Wendestelle vor (Da ( ) < 0 ist findet ein Wechsel von einer Links- zu einer Rechtskurve statt) Überprüfe ( ) ( ) 0 ( ) also liegt hier eine Wendestelle vor (Da ( ) > 0 ist findet ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve statt) III: Hinreichende Bedingung: VZW bei ( ) Überprüfe : Wähle die Werte - und - ) ( ) ( ) + ) ( ) ( ) + 0 Bei ist ein (-/+)-Vorzeichenwechsel (das heißt ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve) und damit eine Wendestelle ALTERNATIVE: Hinreichende Bedingung: mit () ( ) Bed: ( ) 0 Überprüfe ( ) ( ) ( ) 0 also liegt hier eine Wendestelle vor (Da ( ) > 0 ist findet ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve statt) IV: Bestimmung der -Koordinaten der Wendepunkte Setze 0 und in die Ursprungsfunktion f ein f ( ( ) ( ) 9 ) ( ( ) 0 ( ) ( ) 9 ) Damit ergeben sich die Wendepunkte WP ( / 9) und WP ( 0 / und WP ( / 9)

4 0 Bestimmen Sie die Etrempunkte und die Wendepunkte der Funktion f mit ) + 0 Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer Ergebnisse und der Nullstellen N ( N ( 0 und ( Etrempunkte: (I) Bestimmung der Ableitungsfunktion: Die Ableitungsfunktion lautet / (II) notwendige Bedingung für Etremstellen: Bed : ) 0 ( ) ± 9 / ) + ( 07 ) ausklammern + 79 (III) hinreichende Bedingung für Etremstellen N / Überprüfung von: 0 ) und ) () + () + () 9 Da ein (+/-) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Hochpunkt Überprüfung von 79 ) 9 und ) () + () () Da ein (-/+) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt Überprüfung von: 0 ( + ( Da < 0 liegt hier eine Rechtskurve Daher kann hier nur ein Tiefpunktpunkt vorliegen Überprüfung von 79 79) ( 79) + ( 79) Da 79) > 0 liegt hier eine Linkskurve Daher kann hier nur ein Tiefpunkt vorliegen Hier können zwei gleichwertige Alternativen benutzt werden! Es besteht weiterhin die Möglichkeit die Steigung mit dem Vorzeichenwechselkriterium der ersten Ableitung zu überprüfen das in den bisherigen Aufgaben (A09 A zum Nachweis von Hochoder Tiefpunkten verwendet wurde Man kann aber auch den Nachweis eines Hoch- oder Tiefpunktes anhand des Kurvenverhaltens des Graphen führen Das Kurvenverhalten kann mit der zweiten Ableitung überprüft werden hinreichende Bedingung für Etremstellen (IV) Bestimmung der Koordinaten der Etrempunkte: (Einsetzen in f ( ) ) f ( 9) (Vorzeichenwechselkriterium): mit ) + Kriterium mittels zweiter Ableitung (Kurvenverhalten) ( ) 0 ) f ( 0 Überprüfung von 9 mit ( ) + f ( 79) 07 ) ( ) und ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + + ( ) Da ein (-/+) Vorzeichenwechsel vorliegt haben wir hier einen Tiefpunkt Überprüfung von 9 9) ( 9) + ( 9) 7 0 Da 9) > 0 liegt hier eine Linkskurve Daher kann hier nur ein Tiefpunkt vorliegen 7 Hoch- bzw Tiefpunkte sind damit: TP ( 9 / ) HP ( 0 / und TP ( 79 / 07 )

5 Wendepunkte: I: Ableitungen ) + 0 ( ) + ( ) + II: Notwendige Bedingung: Für : Wähle die Werte 0 und ( ( ) ( ) + ( ) Bei ist ein (-/+)-Vorzeichenwechsel (das heißt ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve) und damit eine Wendestelle Überprüfe : ( ) + ( ) ( ) 0 also liegt hier eine Wendestelle vor (Da ( ) > 0 ist findet ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve statt) ( ) ± 0 ± ( ) + 0 ± 0 : ( ) IV: Bestimmung der -Koordinaten der Wendepunkte Setze und in die Ursprungsfunktion f ein ( ) + 0 ( ) ( ) 7 0 ) ( ) + 0 ( ) ( ) ) An den Stellen und können Wendepunkte vorliegen Damit ergeben sich die Wendepunkte WP( / 7 0) und WP ( / ) III: Hinreichende Bedingung: VZW bei ( ) + ALTERNATIVE: Hinreichende Bedingung: mit Y (/ )*X^+0*X^-*X^ 0 () + Bed: ( ) 0 Überprüfe : Wähle die Werte - und 0 ) ( ) + ( ) 7 ( + ( Bei ist ein (+/-)-Vorzeichenwechsel (das heißt ein Wechsel von einer Links- zu einer Rechtskurve) und damit eine Wendestelle Überprüfe ( ) + ( ) ( ) 0 also liegt hier eine Wendestelle vor (Da ( ) < 0 ist findet ein Wechsel von einer Links- zu einer Rechtskurve statt)

6 Bestimmen Sie für die Funktion f mit die Gleichungen der Wendetangenten t w und t w f ( ) + Um Wendetangenten zu bestimmen benötigt man zunächst die Wendepunkte und ermittelt dann die Funktionsgleichungen der Tangenten an diese Punkte Wendepunktbestimmung: I: Ableitungen f ( ) ) ) II: Notwendige Bedingung: ( ) ± ± 9 ( ) + : ( ) An den Stellen und können Wendepunkte vorliegen III: Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von Überprüfe : Wähle die Werte - und - ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Bei ist (-/+)-Vorzeichenwechsel (das heißt ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve) und damit eine Wendestelle IV: Bestimmung der -Koordinaten der Wendepunkte Setze und in die Ursprungsfunktion f ein ) ( ) ( ) + ( ) ) + + Damit ergeben sich die Wendepunkte WP ( / 9) und WP ( / ) Schritt: Bestimmung der Tangenten: WP ( / 9) WP ( / ) Allgemein gilt für Tangenten: t ( ) m + b t( ) f ( ) 9 m ) ( ) ( ) + ( ) 0 Den -Abschnitt b erhält man indem die Koordinaten des ersten Wendepunktes WP ( / 9 ) und m 0 in die allgemeine Form der Tangentengleichung einsetzt werden: 9 0 b ( ) b + b Also: t ( ) 0 0 t ( ) m + b t( ) f ( ) m ) ( ) ( ) + ( ) Den -Abschnitt b erhält man indem die Koordinaten des ersten Wendepunktes WP ( / ) und m in die allgemeine Form der Tangentengleichung einsetzt werden: 0 b ( ) + b + b Also: t ( ) 0 Für : Wähle die Werte und ) + + ) Bei ist (+/-)-Vorzeichenwechsel (das heißt ein Wechsel von einer Links- zu einer Rechtskurve) und damit eine Wendestelle

7 Die folgende Grafik veranschaulicht den Graphen von f und die Tangenten: An den Stellen und ist also die Steigung null (potentielle Etremstellen) daher werden diese beiden Werte benutzt um die -Achse in Intervalle zu unterteilen Die Überprüfung der jeweiligen Intervalle erfolgt indem man für einen Wert aus dem Intervall das jeweilige Steigungsverhalten ermittelt (die anderen Stellen in diesem Intervall müssen dann das gleiche Steigungsverhalten - dh das gleiche Vorzeichen besitzen) indem man diese Werte in ) einsetzt Es ergeben sich folgende Intervalle: Intervalle Überprüfung Monotonie I ] ; [ ( ( ( + 0 I f Streng monoton fallend ] [ ( ( ( + ; f Streng monoton wachsend ] ; + [ ( ) ( ) ( ) + 9 I f Streng monoton fallend Gegeben ist die Funktion f mit f ( ) Geben Sie jeweils die maimalen Teilintervalle von ID IR an (und begründen Sie dies für jedes Intervall) auf denen die Funktion f a) streng monoton wächst bzw streng monoton fällt Um die Monotonieintervalle angeben zu können müssen die Etremstellen (HP / TP) bestimmt werden Dies erfolgt mit Hilfe der notwendigen Bedingung für Etrema Die Überprüfung der hinreichenden Bedingung (und damit die Festlegung wo jeweils ein HP bzw TP liegt) ist für die Angabe der Intervalle nicht erforderlich (Man kann jedoch auch anhand der jeweiligen hinreichenden Bedingung die Begründung für das Monotonieverhalten der jeweiligen Intervalle formulieren) b) eine Rechtskurve bzw eine Linkskurve bildet Um die Intervalle mit Links- bzw Rechtskurven angeben zu können müssen die Wendestellen bestimmt werden Dies erfolgt mit Hilfe der notwendigen Bedingung für Wendepunkte Die Überprüfung der hinreichenden Bedingung (und damit die Festlegung wo jeweils ein WP liegt) ist für die Angabe der Intervalle nicht erforderlich (Man kann jedoch auch anhand der jeweiligen hinreichenden Bedingung die Begründung für das Kurvenverhalten der jeweiligen Intervalle formulieren) + f ( ) ) ( ) + f ( ) ) notwendige Bedingung: ) : ( ) notwendige Bedingung: ( ) An der Stelle ist also die zweite Ableitung null (potentielle Wendestelle) daher ± ( ) ( ± + wird dieser Wert benutzt um die -Achse in Intervalle zu unterteilen Die Überprüfung der jeweiligen Intervalle erfolgt indem man für einen Wert aus dem Intervall das jeweilige Kurvenhalten ermittelt (die anderen Stellen in diesem Intervall müssen dann

8 das gleiche Kurvenhalten besitzen) indem diesen Wert in ) folgende Intervalle: Intervalle Überprüfung Kurve einsetzt Es ergeben sich Bestimmen Sie für die Funktion f mit ) die Etrem- und Wendepunkte Etrempunkte I ] ; [ ) ( ) 0 Linkskurve ] ; + [ 0 ) ( I Rechtskurve I Ableitungen: ) ( ) ) 0 c) Skizzieren Sie den Graphen von f anhand Ihrer Ergebnisse und der einzigen Nullstelle ( 7 / N II notwendige Bedingung: ) 0 0 : ( ) Y -(/ )*X^-07*X^+*X z z 0 z ± z ± z ( ) ( ) + ± Substitution : z 7 z + Rücksubstitution : ± z III hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von Überprüfung von : ( ( ( ( Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von statt dh hier liegt ein Hochpunkt vor Überprüfung von : ( ( Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von statt dh hier liegt ein Tiefpunkt vor

9 Überprüfung von : IV -Koordinaten: (Einsetzen der -Werte in f ): ( ) ( ) ( ) + + f ( ) f ( Wendepunkte ( ) ( ) ( ) ) Die Etrempunkte haben also die folgenden Koordinaten: HP( / ) und TP( / ) I notwendige Bedingung: ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 0 ± 0 + ± 0 : ( ausklammern Fallunterscheidung ) ) 0 0 ( 0 ) ( 0 ) 0 ( ) ( ) 0 Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von statt dh hier liegt ein Wendepunkt (Übergang RK/LK)vor III -Koordinaten: (Einsetzen der -Werte in f ): f ( ( ) ( ) ( ) 9 7 ) ( ( ( 0 ( ) ( ) ( ) 9 7 ) Die Wendepunkte haben also die folgenden Koordinaten: WP ( / 9 7) WP ( 0 / und WP ( / 9 7) II hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel von ) Überprüfung von : 0 ( ) ( ) 0 + ( 0 ) ( 0 ) ) 0 Bei findet also ein ( /+)-Vorzeichenwechsel von dh hier liegt ein Wendepunkt (Übergang RK/LK)vor statt Überprüfung von 0: 0 ) 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 ) 0 Bei findet also ein (+/ )-Vorzeichenwechsel von statt dh hier liegt ein Wendepunkt (Übergang LK/RK)vor 7