Partielle Ableitungen

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Eugen Keller
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1 Partielle Ableitungen 7-E

2 Partielle Ableitungen einer Funktion von n Variablen Bei einer Funktion y f x1, x,..., xn von n unabhängigen Variablen x1, x,..., x n lassen sich insgesamt n partielle Ableitungen 1. Ordnung bilden: 7-1 In der Funktionsgleichung werden alle unabhängigen Variablen bis auf die eine, nach der differenziert wird, als konstante Größen, d.h. als Parameter betrachtet. Die gegebene Funktion erscheint als eine Funktion von einer Variablen und wird unter Verwendung der bekannten Ableitungsregeln nach dieser Variablen differenziert. Das Ergebnis der Differentiation ist die Ableitung 1. Ordnung.

3 Partielle Ableitungen: Aufgabe Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung folgender Funktionen a ) f x, y, z sin x x ln y z b ) f x, y, z x y z e x c ) f x, y, z e x z ln x y z 7-

4 Partielle Ableitungen: Lösung a ) f x, y, z sin x x ln y z sin x x ln y ln z sin x ln y ln z x cos x ln y ln z x x ln y, y x x ln z z z z b ) f x, y, z x y z e x, x y z e x, x z c ) f x, y, z e x z ln x y z e x z ln x ln y ln z 1 ex z, x 7-3 1, y 1 ex z z

5 Ableitungsregeln: Produktregel Die Ableitungsregeln sind die gleichen wie bei den Funktionen von einer Veränderlichen. Funktion einer Variablen: f f x u x v x df du dv v u dx dx dx f ' u' v v' u Funktion von zwei Variablen: f f x, y u x, y v x, y 7-4 u v u v v u, f x ux v vx u u v u v v u, f y uy v v y u

6 Ableitungsregel: Kettenregel Funktion einer Variablen: f f x F u x f' df df du dx du dx df äußere Ableitung, du du innere Ableitung dx Funktion von zwei Variablen: f f x, y F u x, y d F u, du 7-5 d F u du

7 Die partiellen Ableitungen sind nichts anderes als die gewöhnlichen Ableitungen, bei denen alle Variablen bis auf eine festgehalten werden. Die wichtige Konsequenz ist, dass sich alle Regeln für das Differenzieren von Funktionen einer Variablen auf die partielle Differentiation übertragen. 7-6

8 Partielle Ableitungen: Aufgaben 3-5 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion f (x, y) im Punkt P Aufgabe 3: f x, y x y, Aufgabe 4: f x, y a ) P 1, 0, Aufgabe 5: 1 x y b ) P 0, 1, c ) P 1, 1 f x, y x 3 cos y a ) P 1,, 8-A P P 1, 1 b ) P,

9 Partielle Ableitungen: Lösung 3 f x, y x y, P P 1, 1 f x, y x, f 1, 1 0 x, y y, f 1, 1 0 Die partielle Ableitung nach x ist positiv und nach y negativ. Für eine Funktion mehrerer Variablen ist es durchaus möglich, dass eine Funktion in einem Punkt eine positive und eine negative Steigung hat. Man kann nicht erwarten, dass eine Funktion sich in alle Richtungen auf ähnliche Weise verhält. 8-1a

10 Partielle Ableitungen: Lösung 3 Abb. 4-1: Graphische Darstellung der Funktion f (x, y) x² y² (hyperbolisches Paraboloid) und der Schnittkurven mit x,z- und y,z-ebenen 8-1b

11 Partielle Ableitungen: Lösung 3 Abb. 4-: Die Schnittkurven der Funktion f (x, y) x² y² mit der Ebene x 1 und mit der Ebene y 1 8-1b

12 Partielle Ableitungen: Lösung 4 f x, y a ) P 1, 0, 1 x y b ) P 0, 1, [ 1 x y ] 4 x y 1 x y f 1, 0 0, 1 0, [ f 1, 1 1 ] 4 x y 1 x y 1 x y f 1, 0 0, 1 0, 8-a c ) P 1, 1 f 1, 1 1

13 Partielle Ableitungen: Lösung 4 x,y-ebene Abb. 5-1: Graphische Darstellung der Funktion f (x, y) f x, y 8-b 1 x y

14 Partielle Ableitungen: Lösung 4 Abb. 5-: Die Schnittkurven der Funktion z f (x, y) mit x,z-ebene und der Ebene y 1, die Tangente im Punkt P (1, 1) in Richtung der x-achse 8-c

15 Partielle Ableitungen: Lösung 5 f x, y x 3 cos y, [ a ) P 1,, [ f, 1 x 3 cos y ] sin y 1, 0, 8-3a x 3 cos y ] 3 x 1, 3, b ) P, f,

16 Partielle Ableitungen: Lösung 5 Abb. 6-1: Graphische Darstellung der Funktion z x³ + cos y 8-3b

17 Partielle Ableitungen: Lösung 5 Abb. 6-: Die Schnittkurven der Funktion z f (x, y) mit x,z-ebene (rot) und y,z-ebene (blau) 8-3c

18 Partielle Ableitungen: Aufgaben 6-8 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion f (x, y) im Punkt P Aufgabe 6: f x, y x y sin y a ) P 0,, Aufgabe 7: f x, y x y Aufgabe 8: f x, y x sin y a ) P 1, 9-A, b ) P 1,, P P, 3 b ) P,

19 Partielle Ableitungen: Lösung 6 f x, y x y sin y, x sin y, a ) P 0,, b ) P 1, 0, f 1, 0 y sin y x y cos y 0, sin 1, 1 cos a

20 Partielle Ableitungen: Lösung 6 Abb. 7-1: Graphische Darstellung der Funktion z f (x, y) f x, y x y sin y 9-1b

21 Partielle Ableitungen: Lösung 6 Abb. 7-: Die Schnittkurven der Funktion z f (x, y) mit der Ebene y π/ (rot) und der y,z-ebene (x 0) (blau) f x, y x y sin y 9-1c

22 Partielle Ableitungen: Lösung 7 f x, y [, 3, 3 9- x y 1 x y [ y x y ] ] 1 x y x, y 3 x, y

23 Partielle Ableitungen: Lösung 8 f x, y x sin y, x, cos y, 9-3a f a ) P 1,, 1,, f 1, 0, b ) P,, 4,

24 Partielle Ableitungen: Lösung 8 z f (x, y) x,y-ebene Abb. 8-1: Graphische Darstellung der Funktion z f (x, y) f x, y x sin y 9-3b

25 Partielle Ableitungen: Lösung 8 Abb. 8-: Die Schnittkurven der Funktion z f (x, y) mit der x,z-ebene (rot) und der y,z-ebene (blau) f x, y x sin y 9-3c

Gesetz als 1 1 1 R R1 R Wie groß ist die Änderungsrate R/ R1?

26 Partielle Ableitungen: Aufgabe 9 Der Gesamtwiderstand R zweier parallel geschalteter ohmscher Widerstände R 1, R berechnet sich nach dem Kirchhoff'schen Gesetz als R R1 R Wie groß ist die Änderungsrate R/ R1? Für welches R 1 ist die Änderungsrate am größten? Gustav Kirchhoff ( ) deutscher Physiker R1 R 10-1

27 Partielle Ableitungen: Lösung 9 v R1 R R R1 R R1 R R R1 R R1 R R 1 R R1 R R R1 R R1 R R R 1 R Die Änderungsrate ist maximal für R

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