Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp

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Nikolas Hartmann
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1 Datenanalyse (PHY23) Herbstsemester 207 Olaf Steinkamp 36-J

2 Vorlesungsprogramm Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Mittelwert, Standardabweichung, Kovarianz und Korrelation Fehlerfortpflanzungsgesetz Wahrscheinlichkeitsverteilungen - diskrete Verteilungen, kontinuierliche Verteilungen - zentraler Grenzwertsatz Monte-Carlo Methode Wahrscheinlichkeitsverteilungen II - Faltung zweier Verteilungen - Verteilungen zweier Variablen Stichproben und Schätzfunktionen - Maximum-Likelihood Methode - Methode der kleinsten Quadrate Interpretation von Messergebnissen - Konfidenzintervalle, Testen von Hypothesen Beispielprogramme im Verzeichnis /disk/puma/da/vorl/stat Grundbegriffe der Statistik (2)

3 Mittelwert einer Verteilung Für eine Verteilung aus Werten x, x 2,, x arithmetischer Mittelwert: x x i Median: die Hälfte aller Werte ist grösser, die Hälfte aller Werte ist kleiner Modus: der am häufigsten vorkommende Wert Für eine Funktion f ) im folgenden: Mittelwert arithmetischer Mittelwert f f ( x i ) f ( x) = x 2 f = i= x i 2 Grundbegriffe der Statistik (3)

4 Gewichteter Mittelwert Gewichteter Mittelwert von Werten x i mit Gewichten w i w i x i x w i wichtige Anwendung: gewichteter Mittelwert von voneinander unabhängigen Messungen mit unterschiedlichen Messunsicherheiten σ i w i = σ i 2 Herleitung später Mittelwert eines Histogramms mit Intervallen: ni x i x i : Intervallzentren x ni n i : Anzahl Einträge Mittelwert des Histogramms = gewichteter Mittelwert der Intervallzentren Grundbegriffe der Statistik (4)

5 Einfacher und gewichteter Mittelwert Beispiel: 6 Messungen der Lebensdauer des eutrons neuere Messungen arithmetischer Mittelwert gewichteter Mittelwert (mit Unsicherheit) nlife.py nlife.dat # t[s] dt[s] [Quelle: Particle Data Group] arithmetischer Mittelwert aller Messungen: /6 Σ t i = 89.4 s aber: neuere Messungen präziser als ältere sollten mehr Gewicht haben gewichteter Mittelwert: / Σ(/σ i2 ) Σ (t i /σ i2 ) = (886.3 ± 0.9) s pylab: Befehl average() kann gewichtete Mittelwerte berechnen Grundbegriffe der Statistik (5)

6 Unsicherheit auf gewichtetem Mittelwert Gewichteter Mittelwert von Messungen x i mit Messunsicherheiten σ i = w i = σ i 2 x = Messungen voneinander unabhängig: benutze Gaußsche Fehlerfortpflanzung ( x Spezialfall: Messunsicherheit auf allen Messungen gleich, d.h. σi = σ für alle i x i σ i ) 2 = ( 2) σ i ( σ i 2 σ i ) 2 ( σ i 2) ( x i σ i 2) = ( σ i 2) = σ 2 = = σ 2 σ nächste Woche aber aufgepasst: Gaußsche Fehlerfortpflanzung gilt nur, wenn die Messungen voneinander unabhängig sind Grundbegriffe der Statistik (6)

7 Mittelwert histogrammierter Daten Beispiel: 0'000 exponentialverteilte Messwerte (Zerfallszeiten radioaktiver Quelle) expohist.py #!/usr/bin/env python from pylab import * # # generiere exponentialverteilte Werte # = 0000 meantrue = 53.7 tmeas = exponential(meantrue,) # # Mittelwert der Verteilung # meanmeas = mean(tmeas) # # histogrammiere die Werte # tmin = 0 ; tmax = 600 ; nbins = 00 ni,ti,patch = hist(tdata,nbins,(tmin,tmax)) # # Mittelwert des Histogramms # tbin = ti[0:-]+ti[:])/2.0 meanhist = dot(ni,tbin) / sum(ni) wahrer Mittelwert: 53.7 min Mittelwert der Messwerte: 53.6 min Mittelwert eines Histogramms mit 00 Intervallen: 53.6 min 0 Intervallen: 59.0 min 3 Intervallen: 05. min bei zu groß gewählter Intervallbreite geht Information verloren! Grundbegriffe der Statistik (7)

8 Vorlesungsprogramm Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Mittelwert, Standardabweichung, Kovarianz und Korrelation Fehlerfortpflanzungsgesetz Wahrscheinlichkeitsverteilungen - diskrete Verteilungen, kontinuierliche Verteilungen - zentraler Grenzwertsatz Monte-Carlo Methode Wahrscheinlichkeitsverteilungen II - Faltung zweier Verteilungen - Verteilungen zweier Variablen Stichproben und Schätzfunktionen - Maximum-Likelihood Methode - Methode der kleinsten Quadrate Interpretation von Messergebnissen - Konfidenzintervalle, Testen von Hypothesen Beispielprogramme im Verzeichnis /disk/puma/da/vorl/stat Grundbegriffe der Statistik (8)

9 Maße für die Breite einer Verteilung Mittlere Abweichung der Messwerte vom Mittelwert Statistiker: Varianz der Verteilung x i x unschöne mathematische Behandlung (z.b. beim Bilden von Ableitung) V ( x ) okay bzgl. mathematischer Behandlung aber: andere Einheit als Messgröße x ) 2 = x 2 x 2 Herleitung: Uebungen Physiker: Standardabweichung der Verteilung V(x) = i= x) 2 = x 2 x 2 Grundbegriffe der Statistik (9)

10 Standardabweichung Aufgepasst: zwei Definitionen der Standardabweichung! i= x ) 2 s x x ) 2 in pylab: std(x,0) std(x,) Definition mit / ist die Standardabweichung der gemessenen Verteilung Definition mit / (-) gibt einen Schätzwert für die Standardabweichung der wahren Verteilung, die gemessen werden soll Unterschied für große vernachlässigbar, nicht aber für kleine deshalb wichtig: immer angeben, welche Definition Sie verwenden keine Angst, wird in ein paar Wochen hoffentlich klar... Grundbegriffe der Statistik (0)

11 Standardabweichung einer Verteilung und Unsicherheit auf ihrem Mittelwert Standardabweichung der Verteilung ist bestimmt durch die Streuung der einzelnen Messwerte um den Mittelwert ist ein Maß für die Messunsicherheit auf den einzelnen Messungen hängt nicht von der Zahl der Messungen ab Unsicherheit auf dem Mittelwert der Verteilung ist umso kleiner, je kleiner die Streuung der Messwerte ist 34 mean 9442 std 49.5 dmean 8 nimmt mit zunehmender Anzahl Messungen ab = vgl. Folie mean std 49.8 dmean 0.3 Beispiel: Verteilung gaußverteilter Zufallszahlen, erzeugt mit μ = 9450 und σ = 50 Grundbegriffe der Statistik ()

Standardabweichung einer histogrammierten Verteilung Histogramm mit Intervallen Folie 9 Folie 4 = x 2 x 2 = n i x i 2 ni ( ni x i ni )2 x i : Intervallzentren n i : Anzahl Einträge Beispiel: 200

12 Standardabweichung einer histogrammierten Verteilung Histogramm mit Intervallen Folie 9 Folie 4 = x 2 x 2 = n i x i 2 ni ( ni x i ni )2 x i : Intervallzentren n i : Anzahl Einträge Beispiel: 200 Messungen der Gravitationskonstante (s. letzte Woche) Standardabweichung der Verteilung: m 2 /kg Standardabweichung des Histogramms mit 50 Intervallen: Intervallen: Intervallen:.23 wieder: Informationsverlust bei zu groß gewählter Intervallbreite! Grundbegriffe der Statistik (2)

13 Vorlesungsprogramm Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Mittelwert, Standardabweichung, Kovarianz und Korrelation Fehlerfortpflanzungsgesetz Wahrscheinlichkeitsverteilungen - diskrete Verteilungen, kontinuierliche Verteilungen - zentraler Grenzwertsatz Monte-Carlo Methode Wahrscheinlichkeitsverteilungen II - Faltung zweier Verteilungen - Verteilungen zweier Variablen Stichproben und Schätzfunktionen - Maximum-Likelihood Methode - Methode der kleinsten Quadrate Interpretation von Messergebnissen - Konfidenzintervalle, Testen von Hypothesen Beispielprogramme im Verzeichnis /disk/puma/da/vorl/stat Grundbegriffe der Statistik (3)

Korrelation und Kovarianz Betrachte statistischen Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen positive Korrelation: Wert einer Variablen nimmt im Mittel zu, wenn der Wert der anderen zunimmt x ) (y i

14 Korrelation und Kovarianz Betrachte statistischen Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen positive Korrelation: Wert einer Variablen nimmt im Mittel zu, wenn der Wert der anderen zunimmt x ) (y i y ) < 0 x x) (y i y) > 0 negative Korrelation: Wert einer Variablen nimmt im Mittel ab, wenn der Wert der anderen zunimmt y Kovarianz für Wertepaare (x,y ),, (x,y ) x ) (y i y ) > 0 x ) (y i y ) < 0 cov (x, y ) x)(y i y ) = xy x y x cov (x,y) > 0 für positive Korrelation y cov (x,y) < 0 für negative Korrelation cov (x,y) = 0 wenn keine Korrelation achteil: Wert für cov (x,y) 0 hängt von den für x und y gewählten Einheiten ab Grundbegriffe der Statistik (4)

15 Korrelationskoeffizient Einheitenloses, normiertes Maß für Korrelation zweier Zufallsvariablen ρ cov (x, y ) σ y = xy x y σ y - ρ ρ = 0: keine Korrelation y ρ > 0: positive Korrelation ρ < 0: negative Korrelation ρ = ±: vollständige Korrelation, x Wert von x i legt Wert von y i fest und umgekehrt Grundbegriffe der Statistik (5) [aus: Barlow, Statistics]

16 Korrelationskoeffizient Einheitenloses, normiertes Maß für Korrelation zweier Zufallsvariablen ρ cov (x, y ) σ y = xy x y σ y - ρ aber: aufgepasst bei nicht-linearen Zusammenhängen [von: wikipedia.de] Grundbegriffe der Statistik (6)

17 Zusammenfassung (arithmetischer) Mittelwert einer Verteilung: x = einfach: x i gewichtet: x = Standardabweichung einer Verteilung: x i /σ i 2 /σ i 2 = V (x ) = i= x) 2 = x 2 x 2 Unsicherheit auf dem Mittelwert einer Verteilung: einfach: = gewichtet: linearer Korrelationskoeffizient zweier Variablen: = /σ i 2 ρ = cov (x, y ) σ y = xy x y σ y ( - ρ ) Grundbegriffe der Statistik (7)

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