Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre

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1 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 (SS 2008) Inhaltlicher Bezug: KE 4, 5 und 6 Aufgabe 1 30 Punkte Ein Investor hat die Möglichkeit, ein Investitionsprojekt a 1 durchzuführen, das bei einer Anfangsauszahlung von exakt ,30 GE in den folgenden 8 Jahren jeweils am Jahresende zu einem Einzahlungsüberschuss von GE führt. a) Ermitteln Sie den Kapitalwert des Projekts a 1 für die vier folgenden Zinssätze, die jeweils für die gesamte Laufzeit von 8 Jahren gelten sollen! (8 P.) r = 0 r = 0,05 r = 0,10 r = 0,15 Zinssatz r = 0 r = 0,05 r = 0,10 r = 0,15 Kapitalwert , , , ,39 b) (1) Bestimmen Sie den internen Zinsfuß des Investitionsprojektes! (6 P.) Gesucht ist derjenige Zinssatz, auf dessen Basis der Kapitalwert des Projektes gerade gleich null wird. Es ist folgender Ansatz zu lösen: , RBF(8 J., r) = 0. Nach Umformung ergibt sich: ,30 RBF(8J.,r) = = 4, Aus Tabelle III (vgl. Anhang zur Kurseinheit 3) ergibt sich, dass der Rentenbarwertfaktor bei einer Rentenlaufzeit von 8 Jahren und einem konstanten Zinssatz in Höhe von 12% gerade exakt dem Wert 4,9676 entspricht. Der Kapitalwert ist folglich gleich Null für r = 0,12. Der interne Zinsfuß beträgt folglich 12%.

2 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS (2) Unterstellen Sie jetzt, dass für die ersten 4 Jahre ein Zinssatz von 14% gegeben ist. Bei welchem Zinssatz für die sich dann anschließenden 4 Jahre ergibt sich gerade ein Kapitalwert von Null? (10 P.) Es ist der folgende Ansatz zu lösen: , RBF (4 J.;14%) RBF (4 J.; r) 1,14-4 = 0. Nach Auflösung ergibt sich: RBF(4 J.; r) = 3,4690. Aus Tabelle III (vgl. Anhang zur Kurseinheit 3) ergibt sich, dass der Rentenbarwertfaktor bei einer Rentenlaufzeit von 4 Jahren und einem konstanten Zinssatz von 6% den Wert 3,4651 und bei einem Zinssatz von 5% den Wert 3,5460 aufweist. Der gesuchte Zinssatz liegt also knapp unterhalb von 6%. Hinweis: Der exakte Wert lässt sich über das in KE 4 beschriebene Näherungsverfahren ermitteln. Der Kapitalwert ist gleich Null, wenn in den Jahren 5, 6, 7 und 8 ein Zinssatz von r = 0,0595 gilt. c) Gegeben sei nun zusätzlich ein weiteres Investitionsprojekt a 2, das grafisch durch die folgende Kapitalwertfunktion, die exakt zwei Nullstellen aufweist, verdeutlicht wird: (6 P.) K 412,85 0,01 0,03 0,05 0,09 0,10 0,11 r K 2 (r) Geben Sie die Zinsintervalle an, in denen eine Durchführung dieses Investitionsprojektes im Vergleich mit der Unterlassensalternative sinnvoll ist! Zinsintervall 0 r 0,03 0,03 < r < 0,10 0,10 r Alternative Unterlassensalternative a 2 Unterlassensalternative

3 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS Aufgabe 2 20 Punkte Frau REICH will 1 Mio. Goldtaler (GT) für genau 3 Jahre möglichst ertragreich anlegen und zieht nur noch die folgenden beiden Wertpapiere in Betracht: A (Coupon-Titel): Aktueller Kurs 125 GT pro Stück; rückzahlbar in genau 3 Jahren zu 100 GT pro Stück; laufende Zinszahlungen von 20 GT pro Stück in genau 1, 2 und 3 Jahren. B (Zero-Bond): Aktueller Kurs GT pro Stück; rückzahlbar in genau 3 Jahren zu ,24 GT pro Stück. Zwischenzeitlich frei werdende Beträge plant Frau REICH jeweils als einjähriges Festgeld anzulegen. Sämtliche Zinserträge, Kursgewinne etc. sind steuerfrei. a) Ermitteln Sie den kritischen Wert des Zinssatzes für einjährige Festgelder, bei dem beide Anlageformen gerade zu dem gleichen Endvermögen führen! Unterstellen Sie dabei vereinfachend, dass in t = 1 und t = 2 der gleiche Festgeldzins gilt! (10 P.) Bei einem Kaufpreis für das Wertpapier A von 125 GT kann Frau REICH bei einem Anlagebetrag von 1 Mio. GT genau Stück des Wertpapiers kaufen. Für Stück von Wertpapier A erhält sie am Jahresende insgesamt GT = GT Zinsen ausgezahlt. Bezeichnet r den Festgeldzins für ein Jahr und definieren wir q : = (1 + r), so gilt für das beim Erwerb von Wertpapier A erzielbare Endvermögen EV A (in GT): EV A = q q Für den kritischen Festgeldzins muss gelten: EV A = EV B = , woraus folgt: q q = Diese quadratische Gleichung kann z.b. wie folgt gelöst werden: q 2 + q = 2,2464 q 2 + q + 0,25 = 2,4964 (q + 0,5) 2 = 2,4964 (q + 0,5) = 1,58 q* = 1,08. Sobald der Festgeldzins in den kommenden beiden Jahren unter 8% sinkt, stellt der Zero-Bond also im Endeffekt die günstigere Anlageform dar!

4 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS b) Angenommen, bei einem einheitlichen Wiederanlagezins von x % p.a. würden beide Wertpapiere zum gleichen Endvermögen führen. Für welches Wertpapier sollte sich Frau REICH entscheiden, wenn sie mit Sicherheit davon ausgehen könnte, dass für jeweils einjährige Festgeldanlagen in t = 1 ein Zinssatz von (x+1) % und in t = 2 ein Zinssatz von (x-1) % geboten wird? (10 P.) Begründen Sie kurz Ihre Antwort! Frau REICH sollte sich auf jeden Fall für den Zero-Bond entscheiden, da gilt: 2 (1+ x) + (1+ x) > (1+ x+ 0,01) (1+ x 0,01) + (1+ X 0,01) Term ist offensichtlich größer als Term Term ist ebenfalls größer als Term (a 2 > (a b) (a + b) für a, b > 0). Unter den gegebenen Voraussetzungen führt der Zero-Bond zwingend zu einem höheren Endvermögen als der Coupon-Titel.

5 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS Aufgabe 3 50 Punkte Gehen Sie nachfolgend von den in der Tabelle dargestellten Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Renditen der Wertpapiere A, B und C aus: S 1 S 2 S 3 S 4 p 1 = 0,25 p 2 = 0,25 p 3 = 0,25 p 4 = 0,25 Rendite A Rendite B Rendite C a) Bestimmen Sie für jedes der drei Wertpapiere sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Renditen! (12 P.) μ A = 0, 25 ( 40) + 0, , 25 ( 20) + 0, = + 8 μ B = + 7 μ C = + 6 σ A = ( 40 8) 0,25 + (50 8) 0,25 + ( 20 8) 0,25 + (42 8) 0,25 = 38,76 σ B = 9,72 σ C = 3 Hinweis: Der σ-wert von Wertpapier C hätte auch ohne konkrete Rechnung leicht aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung abgeleitet werden können. Jedes konkrete Ergebnis e ij weicht bei der symmetrischen Verteilung C vom Mittelwert der Verteilung um den oben angegebenen σ-wert ab.

6 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS b) Angenommen, ein Anleger wählt immer die Alternative mit dem höchsten Präferenzwert und geht von folgender Präferenzfunktion aus: ϕ (a i) =Φ( μi, σ i) = μi 0,012 σ 2 i. (10 P.) (1) Für welche Alternative wird er sich entscheiden, wenn er sein gesamtes zur Verfügung stehendes Geld nur in eines der drei Wertpapiere investieren kann? ϕ A = 8 0, = 10, 024 ϕ = 7 0, , 5 = + 5,866 B ϕ C = 6 0,012 9 = + 5,892. Der Anleger wählt in diesem Fall Wertpapier C, da dieses zu dem maximal erreichbaren Präferenzwert führt. (2) Welche sichere Rendite müsste ein Wertpapier mindestens aufweisen, damit es von dem betrachteten Anleger gegenüber dem besten (präferenzwertmaximalen) der drei Wertpapiere vorgezogen wird? Eine sichere Anlage weist definitionsgemäß eine Varianz von Null auf. Es muss also gelten: 5,892 < μ 0, 012 0, woraus folgt: μ > 5,892. Die sichere Anlage müsste folglich mindestens eine Rendite von (gerundet) 5,9% aufweisen. c) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten ρ AB! (5 P.) cov AB = ( 48) 13 0, ( 14) 0,25 + ( 28) ( 2) 0, , 25 = 263,5 covab 263,5 ρ AB = = = 0, σ σ 38,76 9,72 A B

7 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS d) Betrachtet wird erneut der Anleger aus Aufgabenteil b). Angenommen, diesem Anleger stünden jetzt alternativ folgende Anlagen zur Verfügung: (15 P.) 1. Anlage des Gesamtbetrages in nur eines der Wertpapiere A oder B; 2. Anlage des Gesamtbetrages in beliebiger (präferenzwertmaximaler) Aufteilung auf die Wertpapiere A und B; 3. Sichere Anlage des Gesamtbetrages zu 6%. Wie sollte unser Anleger jetzt seine Anlageentscheidung treffen? Der Anleger wird auf jeden Fall darauf verzichten, seinen gesamten Anlagebetrag nur in eine der beiden Anlagen A oder B zu investieren, da er gemäß Aufgabenteil b) bei einer sicheren Anlage zu 6% einen höheren Präferenzwert erzielen kann. Fraglich ist jedoch, ob er durch Aufteilung des Gesamtbetrages auf die Wertpapiere A und B einen höheren Präferenzwert als 6 erzielen kann. Gesucht ist daher zunächst diejenige Aufteilung des Gesamtbetrages auf die Wertpapiere A und B, bei der der Anleger den maximalen Präferenzwert erzielt. Ist der bei dieser Aufteilung erzielbare Präferenzwert größer (kleiner) als 6, so wird der Anleger den Gesamtbetrag in das ermittelte präferenzwertmaximale Portefeuille aus den Wertpapieren A und B (in die sichere Anlage) investieren. 1. Schritt: Zunächst sind in der Präferenzfunktion ϕ (a i) = Φ( μi, σ i) =μi 0, 012 σ 2 i der Parameter μ durch xa μ A + ( 1 xa) μb (dies ist der Erwartungswert des Portefeuilles aus den Wertpapieren A und B) und der Parameter σ 2 durch die Varianz des Portefeuilles aus den Wertpapieren A und B, also durch ( x 2 2 ( ) 2 A A 1 xa 2 B 2x A (1 x A) covab) σ + σ + zu ersetzen. Nach Einsetzen der bereits ermittelten Parameterwerte ergibt sich mit Φ= 9, 592 x 2 A 25, 482 x A + 5,866 die Präferenzfunktion des Anlegers, die nur noch von der Höhe des in Wertpapier A angelegten Teils des Vermögens des Anlegers abhängt. 2. Schritt: Anschließend ist die erste Ableitung der im Schritt 1 ermittelten Präferenzfunktion zu bilden und deren Nullstelle zu bestimmen. Es ergibt sich: δφ = 9, , 964 xa = 0 und damit für x δ x A ein Wert von (gerundet) 0,188. Den bei Aufteilung seines Anlagebetrages auf die Wertpapiere A und B erreichbaren maximalen Präfe- A renzwert erzielt der Anleger folglich dann, wenn 18,8% des Anlagebetrages in Wertpapier A und 81,2% des Anlagebetrages in Wertpapier B investiert werden.

8 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, SS Schritt: Zur Ermittlung des bei präferenzwertmaximaler Aufteilung des Anlagebetrages erzielbaren Präferenzwertes ist der im Schritt 2 ermittelte optimale Portefeuilleanteil des Wertpapiers A in die im Schritt 1 bestimmte Präferenzfunktion einzusetzen. Es ergibt sich dann: ( ) ϕ xa = 0,188; xb = 0,812 = 6, 77. Ergebnis: Im betrachteten Fall sollte der Anleger auf die sichere Anlage verzichten und 18,8% seines Anlagebetrages in Wertpapier A und 81,2% in Wertpapier B investieren. Er erzielt dann im betrachteten Fall den maximal erreichbaren Präferenzwert von 6,77. e) Angenommen, unser Anleger realisiert das in Aufgabenteil d) ermittelte präferenzwertmaximale Portefeuille. Welche Rückflüsse erzielt er dann bei einem Anlagebetrag von Euro in Abhängigkeit vom eintretenden Umweltzustand? Wie hoch ist der Erwartungswert seiner Anlagerendite? Falls Sie in Aufgabenteil d) zu keiner Lösung gekommen sind, gehen Sie in dieser Teilaufgabe von folgenden Portefeuilleanteilen aus: xa = 0, 2; xb = 0,8. (8 P.) Der Anleger erzielt folgende Rückflüsse (in Euro): Situation 1: 0, , 6 + 0, , 2 = Situation 2: 0, , 5 + 0, , 93 = Situation 3: 0, , 8 + 0, , 05 = Situation 4: 0, , , ,1 = Für den Erwartungswert der Anlagerendite gilt: E(r) = ( ) : 4 1 = 0, Der Anleger erzielt folglich eine erwartete Anlagerendite in Höhe von (gerundet) 7,19 %. Alternativ hätte die erwartete Anlagerendite des Optimalportefeuilles auch durch Einsetzen der optimalen Portefeuilleanteile und der Erwartungswerte der Wertpapierrenditen von A und B in die Gleichung μ= xa μ A + ( 1 xa ) μ B = xa 8 + (1 x A) 7 = xa +7 ermittelt werden können. (Für x A = 0,2 und x B = 0,8 ergibt sich mit Rückflüssen in den Situationen 1 bis 4 von , , bzw eine erwartete Anlagerendite von 7,20 %.)