Messunsicherheiten. Messung physikalischer Größen

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1 Messunsicherheiten Messung physikalischer Größen Angabe physikalischer Größen Physikalische Größen werden quantitativ als Vielfache bestimmter Einheiten erfasst. Eine gemessene Länge wird beispielsweise mit l = 2,4 cm angegeben. SIe beträgt also das 2,4-fache der Einheit Zentimeter (cm). Zahlwert und Einheit werden als Produkt aufgefasst, sodass prinzipiell auch die folgende Schreibweise richtig ist: l/cm = 2,4. Die Maßeinheiten definieren die Größenordnung des Messwertes einer physikalischen Größe. Sie besitzen einen festgelegten (wohldefinierten) Wert, der in der Regel über ein Naturphänomen definiert wird. Es gilt somit: Die Angabe eines Messergebnisses ohne gleichzeitige Angabe der Einheit ist wertlos! Schließlich macht es einen erheblichen Unterschied, ob die Angabe l = 2,4 mit der Einheit Meter (m), Astronomische Einheit (au) oder Hühnereier versehen wird. Im Praktikum wird das in der modernen Physik gängige Internationale Einheitensystem (SI) verwendet. Angabe von Messergebnissen Alle Messungen einer physikalischen Größe x liefern einen Messwert dieser Größe. Jede dieser Messungen ist mit einer Unsicherheiten u x behaftet. Die Messunsicherheit gibt das Intervall an, in dem sich der wahre Wert der Größe x befinden kann (Vertrauensintervall). Deshalb gilt: Die Angabe eines Messergebnisses ohne gleichzeitige Angabe der Messunsicherheit ist wertlos! Die angegebene Messunsicherheit sollte erkennen lassen, dass die Ergebnisgenauigkeit durch sie begrenzt ist. 1

2 Im Grundpraktikum wird die Messunsicherheit zuerst auf eine zählende Stelle ( 0) aufgerundet. Ausgenommen sind hiervon Messunsicherheiten, deren erste zählende Stelle gleich 1 ist. In diesem Fall wird auf zwei zählende Stellen aufgerundet (z.b. 0,13). Anschließend wird die Messgröße auf die gleiche Stellenzahl auf- oder abgerundet. Beispiel 1: Es wäre absurd, bei der Messung einer Länge das Ergebnis mit x=(12,345678±0,33) mm anzugeben. Wenn die Rechnung eine Messunsicherheit von u x =0,33mm liefert, dann sollte dieses Ergebnis auf eine signifikante Stelle, u x = 0,4 mm, gerundet werden. Bei einer Abweichung von 0,4 mm macht es außerdem keinen Sinn, den Messwert mit x=12, mm anzugeben. Deshalb müssen wir das Messergebnis umschreiben als x=12,3 mm. Die korrekte Angabe lautet somit x= (12,3±0,4) mm. Es bleibt nun noch die Frage, wie man sinnvoll diese Messunsicherheit bestimmt. Messunsicherheiten Die Messunsicherheiten können aus unterschiedlichen Gründen entstehen. Man unterscheidet allgemein zwischen groben, zufälligen und systematischen Fehlern. Grobe Fehler treten z.b. bei der Durchführung einer Messung oder bei ungeeigneten Versuchsaufbauten auf. Sie gelten als vermeidbar und werden daher nicht weiter behandelt. Zufällige oder statistische Messunsicherheiten erhält man, wenn eine Messgröße tatsächlich schwankt (z.b. könnte ein auszumessender Zylinder an verschiedenen Stellen unterschiedliche Durchmesser haben). Diese Schwankungen führen zu einer dem Zufall unterworfenen Streuung der Messergebnisse. Zufällige/statistische Messunsicherheiten lassen sich aber zuverlässig schätzen, wenn wir eine Messung mehrere Male wiederholen können. In diesem Fall lassen sie sich durch eine statistische Analyse abschätzen. Durch eine höhere Anzahl von Messungen lässt sich die Unsicherheit des Mittelwertes reduzieren. Systematische Fehler entstehen entweder aus einem falschen Messverfahren (z.b. hat man den Nullpunkt einer Waage nicht tariert oder man liest eine analoge Skala immer schräg ab (Parallaxe)), durch äußere Einflüsse, die unsere Ergebnisse verfälschen (z.b. ändert sich die Temperatur im Labor während der Messungen und beeinflusst unsere Messgröße oder 2

3 man hat Reibungseffekte, die in der theoretischen Betrachtung vernachlässigt wurden) oder aus der Kalibrierung eines Messinstruments. Systematische Messunsicherheiten verschieben unsere Messergebnisse immer in eine Richtung. Verwenden wir beispielsweise eine Stoppuhr, die immer nachgeht (bzw. vorgeht), dann werden alle unsere Zeitmessungen zu groß (lang) oder zu klein (kurz) sein. Selbst wenn wir die Messung mit derselben Uhr sehr oft wiederholen würden, werden wir diese Art der Messunsicherheit nicht reduzieren können. Umgang mit systematischen Fehlern Der Umgang mit systematischen Unsicherheiten gestaltet sich komplex. Man sollte versuchen, systematische Fehler zu identifizieren. Oft werden diese erkannt, wenn Messergebnisse immer einseitig vom wahren Wert abweichen. Wenn man einen systematischen Fehler identifiziert hat, muss man versuchen, ihn durch Veränderung des Messverfahren zu reduzieren. Wenn systematische Fehler quantitativ erfassbar sind, muss man die Messwerte auch mit einem entsprechenden Korrekturfaktor korrigieren. Es wird aber immer ein nicht korrigierbarer Teil des systematischen Fehlers (Restfehler) bleiben. Dieser ist durch die Bauform, den Herstellungsprozess, das (physikalische) Messprinzip und die Kalibration der Messgeräte bestimmt und wird auch Genauigkeit genannt. Er ist in der Gebrauchsanweisung eines Instruments zu finden. Wenn die Genauigkeit eines Instruments nicht spezifiziert ist, werden wir im Praktikum die festgelegten Garantiefehlergrenzen im Rahmen der DIN-Vorschriften für übliche Messgeräte benutzen. Ihr findet Sie in einer Tabelle im Anhang. Beispiel 2: Die Geräteklasse eines elektrischen Messinstrumentes mit Analoganzeige (Zeigerinstrument) sei 1,5. Der systematische Restfehler beträgt somit maximal 1,5% des Endwertes der zur Messung verwendeten Skala des Messgerätes (Messbereichsendwert). Deshalb muss im Messprotokoll grundsätzlich der Messbereichsendwert der benutzten Skala notiert werden, wenn man mit analog anzeigenden, elektrischen Messgeräten arbeitet. Beträgt die angezeigte Spannung bspw. U = 13,6 V und ist der gewählte Messbereich 0-20 V, so sind 1,5% des Messbereichsendwertes (20 V) 0,3 V, also us = 0,3 V. Vorsicht: Ein einzelnes Messgerät kann unterschiedliche Geräteklassen haben (z.b. für Gleich- und Wechselstrombereiche). 3

4 Beispiel 3: Die Genauigkeit eines elektrischen Messgerätes mit Digitalanzeige (Zifferninstrument) sei für den gewählten Messbereich mit ± (2,0% + 1digit) angegeben. Angezeigte Spannung: U = 13,58 V. 2% davon sind 0,2716 V. 1 digit (letzte Stelle) ist hier 0,01 V. Die Summe dieser beiden Anteile der systematischen Messunsicherheit (Restfehler) ist 0,2816 V und wird nach der Rundungsregel (s.o.) auf eine zählende Stelle aufgerundet: us= 0,3 V. Die Genauigkeit gibt bei Digitalgeräten gleich die maximale Messunsicherheit an. Im Beispiel beträgt die systematische Messunsicherheit höchstens 2% des angezeigten Messwertes erhöht um die letzte Digitalstelle. Vorsicht: Auch ein Digitalgerät hat meist unterschiedliche Genauigkeiten in den einzelnen Messbereichen (siehe Gebrauchsanweisung). Umgang mit zufälligen Messunsicherheiten Da die Messergebnisse x i zufällig um den wahren Wert x w streuen (s.o.), ist es wichtig, eine Messgröße mehrmals zu bestimmen und mit Hilfe der Abweichungen der Einzelmessungen vom Mittelwert das Ergebnis möglichst exakt anzugeben. Bei der Beurteilung der Einzelmessungen hat man es am einfachsten, wenn der wahre Wert der Messgröße bekannt ist. In diesem Fall kann man die tatsächliche Abweichung jeder einzelnen Messung von diesem Wert angeben: v w,i = x i x w (1) Normalerweise kennt man aber den wahren Wert nicht. Dann kann man den Mittelwert der Einzelmessungen berechnen und die scheinbare Abweichung der Einzelmessungen angeben: v i = x i x (2) Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) wird dabei folgendermaßen berechnet: Ni=1 x i x = (3) N Der Mittelwert sagt jedoch nichts über die Schwankungen der Messgröße aus. 4

5 Die Standardabweichung oder Streuung berücksichtigt die mittlere quadratische Abweichung der Einzelmessungen vom Mittelwert. Sie ist so definiert: σ x = 1 N 1 N i=1 (x i x) 2 (4) Durch statistische Messunsicherheiten entstehen Messwerte, die um den wahren Wert der Größe (angegeben durch den Mittelwert) willkürlich gestreut sind. Größere Abweichungen sind dabei unwahrscheinlicher als kleine. So ganz zufällig geschieht das aber nicht, denn die Messwerte verteilen sich nach einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsfunktion, der sogenannten Gauß- oder Normalverteilung, die aussieht wie eine Glockenkurve. bei bezeichnet w(x) die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit der der Messwert auftritt. Für diese gilt: w(x)dx = 1 (5) Der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht dem Mittelwert: x = x w(x)dx (6) Die (mittlere) Streuung (anstelle der Standardabweichung bei diskreten Zufallsgrößen) ist gegeben durch: σ 2 = (x x) 2 w(x)dx (7) 5

6 Bei normalverteilten Größen (das sind die meisten) nimmt die Größe x i bei einer Einzelmessung mit der Wahrscheinlichkeit w(x)dx einen Wert aus dem Intervall (x, x + dx) an. Dabei ist w(x) = 1 σ 2π e (x x) 2 2σ 2 (8) die Gauß-Glocke. Die Fläche unter der Gaußglocke zwischen x ± ist 1 durch den Faktor σ gleich 1, wie es die Nebenbedingung verlangt. Das 2π bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für x i, irgendeinen Wert anzunehmen, 1 (also sicher) ist. Häufig will man genau wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein gemessener Wert im Intervall ±d um den wahren Wert (hier vertreten durch den Mittelwert) anzutreffen ist. Diese Wahrscheinlichkeit (statistische Sicherheit P für die Vertrauensgrenze d genannt) ist dann gleich der Fläche unter der Funktion im angegebenen Intervall ( x δ, x + δ). statistische Sicherheit P Standardintervall Anwendungen 68,3% x ± σ x Physik, GP, Vermessungtechnik 95,0% x ± 1, 96 σ x Industrie 95,4% x ± 2 σ x Medizin 99,7% x ± 3 σ x Biologie Ein Messergebnis, das nur mit zufälligen Messunsicherheiten behaftet ist, wird im Physikalischen Grundpraktikum mit einer statistischen Sicherheit von P = 68,3% angegeben: x ± σ x (9) Berechnung der Vertrauensabweichung des Mittelwertes (Vertrauensintervall) Der berechnete Mittelwert einer normalverteilten Messgröße ist selten identisch mit dem wahren Wert. Man wird sogar feststellen, dass der Mittelwert einzelner Stichproben aus der Gesamtheit der Messungen variiert. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, auch für den Mittelwert ein Vertrauensintervall 6

7 anzugeben, in dem der wahre Wert mit einer gewissen statistischen Sicherheit P zu erwarten ist. Man definiert hierfür die Standardabweichung des Mittelwertes wie folgt: σ x = σ x (10) N Da jedoch die Abweichung der stichprobenabhängigen Mittelwerte vom wahren Wert nicht der Normalverteilung sondern der sogenannten Studentschen t- Verteilung genügt, muss die Standardabweichung um den Studentfaktor t korrigiert werden. Man definiert folglich die Vertrauensabweichung durch: ε x = t σ x (11) N Da die t-verteilung bei einer großen Anzahl von Messungen in die Normalverteilung übergeht, ist der Studentfaktor abhängig von der Anzahl der Messungen. Für P = 68,3% kann der Wert von t der folgenden Tabelle entnommen werden: N t 3 1,32 5 1,15 6 1, , ,00 n 1 Angabe der Messunsicherheit von Messergebnissen einer direkt gemessenen Größe Die gesamte Messunsicherheit einer Größe ist die Summe des systematischen und des zufälligen Anteils der Messunsicherheit: u x = u S,x + u Z,x (12) wobei u Z,x die Standardabweichung oder die Vertrauensabweichung ist. Beachte: Da die zufälligen und systematischen Messunsicherheiten unabhängig voneinander sind (man sagt: sie sind nicht korreliert ), gibt es grundsätzlich eine teilweise gegenseitige Kompensation der Messunsicherheiten und man könnte sie quadratisch addieren. Allerdings ist es aufgrund der meist 7

8 geringen Zahl von Messungen im Praktikum besser, die Summe (ux= us,x + uz,x) zu verwenden. Beispiel 4: Der systematische Restfehler einer Spannungsmessung U betrage us= 0,3 V. Wir nehmen an, dass die Vertrauensabweichung zu uz = 0,1 V berechnet wurde. Dieser Wert ist die zufällige (statistische) Unsicherheit. Damit erhält man für die gesamte Messunsicherheit der Spannung u U = us + uz = 0,4 V und das Gesamtergebnis wäre anzugeben mit U = (13,6 ± 0,4) V. Beispiel 5: Bei einer Stoppuhr ist der systematische Restfehler oft sehr klein im Vergleich mit der vom Experimentator abhängigen Reaktionszeit (zufällige Messunsicherheit), etwa us= 0,001 s und uz= 0,1 s. Die gesamte Messunscherheit wäre u t = 0,101 s. Auf 0,2 s zu runden, wäre nicht sinnvoll. In solchen Fällen streicht man die sehr kleine Unsicherheit einfach u t = 0,1 s. Fortpflanzung von Messunsicherheiten Im Praktikum werden häufig indirekte Messungen durchgeführt, d.h. dass man zwei oder mehr Größen bestimmt, um daraus eine weitere zu berechnen. Im Folgenden wird erläutert, wie die Messunsicherheit der errechneten Größe ermittelt wird. Das Lineare Fehlerfortpflanzungsgesetz Wenn die zu berechnende Größe y von k verschiedenen Größen x i (i läuft von 1 bis k) abhängig ist, wird die absolute Messunsicherheit uy folgendermaßen berechnet: u y(x1,x 2,...) = k i=1 y u i x = y u 1 i x + y u 2 1 x +... (13) 2 Die benötigten partiellen Ableitungen der Formel für y müssen also bestimmt, mit den entsprechenden Messunsicherheiten multipliziert und dann die Beträge aufsummiert werden. Einfacher hat man es, wenn die Formel für y einen Sonderfall erfüllt: y = x a 1 x b 2 (14) 8

9 Hier folgt aus Gleichung (13) für die relative Messunsicherheit von y die einfache Formel u y = a u x1 + b u x (15) y x 1 x 2 Will man den Absolutbetrag der Messunsicherheit, muß man also nur noch mit y mulltiplizieren. Das (Quadratische) Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß Es kommt äußerst selten vor, dass alle in der Rechnung vorkommenden Größen nur mit statistischen Messunsicherheiten belastet sind. Man erhält dann eine mildere Schätzung der zu berechnenden Unsicherheit, wenn das Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauß angewendet wird: u y = Auch hier gibt es den Sonderfall: k i=1 Mit der quadratischen Formel gilt dafür: ( y )2 u xi x i (16) y = x a 1 x b 2 (17) u y y = ( k i=1 a u x i x ) 2 (18) Grundgedanke dieser pythagoräischen (quadratischen) Addition nach Gauß ist die Unabhängigkeit der Fehlerquellen f der einzelnen Größen x i, sodass grundsätzlich eine teilweise gegenseitige Kompensation möglich ist. Beispiel 6: Zur Bestimmung eines elektrischen Widerstandes wurden Stromstärke und Spannung gemessen. Für beide Messgrößen wurden die Messunsicherheiten (als Summe von systematischem und zufälligem Anteil) ermittelt: U = (3,4 ± 0,1) V und I=(42± 2) ma. Zunächst berechnet man den Widerstand nach R = U / I zu R = 80,95 W. Die Messunsicherheit wird mit u R = (u U /U + u I /I) R berechnet und ergibt sich zu u R = 6,2 W 7 W. Mit der Rundungsregel folgt: R = (81 ± 7) W. 9

10 Gleichermaßen kann die Messunsicherheit durch partielle Differentiation nach den Größen U und I bestimmt werden: R U = 1 I R I = U I 2 Die Berechnung liefert dann also: u R = 1 I u U + U I 2 u I = 6, 2 Ω 7 Ω und damit wieder: R = (81 ± 7) W Beispiel 7: Aus Höhe und Durchmesser des Zylinders soll sein Volumen berechnet werden. Durchmesser und Höhe sind mit Messunsicherheiten behaftet. Wie ermittelt man die Messunsicherheit des Volumens? V = π 4 d2 h Bilden der partiellen Ableitungen: V h = π 4 d2 V d = π 2 d h und Berechnung von u V : u V = V h u h + V d u d 10

11 Anhang Tabelle Systematischer Restfehler (aus dem Skript der Universität Bremen Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen zum Herunterladen unter 11

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