Anleitung zum Physikpraktikum für Oberstufenlehrpersonen Einführungsversuch (EV) Herbstsemester Physik-Institut der Universität Zürich

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1 Anleitung zum Physikpraktikum für Oberstufenlehrpersonen Einführungsversuch (EV) Herbstsemester 2017 Physik-Institut der Universität Zürich

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführungsversuch (EV) Einleitung Ziel des Versuches Theoretische Grundlagen Durchführung und Auswertung Messprotokoll Bestimmung von g Amplitudenabhängigkeit Längenabhängigkeit von T Anhang - Das mathematische Pendel 16

3 1 Einführungsversuch (EV) Vorlesungsabschnitt 2, Mechanik 254 Anwendungen der Newton schen Prinzipien 2542 Integration von Bewegungsgleichungen Kraft proportional zur Ortsveränderung 11 Einleitung Für unser einführendes Experiment wählen wir die elementare Bestimmung der Erdbeschleunigung g mit Hilfe eines mathematischen Pendels 111 Ziel des Versuches An einem einfachen Experiment soll die Durchführung, das Protokollieren und das Auswerten eines Versuches demonstriert und geübt werden Dazu gehört auch eine Diskussion verschiedener Messmethoden und der damit verknüpften Fehler Es geht dabei um: Genauigkeit von Messgeräten, Ablesegenauigkeit Protokollieren und Auswerten von Messresultaten Systematische und zufällige Fehler Histogramm zu den Resultaten einer Messung Mittelwert und Fehler einer Messung 12 Theoretische Grundlagen l F Fa ϕ tangential m Ruhe G normal Abbildung 11: Mathematisches Pendel Die Masse m hängt an einem Faden, dessen Länge l wesentlich grösser ist als der Durchmesser von m Wir nehmen an, die Schwingungsbewegung verlaufe reibungsfrei Für eine punktförmige Masse ist bei kleinen Schwingungsamplituden die Schwingungsdauer T unabhängig von der Masse und der Amplitude; sie hängt nur noch von der Pendellänge und der Erdbeschleunigung ab (vergl Anhang 15): l T = 2π g oder g = 4π2 l T 2 (11) Gleichung (11) zeigt, dass man die Bestimmung von g auf die Messung der Länge und der Schwingungsdauer eines Pendels zurückführen kann 11

4 Uns sollen die Zeit- und Längenmessungen zur Diskussion von statistischen und geschätzten Fehlern dienen Bei der Berechnung des Fehlers von g werden wir uns mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz vertraut machen Alle Messwerte und Resultate sollen schliesslich übersichtlich zusammengestellt werden 13 Durchführung und Auswertung 1 Aufgabenstellung: Bestimmung der Erdbeschleunigung g aus Länge und Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels, Diskussion verschiedener Zeitmessmethoden, Diskussion der Fehlerfortpflanzung und Bestimmung des Fehlers von g 2 Messungen Alle Messwerte sollen in die Tabellen 11 bis 14 des Musterprotokolls eingetragen werden (a) Pendellänge: Die Pendellänge wird mit dem Massstab gemessen und der Fehler geschätzt (b) Zeitmessung: (vergl auch Abschnitt über Fehlerrechnung und Statistik) Für konstante Pendellänge und kleine Amplituden (φ = 5 10 ; im Bogenmass φ = ) wollen wir folgende Zeitmessungen diskutieren: 3 Auswertung i Mit einer gewöhnlichen Stoppuhr wird die Zeit für eine Schwingung mehrmals gemessen und der Mittelwert von T berechnet ii Mit einer elektronischen Uhr wird die Zeit für eine Schwingung mehrmals gemessen und der Mittelwert berechnet iii Mit einer gewöhnlichen Stoppuhr wird mehrmals die Zeit für fünf Schwingungen gemessen und daraus T und T berechnet iv Mit einer elektronischen Uhr wird mehrmals die Zeit für fünf Schwingungen gemessen und daraus T und T berechnet Führen Sie die genannten Zeitmessungen durch und diskutieren Sie sie unter folgenden Gesichtspunkten: Bei welcher Methode ist es sinnvoll, den statistischen Fehler von T zu berechnen? Bei welcher Methode ist es sinnvoll, den Fehler zu schätzen? Begründen Sie die Antworten Es ist üblich, eine Schwingungsdauer nach Methode iii oder iv zu messen Warum sind die Methoden iii und iv den Methoden i und ii vorzuziehen? Zeichnen Sie die Messwerte von ii und iv in einem Histogramm auf Aus dem Mittelwert von T und der Pendellänge l lässt sich nach Gleichung (11) g berechnen Für den Mittelwert g gilt dann: g = 4π2 l T 2 (12) 12

5 Freiwillige Aufgabe: 4 Zusatzaufgaben (Falls die Zeit reicht) Berechnen Sie den Fehler von g aus den relativen Fehlern von T und l Verwenden Sie die entsprechenden Gleichungen aus dem Abschnitt über Fehlerrechnung und Statistik (siehe unter Praktisches Rechnen mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ) (a) Amplitudenabhängigkeit der Schwingungsdauer: Überlegen Sie, welche Uhr Sie verwenden sollten, um die kleinen Unterschiede der Schwingungsdauer bei verschiedenen Amplituden zu messen Messen Sie nun die Schwingungsdauer bei drei verschiedenen Amplituden (Auslenkungen aus der Ruhelage) (b) Überprüfen von T l: Es stehen vier Pendel verschiedener Längen l zur Verfügung Messen Sie die Schwingungsdauer dieser Pendel Stellen Sie T als Funktion von l graphisch dar Auf was für einer Kurve sollten die Messpunkte liegen? 13

6 14 Messprotokoll 141 Bestimmung von g Pendellänge: l = Zeitmessung: Stoppuhr T (s) el Uhr T (s) T = m T Tabelle 11: Zeitmessung für eine Schwingung Stoppuhr 5T (s) Stoppuhr T (s) el Uhr 5T (s) el Uhr T (s) T = m T Tabelle 12: Zeitmessung für fünf Schwingungen 14

7 142 Amplitudenabhängigkeit Amplitude 5T (s) T (s) 143 Überprüfen von T l Tabelle 13: Amplitudenabhängigkeit von T Länge l (m) 5T (s) T (s) Tabelle 14: Überprüfen von T l 15

8 15 Anhang - Das mathematische Pendel l m Ruhe ϕ G t F Fa tangential Gn normal Abbildung 12: Mathematisches Pendel Die Masse m hängt an einem Faden, dessen Länge l wesentlich grösser ist als der Durchmesser von m Die Masse kann deshalb als Massepunkt betrachtet werden Ausserdem nehmen wir an, die Bewegung verlaufe reibungsfrei Als Koordinate wählen wir den Auslenkungswinkel φ(t) Die Bewegungsgleichung m a = F F a + G wird in eine Normal- und eine Tangentialkomponente zerlegt: tangential : ml d2 φ dt 2 = mg sin φ (13) normal : ml[ dφ dt ]2 = F F a mg cos φ Die beiden Gleichungen enthalten die unbekannte Fadenkraft F F a (t) und den zu bestimmenden Auslenkwinkel φ(t) Letzteren erhält man aus der Gleichung (13) Die Gleichung lässt sich aber in dieser Form nicht elementar lösen Wir betrachten deshalb nur kleine Winkel (φ << π/2) Dann gilt näherungsweise sin φ φ: ml d2 φ dt 2 = mgφ oder d 2 φ dt 2 + g l φ = 0 (14) Aus Erfahrung wissen wir, dass die Pendelbewegung periodisch ist; wir machen deshalb folgenden Lösungsansatz: φ(t) = φ 0 cos(ωt + δ) φ 0 = Amplitude ω = 2πν = 2π/T = Kreisfrequenz δ = Phasenkonstante (15) φ 0 und δ hängen von den Anfangsbedingungen ab, ω muss so bestimmt werden, dass der Lösungsansatz Gleichung (14) erfüllt Der Lösungansatz (15) wird zweimal differenziert: Einsetzen in Gleichung (14): d 2 φ dt 2 = φ 0ω 2 cos(ωt + δ) (16) φ 0 ω 2 cos(ωt + δ) + g l φ 0 cos(ωt + δ) = 0 ω = g l = 2π T (17) T ist die Schwingungsdauer des Pendels, die für kleine Schwingungsamplituden also unabhängig von der Masse und der Amplitude ist Für grössere Amplituden ist die Bewegung zwar noch periodisch, aber nicht mehr harmonisch; die Schwingungsdauer wächst mit zunehmender Amplitude 16