t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

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1 Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen Regeln erzeugt werden kann, ist ein binärer Baum Definition Übliche Darstellung von Binärbäumen: Bäume mit Wurzel, wobei jeder Knoten zwei oder keinen Knoten als (geordnete) Nachfolger hat. zwei Nachfolger: mit bezeichnete inneren Knoten, kein Nachfolger: mit bezeichneten äusseren Knoten (Blätter). ist ein binärer Baum, der nur aus einem einzigen (äusseren) Knoten besteht; t =, t l, t r ist ein Baum mit Wurzel, an die zwei binäre Bäume t l und t r als linker bzw. rechter Teilbaum angehängt sind. Definition Lineare Codierung Beispiel t =, t l, t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) t l t r Entsprechend: Generierung mittels einer kontextfreien Grammatik in BNF G B mit: Variablensymbol B (auch Startsymbol) Terminalsymbolen und Produktionen B BB

2 Lineare Codierung Lineare Codierung t =, t l, t r t l t r Bemerkungen: streicht man in jedem von G B erzeugten Wort das letzte Symbol und identifiziert man linke Klammer rechte Klammer, code(t l ) =, code(t r ) = so entsprechen diese Wörter genau den wohlgeformten Klammerausdrücken entsprechender Länge. die von G B erzeugte Sprache ist kontextfrei, aber nicht regulär code(t) = code(t l ) code(t r ) = Struktur und Anzahl Notation Struktur und Anzahl Struktur und Anzahl I (t) : innere Knoten von t B (internal) hat keine inneren Knoten, tl, t r hat als innere Knoten die Wurzel, die inneren Knoten von t l und die inneren Knoten von t r E(t) : äussere Knoten (Blätter) von t B (external) hat als äusseren Knoten, tl, t r hat als äussere Knoten die äusseren Knoten von t l und die äusseren Knoten von t r B n : Menge der Binärbäume mit n inneren und n + äusseren Knoten Strukturelle Aussage B 0 = { } B n+ B 0 B n B B n B B n B n B 0 = B k B n k 0 k n

3 Struktur und Anzahl Segners Formel c 0 = c n+ = c 0 c n + c c n + c c n + + c n c 0 Catalans Formel c n = ( ) ( ) n n Θ n + n n / Parameter für Binärbäume i(t) = Anzahl der inneren ( internal ) Knoten von t: { 0 falls t = i(t) = + i(t l ) + i(t r ) falls t =, t l, t r e(t) = Anzahl der äusseren ( external ) Knoten von t: { falls t = e(t) = e(t l ) + e(t r ) falls t =, t l, t r s(t) = i(t) + e(t) = Grösse ( size ) von t: { falls t = s(t) = + s(t l ) + s(t r ) falls t =, t l, t r h(t) = Höhe ( height ) von t: { 0 falls t = h(t) = + max{h(t l ), h(t r )} falls t =, t l, t r Beziehungen zwischen den Parametern Für alle binären Bäume t gelten folgende Aussagen: e(t) = i(t) +, und damit s(t) = i(t) + = e(t) t =, t l, t r Beweis: e( ) i( ) = 0 = t l t r e(, t l, t r ) i(, t l, t r ) = e(t l ) + e(t r ) (i(t l ) + i(t r ) + ) = e(t l ) i(t l ) + e(t r ) i(t r ) = + = i(t) = 8, e(t) =, s(t) =, h(t) =

4 h(t) i(t) Beweis: h( ) = 0 = i( ) h(, t l, t r ) = + max{h(t l ), h(t r )} + max{i(t l ), i(t r )} + i(t l ) + i(t r ) = i(, t l, t r ) e(t) h(t), also log e(t) h(t) Beweis: e( ) = = 0 = h( ) e(, t l, t r ) = e(t l ) + e(t r ) h(tl) + h(t r ) max{h(t l),h(t r )} = +max{h(t l),h(t r )} = h(, t l, t r ) Höhe von Knoten Für a I (t) E(t) : h(a, t) = Höhe von a in t = Abstand von a zur Wurzel von t rekursive Beschreibung: h(, ) = 0 0 a = h(a,, t l, t r ) = h(a, t l ) + a E(t l ) I (t l ) h(a, t r ) + a E(t r ) I (t r ) Weglänge Innere und äussere Weglänge innere Weglänge von t : äussere Weglänge von t : w i (t) = a I (t) w e (t) = a E(t) mittlere innere Weglänge von t : h(a, t) h(a, t) w(t) = w i (t)/i(t) mittlere äussere Weglänge = mittlere Höhe : h(t) = w e (t)/e(t)

5 Weglänge Beispiel Binäre Suchbäume mit Bewertung t =, t l, t r t l t r A totalgeordnete Menge (z.b. Z, R,...) Für t =, t l, t r B und v : I (t) A sei v l : I (t l ) A : a v(a) v r : I (t r ) A : a v(a) die Restriktion von v auf den linken bzw. rechten Teilbaum w i (t) =,w e (t) = 0,i(t) = 8,w(t) = 8 =,h(t) = 0 = 0 Allgemein gilt: w e (t) = w i (t) + i(t) Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume Ein Paar (t, v) mit t B, v : I (t) A heisst binärer Suchbaum über A, wenn t = (und somit v = λ = leere Funktion), oder t =, t l, t r und mit v( ) = a. ist (t l, v l ) ein binärer Suchbaum über A <a = {b A ; b < a}. ist (t r, v r ) ein binärer Suchbaum über A >a = {b A ; b > a} Insbesondere gilt also max i I (tl ) v(i) < v( ) = a < min i I (tr ) v(i) BS(A) : Menge der binären Suchbäume über A BS n (A) : Menge der (t, v) BS(A) mit t B n Struktur: BS(A) = a A ({a} BS(A <a ) BS(A >a )) Suche, ob ein gegebenes a A in (t, v) BS(A) vorkommt: falls t = : FAIL falls t =, t l, t r falls v( ) = a: FOUND falls v( ) > a: suche a in (t l, v l ) falls v( ) < a: suche a in (t r, v r ) Die (mittlere) innere Weglänge von t ist ein Maß für den (mittleren) Aufwand erfolgreicher Suche in t. Die (mittlere) äussere Weglänge von t ist ein Maß für den (mittleren) Aufwand erfolgloser Suche in t. Anzahl: BS n (A) = ( A n ) cn

6 Rekursive Konstruktion von binären Suchbäumen Für eine Folge a = a a... a n A + sei a < : die Teilfolge der a i < a, Konstruktion des binären Suchbaumes zu a = (,,,,,,, 0, 5, ) a > : die Teilfolge der a i > a Für die leere Folge λ sei bs(λ) = (, λ) Für a A + wird bs(a) = (t, v) definiert durch v( ) = a, bs(a < ) = (t l, v l ), bs(a > ) = (t r, v r ) Ein sequentieller Algorithmus zur Konstruktion verwendet sukzessives Einfügen bei erfolgloser Suche Permutationsmodell Problem: wie gross ist der Aufwand für (erfolgreiche) Suche, wenn man aus Daten sequentiell einen binären Suchbaum konstruiert hat? Wird a A in den A-Suchbaum (t, v) (erfolgreich) gesucht, so ist die Höhe h(b, t) des Knotens b I (t) mit v(b) = a relevant. Damit ist klar: es kommt sowohl auf das gesuchte Datum an, als auch auf den Suchbaum (d.h. die Reihenfolge, in der die Daten zur Konstruktion des Suchbaumes verwendet wurden). Für n (verschiedene) Daten A betrachte alle n! Permutationen als gleichwahrscheinliche inputs für die Konstruktion eines bs. Man kann annehmen, dass A = {,,..., n} und alle σ S n inputs sind. Für σ S n sei bs(σ) = (t σ, v σ ), also t B n. Vorsicht: verschiedene σ Sn können denselben Suchbaum liefern! v σ ist durch t σ eindeutig bestimmt, also redundant! Es wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach jedem der Daten k {,,..., n} gesucht Für einen festen A-Suchbaum (t, v) ist die (mittlere) innere Weglänge w i (t) bzw. w(t) = w i (t)/n das Maß für den Suchaufwand.

7 Beispiel: die Suchbäume zu den Permutationen aus S Es gilt t t t t t t w i (t ) = w i (t ) = w i (t ) = w i (t ) =, w i (t ) = w i (t ) = also w =! w i (σ) = σ S = 8, w = w = 8 Gesucht ist w n = w i (t σ ) bzw. w n = w(t σ ) = n! n! n w n σ S n σ S n Wir werden sehen: die w n erfüllen die Quicksort-Rekursion! w n+ = n + n w k + n, w 0 = 0 k=0 Folgerung: der mittlere Suchaufwand bei binären Suchbäumen im Permutationsmodell ist w n = n w n = ( + n )H n Θ(log n) Zum Beweis: Betrachte die Abbildung S n σ (P σ, σ <, σ σ > ) (..n σ ) Sσ S n σ Dabei ist (mit σ = k): Pσ = {i, i,..., i k } (..n k ) mit i < i <... < i k n die Positionen i n mit σ i < k σ < = σ i σ i... σ ik S k σ k > = (σ j k)(σ j k)... (σ jn k k) S n k, wobei j < j <... < j n k n die Positionen j n mit σ j > k sind Diese Abbildung ist bijektiv zwischen den besagten Mengen! Beispiel für die Bijektion mit n = S n σ (P σ, σ <, σ σ > ) (..n σ ) Sσ S n σ σ = (6 8 5 ), also k = σ = 6 P σ = ( 8 ) ( ).. 5 σ < = ( 5 ) S 5 σ> 6 = ( ) S

8 Mit σ = σ < und σ = σ σ > gilt und daher ist w n = w i (t σ ) n! σ S n = n n! = n! = n k= n k= n k= w i (t) = w i (t σ ) + w i (t σ ) + i(t) P ( k )..n ( n k σ S k ) σ S k (k )! (n k)! σ S k ( ) w i (t σ ) + w i (t σ ) + n ( ) w i (t σ ) + w i (t σ ) + n ( ) w i (t σ ) + w i (t σ ) + (n ) Mit (k )! (n k)! und (k )! (n k)! und σ S k σ S k w i (t σ ) = w i (t σ ) = (k )! (n k)! σ S k (k )! (n k)! w i (t σ ) = w k σ S k w i (t σ ) = w n k (n ) = n folgt die Behauptung: w n = n (w k + w n k + n ) = n w k + n n n k= k=0