Protokoll O 4 - Brennweite von Linsen

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1 Protokoll O 4 - Brennweite von Linsen Martin Braunschweig Andreas Bück 1 Aufgabenstellung Die Brennweite dünner Linsen ist nach unterschiedlichen Verfahren zu bestimmen, Abbildungsfehler sind zu untersuchen. 1. Die Brennweite einer Sammellinse ist durch Autokollimation zu bestimmen. 2. Die Brennweite der Sammellinse ist durch Messung von Bild- und Gegenstandsweiten aus der graphischen Darstellung der reziproken Werte dieser Größen zu bestimmen. 3. Die Brennweite der Sammellinse ist aus Gegenstandsweite und Abbildungsmaßstab durch lineare Regression zu bestimmen. 4. Die Brennweite einer Zerstreuungslinse ist durch Kombination mit der Sammellinse nach dem Verfahren von Bessel zu bestimmen. 5. Die Differenz der Brennweiten der Sammellinse für Rand- und Zetralstrahlen (sphärische Aberration) ist aus der Änderung von Bild- und Gegenstandsweite zu bestimmen. 2 Grundlagen des Versuchs Erzeugt eine dünne Sammellinse (die Dicke ist klein gegen die Krümmungsradien ihrer Begrenzungsflächen) von einem Gegenstand, der sich im Abstand g von ihr befindet, ein reelles Bild im Abstand b von der Linse, so gilt die Linsengleichung bzw. f = 1 f = 1 g + 1 b bg b + g = bg s dabei ist g der Abstand der Linse vom Gegenstand, b der Abstand der Linse vom Bildschirm, s der Abstand des Gegenstandes vom Bildschirm (in cm ) und f die Brennweite der Linse. Eine Methode zur Brennweitenbestimmung ist das Autokollimationsverfahren: Hinter der Linse wird ein zur optischen Achse senkrecht stehender ebener Spiegel angebracht. Eine als Gegenstand dienende Leuchtmarke wird solange verschoben, bis ihr Bild in der Gegenstandsebene scharf erscheint. Ist dies erreicht, so befindet sich der Gegenstand in der Brennweite der Linse. Alle von einem Punkt des Gegenstands ausgehenden Lichtstrahlen treten daher parallel aus der Linse aus, werden reflektiert und in der Brennebene wieder zu einem Punkt vereinigt. (1) (2) 29

2 Abbildung 1: schematische Darstellung des Autokollimationsverfahren Eine weitere Methode zur Brennweitenbestimmung ist die Darstellung der reziproken Werte: aus der Gleichung (1) folgt unmittelbar: 1 g = 1 b + 1 f (3) Wenn man nun 1/g gegen 1/b aufträgt, so kann man durch lineare Regression 1/f im y-achsenabschnitt der Gleichung der Regressionsgeraden ablesen. Die Brennweite lässt sich aber auch aus dem Abbildungsmaßstab bestimmen: Aus der Gleichung (1) erhält man : g = bf b f (4) Damit ist bg = bf + gf, bzw g = f b+g b. Mit β = b g ergibt sich schließlich: g = f(1 + 1 β ) (5) Da die Abbildung mit Zerstreuungslinsen nur virtuelle Bilder liefert, muss deren Brennweite indirekt gemessen werden. Man setzt zu diesem Zwecke die Zerstreuungslinse, deren Brennweite f z zu messen ist, mit einer Sammellinse bekannter Brennweite f s so dicht wie möglich zu einem zentrierten Linsensystem zusammen. Ist der Linsenabstand zu vernachlässigen, so ergibt sich für die Brennweite f g des Systems: 1 f g = 1 f s + 1 f z (6) Hierbei ist f z negativ. Wählt man die Brennweite der Sammellinse kleiner als den Betrag der Brennweite der Zerstreuungslinse, so überwiegt die sammelnde Wirkung, und das System hat eine positive Brennweite, die sich nach oben beschriebenen Methoden messen lässt. f z = f g f s f g f s (7) Da bei gefassten Linsen die Lage der Mittelebene nicht genau bekannt ist, verwendet man das Besselsche Verfahren, bei dem Gegenstands- und Bildweite indirekt durch genauer messbare Größen ermittelt werden: 30

3 Der Schirm wird in einem festen Abstand s zum Gegenstand aufgestellt. Man erhält bei zwei symmetrischen Linsenstellungen I und II scharfe reelle Bilder auf dem Schirm (in Stellung I ein vergrößertes Bild B I, in Stellung II ein verkleinertes Bild B II ), wenn der Abstand s größer als die vierfache Brennweite des Linsensystems ist. Die Größe der Verschiebung der Stellung I nach Stellung II ist gleich e, es gilt wegen der Symmetrie der Linseneinstellungen e = g II g I, sowie s = g I + b I = g II + b II. Löst man nach g und b auf und setzt in die Linsengleichung (1) ein, so ergibt sich: f = 1 ) (s e2 (8) 4 s Abbildung 2: schematischer Aufbau des Bessel-Verfahrens Die sphärische Aberration ist ein Abbildungsfehler, der bei der Abbildung achsnaher Objekte auftritt. Strahlen, die durch die Randbereiche der abbildenden Linse verlaufen (Zonenstrahlen), werden mit einem anderen Brechwert gebrochen als paraxiale Strahlen. Abbildung 3: schematische Darstellung der sphärischen Aberration Es ergibt sich für Zonenstrahlen somit ein anderer Bildort als für paraxiale Strahlen. Dieser Sachverhalt ist in Abbildung 3 dargestellt. Wie man leicht erkennt, schneiden sich die Zonenstrahlen vor dem Schnittpunkt der paraxialen 31

4 Strahlen. Der Abstand zwischen diesen Schnittpunkten wird longitudinale sphärische Aberration genannt. Ordnet man einen Bildschirm im paraxialen Bildort an, so ergibt sich ein verschmiertes Bild, da die Zonenstrahlen dort bereits wieder auseinander laufen. Zur Bestimmung der Brennweitendifferenz werden Messungen sowohl mit einer Loch- als auch mit einer Ringblende durchgeführt, wobei s, der Abstand Gegenstand-Schirm, konstant bleiben muss. Aus der Linsengleichung (1) und den Gegenstandsweiten g bzw. g + g ergibt sich somit für die Brennweitendifferenz: g(s g) f = (9) s Für die Berechnung der Ausgleichsgeraden werden noch einige Größen benötigt. Der Mittelwert x einer Größe x ermittelt sich aus n Messwerten x 1... x n folgendermaßen ([4], S. 6): x = 1 n n x i (10) Die Standardabweichung lässt sich durch diese Gleichung berechnen (siehe [3], S. 112): s x = 1 n (x i x) n 1 2 (11) Diese Gerade (Regressionsgerade) der Abhängigkeit y = f(x) kann laut ([5], S. 31 ff.) und ([2], S. 55) über diese Gleichung berechnet werden: i=1 i=1 y ȳ = r xy s y s x (x x) (12) x bzw. ȳ bezeichnen die Mittelwerte der für die Größen x und y vorhandenen Messwerte und s x bzw s y deren Standardabweichungen. Der Faktor r xy wird als Korrelationskoeffizient bezeichnet und lässt sich mit n i=1 r xy = (x i x)(y i ȳ) n i=1 (x i x) 2 n i=1 (y (13) i ȳ) 2 berechnen (n ist die Anzahl der vorhandenen Messwerte). Die Meßunsicherheiten durch lineare Regression berechneter Größen wird aus der Unsicherheit A des Anstiegs A der Geraden berechnet, die aus A und dem Korrelationskoeffizienten r nach der Beziehung bestimmt wird (nach [6]). A = t v 1 n 2 A2 (1 r 2 ) r 2 (14) 32

5 3 Versuchsaufbau Geräte Optische Bank (1, 4m) Lichtquelle Dia Sammellinse (konvex-konvex) Zerstreuungslinse (konkav-konkav) Planspiegel Fassung für die Linsen Lupe Halbtransparenter Schirm Maßband ( l = ±0, 15cm) 4 Messergebnisse Aufgabe 1.1: Durch Autokollimation wurde für die Brennweite der Sammellinse folgende Werte ermittelt: Tabelle 1: Durch Autokollimation erhaltene Brennweiten Nr. f in cm Nach Gleichung (10) ergibt sich für die Messwerte ein Mittelwert von: f s = 11, 45 cm 33

6 Aufgabe 1.2 und 1.3: Es wurden folgende Bild- und Gegenstandsweiten, sowie Bildgrößen gemessen. Bei einer Gegenstandsgröße von G = 1 cm ergaben sich folgende Abbildungsmaßstäbe β: Tabelle 2: Messwerte 1.2 und 1.3 Nr. b in cm g in cm B in cm β Durch lineare Regression wurde für Aufgabe 1.2 eine Brennweite der Sammellinse (mit der Regressionsgeraden y r = x ) von ermittelt. f s1 = 12.09cm Abbildung 4: Graph der Messwerte und der Regressionsgeraden (Aufgabe 1.2) 34

7 Für Aufgabe 1.3 wurde durch lineare Regression (y r = x ) die Brennweite der Sammellinse mit bestimmt. f s2 = 10.94cm Abbildung 5: Graph der Messwerte und der Regressionsgeraden (Aufgabe 1.3) Aufgabe 1.4: Die Brennweite einer Zertreuungslinse wurde durch Kombination mit der Sammellinse nach dem Verfahren vom Bessel bestimmt. Tabelle 3: Die durch das Bessel-Verfahren erhaltenen Messwerte Nr. s in cm e in cm Nr. s in cm e in cm Nach Gleichung (8) ergibt sich für die Brennweite des Gesamtsystems (Sammelund Zerstreuungslinse) eine Brennweite von: f g = 16.45cm Nach Gleichung (7) und unter Verwendung von f s1 und f s2 wurden folgende Brennweiten für die Zerstreuungslinse berechnet: f z1 = 32.65cm f z2 = 45.63cm 35

8 Aufgabe 1.5: Die Differenz der Brennweiten der Sammellinse für Rand- und Zentralstrahlen (sphärische Aberration) wurde aus der Änderung von Bild- und Gegenstandsweiten berechnet. Es wurden folgende Bild- und Gegenstandsweiten ermittelt b L1 = 13.8 b L2 = 15.2 g L1 = 37.2 b L1 = 30.0 b R1 = 9.0 b R2 = 10.9 g L1 = 39.0 g R2 = 31.2 (alle Werte in cm, s = 51.0 cm). Daraus wurde durch Mittelung und Differenzbildung der Gegenstandsweiten und Gleichung (9) folgende Brennweiten-Differenz bestimmt: 5 Messunsicherheiten f = 1.45 cm Die Messunsicherheiten für Aufgabe 1.1 und 1.5 ergeben sich aus der Messunsicherheit des Lineals, die mit 0.15 cm angegeben war. Der Fehler der Regressionsgeraden für Aufgabe 1.2 wurden nach Gleichung (14) und Gleichung (13) berechnet (r = 0.994): f 2 = 0.1 cm Der Fehler der Regressionsgeraden für Aufgabe 1.3 wurden nach Gleichung (14) und Gleichung (13) berechnet (r = 0.998): f 3 = 0.9 cm Der Fehler für Aufgabe 1.4 lässt sich nach dem linearen Fehlerfortpflanzungsgsetz berechnen: f 4 = f s + f e Mit e = 0.3 cm und s = 0.15 cm lässt sich der Fehler berechnen: f 4 = 1 ) ( (1 + e2 e ) 4 s 2 s + e 2s f 4 = 0.6 cm 36

9 6 Diskussion Die Gegenstands- und die Bildweiten wurden mit Hilfe einer auf der optischen Bank befindlichen Skala und die Bildgröße mit Hilfe eines Lineals gemessen. Beide Messgeräte waren in Millimeterschritten skaliert. Leider befand sich an keinem der Geräte eine Angabe des Herstellers über die Messsicherheit. Daher wurde von uns eine Messsicherheit von jeweils 0,15 cm geschätzt. Außerdem können sphärische und chromatische Aberration zu Messunsicherheiten führen. Um die Auswirkungen dieser Effekte zu minimieren maßen wir die Bildgröße immer in der Mitte des Dias und immer an den Zentren der Striche. 7 Zusammenfassung Die Bestimmung der Brennweite der Sammellinse über Autokollimation ergab f s = (11, 45 ± 0.15) cm. Über die reziproke Darstellung der Gegenstands- und Bildweiten ergab sich f s1 = (12.09 ± 0.1) cm. Die Bestimmung der Brennweite über Gegenstandsweite und Abbildungsmaßstab ergab sich f s2 = (10.94 ± 0.9) cm. Die Bestimmung der Brennweite der Zerstreuungslinse nach dem Verfahren von Bessel ergab f z1 = (32.65 ± 0.6)cm und f z2 = (45.63 ± 0.6) cm. Die Differenz der Brennbreiten wurde mit f = (1.45 ± 0.15) cm bestimmt. Literatur [1] Wilhelm Walcher, u.a, Praktikum der Physik, Teubner Verlag, 2003, 8. Auflage [2] Lutz Engelmann u. a., Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I und II, paetec Verlag, 1998, 6. Auflage, S [3] Günther Mühlbach, Repetitorium der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Binomi-Verlag, 2002, 2. Auflage, S. 112 [4] Helmut Vogel, Gerthsen Physik, Springer Verlag, 1997, 19. Auflage, S. 6 [5] Harry A. Watson Jr., Mathematical Approximation and Documentation, Quality Assessment Directorate, Naval Warfare Assessment Centre, S. 31ff (bes. S. 38), [6] Hinweise zum Physik-Praktikum, Messunsicherheiten 37