Grafisch Differenzieren

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1 Johannes-Kepler-Gymnasium Grafisch Differenzieren

2 Übersicht Was uns bevorsteht - Übersicht: 1. Was bedeutet bei einer Weg Zeit Funktion die Steigung des Graphen? a) Beispiel A : Schulweg 2. Wie bestimmt man die Steigung bei einer Kurve? b) Beispiel B : Eine frei fallende Kugel c) Beispiel C : Auto auf einer Fahrbahn d) Beispiel D : Flugzeug steigt und sinkt 1. Wie lässt sich diese Betrachtung mathematisch verallgemeinern? 2. Welche Änderungsraten kennen wir schon?

3 Beispiel - A: Schulweg m 500 Strecke s in m Paulchens Schulweg Steigung m = 540 m in 12 min, bzw. 45 m pro min also eine Geschwindigkeit von v = 45 m / min Zeit t in min in 12 Minuten

4 Beispiel - A: Schulweg 600 Strecke s in m Paulchens Schulweg v = 0 m/min 500 v = 0 m/min v = 0 m/min v = 50 m/min 200 v = 50 m/min Zeit t in m in v = 50 m/min v = 100 m/min

5 Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel Experiment: Der freie Fall einer Kugel Messwerte t / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 s / cm 0,0 2,3 9,0 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0 272,3 324,0

6 Beispiel - B: Eine frei fallende Kugel Weg - Zeit - Diagramm s / m m 10 s 0 t / s v = 27,0 m/s

7 Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn Galileo Galilei mit seinem Historischen Experiment: Bewegung einer Kugel in der Fallrinne Unsere Messwerte t / s 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 s / cm 0,0 2,3 9,0 20,3 36,0 56,3 81,0 110,3 144,0 182,3 225,0

8 Beispiel - C: Auto auf einer Fahrbahn v in m/s s / m 350 Geschwindigkeit Weg - Zeit - Diagramm Zeit - Diagramm t / s v = m/s

9 Beispiel D : Flugzeug Altimeter Variometer

10 Das Altimeter (Höhenmesser) Altimeter ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument. Funktion Das Altimeter vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit dem am Boden. Daraus kann die Höhe über dem Boden errechnet werden. Da es Luftdruckänderungen in der Atmosphäre gibt und der Luftdruck am Boden vom Standort abhängig ist, muss das Altimeter auf den Luftdruck (QFE-Wert) des nächstgelegenen Flugplatzes eingestellt werden. Dies erfolgt über einen Verstellknopf (links unten) und über eine Druck-Korrekturskala (rechts, in der Mitte in hpa).

11 Altimeter nächster Flughafen x Höhe über dem Boden + die Höhe des Flughafens über NN = Höhe des Flugzeugs über dem Meeresspiegel

12 Das Variometer (Anzeige über die Veränderung der Höhe) Variometer ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.

13 Variometer Veränderung der Höhe zwischen den beiden Messungen Funktion Das Variometer vergleicht den Luftdruck in der Höhe des Flugzeugs mit einer kurz zuvor erfolgten Messung. Dadurch weiß der Pilot, um wie viel Fuß das Flugzeug pro Minute steigt bzw. sinkt.

14 Das Variometer (Anzeige über die Veränderung der Höhe) Variometer Ein Teilstrich ist 100 ft./min (1.000 ft./min = 5 m / sec) Diese Anzeige erfolgt in 100 Fuß pro Minute (ft./min). ist ein Luftdruckmessendes (barometrisches) Instrument.

15 Spur eines Fluges Spur eines Fluges: Flughöhe in Abhängigkeit von der Zeit 1. Welchen Wert hat das Variometer zu einem bestimmten Zeitpunkt angezeigt? 2. Wie sähe eine Aufzeichnung des Verlaufs beim Variometer aus?

16 Flugkurve Nr.1

17 Flugkurve Nr. 2

18 Flugkurve Nr.3

19 Flugkurve Nr.4

20 Relativer Hochpunkt Rückblick Das Flugzeug verändert seine Höhe nicht! Es steigt bzw. sinkt also 0 ft./min. Punkt mit größter positiver Steigung Punkt mit größter negativer Steigung Nullstelle des Graphen der Variometer-Aufzeichnung Das Flugzeug steigt, sinkt, der Graph der Variometer-Aufzeichnung ist im positiven negativen Bereich

21 Die drei Fragen Die drei Fragen 1. Was kann man am Altimeter bzw. am Variometer ablesen? 2. Wie sieht der Graph der Variometer-Aufzeichnung aus, wenn das Flugzeug steigt bzw. sinkt? 3. Was passiert mit dem Flugzeug, an einer Nullstelle der Variometer-Aufzeichnung?

22 Aufgaben Hausaufgabe In der Grafik sind die Daten eines Variometers im Flugverlauf aufgezeichnet. Rekonstruiere daraus den zugehörigen Graphen des Altimeters. Erläutere deine Vorgehensweise. AB mitnehmen

23 Hausaufgaben AB 1: Auswertung eines Fallversuches Plenum 1: Grafisch Differenzieren Aufgaben Basics Erstelle aus den Messwerten die graphische Darstellung y(t)! Berechne Näherungsweise die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit zwischen den Messzeiten und trage sie in die Tabelle ein. Zeichne den zugehörigen v(t)-graphen ein! Tops Aus drei Wertepaaren der ersten, sechsten und zwölften Messung Term der quadratischen Parabel y = a x2 + b x + c bestimmen