Ü b u n g s a r b e i t

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Eduard Schmid
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Ü b u n g s a r b e i t Aufgabe. a) Die Querschnittsfläche eines Abwasserkanals ist im unteren Teil von einer Parabel k begrenzt, an die sich nach oben die beiden Geraden g und h anschließen.

1 Ü b u n g s a r b e i t Aufgabe. a) Die Querschnittsfläche eines Abwasserkanals ist im unteren Teil von einer Parabel k begrenzt, an die sich nach oben die beiden Geraden g und h anschließen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen für diese drei Funktionen, und geben Sie die abschnittweise definierte Funktion f an, durch die die Querschnittsfläche des Kanals festgelegt ist. b) Bei dieser Teilaufgabe sollen die drei Funktionen k, g und h für alle reellen Zahlen definiert sein. Zeigen Sie, dass die Geraden g und h Tangenten an die Parabel k sind. Aufgabe Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß - Verfahrens. a 4 a a a 4 a b b b b b 5 c c 4 c c 8 c d 5 d 8 d 4 d d 4 e e e 7 e 5 e 54

2 Aufgabe Der Graph einer ganzen rationalen Funktion vierten Grades der Form f(x) a x 4 b x c x d x e a,b,c,d,e R, a verläuft durch die Punkte P ( /,), P ( /,85), P (4 /,5) und P 4 (5 /,). Der Funktionsgraph schneidet die y-achse an der Stelle y S,5. a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f. b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. c) Fertigen Sie eine Wertetabelle an, und zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein. d) Geben Sie mit Hilfe der Zeichnung bzw. der Wertetabelle die Koordinaten des Hochpunktes H und die Koordinaten der beiden Tiefpunkte T und T des Graphen von f an. e) Eine Parabel k(x) f x g x h f,g,h R, f verläuft durch den Hochpunkt H und durch die beiden Tiefpunkte T und T von f. Bestimmen Sie die Parabelgleichung. f) Bestimmen Sie die Nullstellen der Parabel k. g) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten g und h, die die Parabel in den beiden Punkten und berühren. T T h) Die Tangenten g und h schneiden die Tangente w, die die Parabel im Scheitelpunkt berührt, in den Punkten R und S. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Schnittpunkte. i) Die Punkte,, S und R sind die Eckpunkte eines speziellen Vierecks. T T Um was für ein Viereck handelt es sich dabei? j) Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Vierecks T,T,S,R. k) Fertigen Sie für die Parabel k eine Wertetabelle an. Zeichnen Sie die Parabel k, die Tangenten g, h und w sowie das Viereck T,T,S,R in das Koordinatensystem ein.

3 L ö s u n g e n a) Die allgemeine Parabelgleichung lautet: k(x) a x b x c Der Graph der Parabel verläuft durch die Punkte: P ( / ), P ( / 8) und P 4 ( / ). Die Parabel schneidet die y-achse an der Stelle y S 8. Folglich gilt: c 8. Da der Scheitelpunkt P der Parabel auf der y-achse liegt, ist der Graph der Parabel symmetrisch zur y-achse. Diese Symmetrie erkennt man außerdem an den Koordinaten der Punkte P und P 4. Aufgrund der Symmetrie gilt: b. Die Variable a erhält man durch Einsetzen der Koordinaten von P oder P 4 in die Funktionsgleichung a x 8 k(x) 4 a 8 4 a a Die Funktionsgleichung der Parabel lautet: k(x) x 8 Bestimmung der Funktionsgleichungen für die Geraden g und h: m g y y x x ( 5) Durch Einsetzen der Koordinaten von P erhält man: 8 5) b g b g Die Funktionsgleichung für die Gerade g lautet: g(x) x Im Diagramm erkennt man, dass man die Gerade h durch Spiegelung Der Geraden g an der y-achse erhält. Folglich lautet die Funktionsgleichung für die Gerade h: h(x) x Die abschnittweise definierte Funktion f hat die Darstellung: f(x) x x x 8 für für für 5 x < x < x 5

4 b) k(x) g(x) x 8 x ( ) x x x 4 x 4 (x ) x g( ) k( ) Da die Gleichung ( ) nur eine einzige Lösung hat, ist die Gerade g eine Tangente an die Parabel k. Der Berührpunkt ist: P ( / ). k(x) h(x) x 8 x x x x 4 x 4 (x ) x h() p() Da die Gleichung ( ) nur eine einzige Lösung hat, ist die Gerade h eine Tangente an die Parabel k. Der Berührpunkt ist: P 4 (/ ). Aufgabe

5 d d 88 d 4 b b b c c c a 5 4 a 4 a 5455 e 875 e 5 Das Gleichungssystem hat die Lösung: a, b, c, d 4 und e 5

6 Aufgabe a) f(x) a x 4 b x c x d x e Da y S,5 ist, gilt: f(),5 also gilt e,5 Damit erhält man: a x 4 b x c x d x f(x),5 Der Graph von f verläuft durch die Punkte P, P, P,P 4. (α) Durch Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte in die Gleichung (α) entsteht das folgende Gleichungssystem: a a 5 a 5 a a 8a 4 a 5 a a 5 a a 74 a a a a b 8 b 4 b 5 b b 4 b b 5 b b b b c 4 c c 5 c c c 4 c 5 c 4 b b 4 b b d d 4 d 5 d d d d d c c c,5,8,5,5,4,5 ( ),5,4,5 ( ),,,5,5 ( ) 5 a,75 : : 4 : 5 : : ( ) a,5 in ( ),5 b,5 b,4 in ( ),5 (,4) c,5 c, in ( ),5,4,5 d,5 d Die Funktionsgleichung lautet: f(x),5 x 4,4 x, x x,5 b) Die Nullstellen der Funktion bleiben erhalten, wenn man die Funktionsgleichung mit einer reellen Zahl α multipliziert. Bei der Funktion sei α. Es ist also die Gleichung x 4 8 x x 4 x zu lösen. Es gilt: x durch Probe

7 (x 4 8 x x 4 x ) : (x ) x 7 x x x 4 x 7 x x 7 x 7 x x 4 x x x x x x 7 x x Es gilt x durch Probe (x 7 x x ) : (x ) x 4 x x x 4 x x 4 x x x x x 4 x x 4 x x 4 x 4 7 (x ) ± 7 x 7, x 4 7, Die Nullstellen der Funktion f sind: x, x, x 7 und x 4 7 c) x -, -, - -,5 - -,5 f(x), -,75 -,7 -, -,8 -,5 x,5,5,5,5 f(x) -,,8,85,8 -, x 4 4, ,, f(x) -,5 -,8 -, -,7 -,75,

8 d) Der Hochpunkt des Graphen von f hat die Koordinaten H ( /,85) Die Koordinaten der Tiefpunkte sind: T ( /,) und T (5 /.) e) Die allgemeine Parabelgleichung lautet: f x g x h k(x), f,g,h R, f durch Einsetzen der Koordinaten der punkte H, und erhält man das T T folgende Gleichungssystem: 4 f f 5 f f f g g 5 g g g h h h,85,, 4,5 4,5 8 f 8, ( ) ( ) f,45 in ( ) (,45) g 4,5 g,8 in ( ),45,8 h, h,5 Die Parabel k, die durch den Hochpunkt H und die beiden Tiefpunkte T und T des Graphen von f verläuft, hat die Funktionsgleichung: k(x),45 x,8 x,5 f),45 x,8 x,5 x 4 x x 4 x x 4 x 4 x ± x 7 7,74 x 7, Die Parabel k hat die Nullstellen x 7,74 und x 7,

9 g) g(x) m x b x Da Durch Einsetzen der Koordinaten von T T, m b b m, ( ) erhält man: Berührpunkt der Tangente g an die Parabel k ist, gilt: k(x ) g(x ),45 x,8 x,5 m x b x 4 x m x b x m x 4 x b m 4 x m x m b m b 8 m 4 m x m ± 8 m 4 m b 7 Da T ein Berührpunkt ist, darf die quadratische Gleichung nur eine einzige Lösung haben; d.h. der Radikand hat den Wert Null. 8 m 4 m b 7 m, m,8 b,5 mit ( ) folgt m, m,8 (m,),5 m 5,4 m 7, (m,7) m,7 b,7,,5 Die Tangente g hat die Funktionsgleichung: g(x),7 x,5 h(x) m x b Durch Einsetzen der Koordinaten von T erhält man:, 5 m b b 5 m, ( )

10 Da T Berührpunkt der Tangente h an die Parabel k ist, gilt: k(x ) h(x ) Aus der gleichen Rechnung wie oben folgt wieder: Da T ein Berührpunk ist, darf die quadratische Gleichung nur eine einzige Lösung haben. Das bedeutet aber, dass der Radikand den wert Null annehmen muß. m, m,8 b,5 mit ( ) folgt m, m,8 ( 5 m,),5 m 5,4 m 7, (m,7) m,7 b 5 (,7),, Die Tangente h hat die Funktionsgleichung h(x),7 x, h) Die Tangente w an den Scheitelpunkt H ( /,85) hat die Steigung. Es gilt: w(x),85 const g(x) w(x),7 x,5,85,7 x,5 x,5 h(x) w(x),7 x,,85,7 x,45 x,5 Die Koordinaten der beiden Schnittpunkte sind: R (,5 /,85) und S (,5 /,85) i) Da die y-koordinaten der Punkte R und S und ebenfalls die y-koordinaten der Punkte und gleich sind, gilt: T T Die Strecken RS und T T sind parallel. Das Viereck T T SR ist ein Trapez. j) Für den Flächeninhalt A des Trapezes gilt: A RS T T h Die Höhe des Trapezes ist der Abstand zwischen den Strecken RS und T T. A [(,5,5) (5 ( ))] [,85 (,)] ( ) 4,5,5 Das Trapez hat den Flächeninhalt A,5 FE

11 zu k) x,5,5,5 k(x),5 4,,,,5, x,5,5,5 k(x),4,78,85,78,4, x 4 4,5 5 5,5 k(x),5, -, -4,,5 zu Aufgabe c) und k)

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