SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten

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Ilse Biermann
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1 Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 20 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung vorgesehene Wahlpflichtaufgabe ist vom Prüfling anzukreuzen. Wahlpflichtaufgabe 4. Wahlpflichtaufgabe 4.2 Unterschrift Seite von 5

2 Pflichtaufgaben Aufgabe Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g durch 8 4 f: y = f(x) = (4x x ), x R, g: y = g(x) = (4 x) e x, x R. Die Graphen dieser Funktionen seien F bzw. G. a) Berechnen Sie die Nullstellen und die lokalen Extremstellen der Funktion f. b) Begründen Sie, dass der Graph G für x < 0 die x-achse nicht schneidet. Zeigen Sie, dass der Punkt P(3 20) kein Hochpunkt des Graphen G ist. Der Graph G besitzt genau einen Wendepunkt. Berechnen Sie dessen Koordinaten. In der Abbildung sind Ausschnitte der Graphen F und G dargestellt. Geben Sie an, welche der Kurven zum Graphen F und welche zum Graphen G gehört. y K K O x c) Weisen Sie nach, dass die Funktion h mit y = h(x) = (5 x) e x, x R, eine Stammfunktion von g ist. Die Graphen F und G, die y-achse und die Gerade mit der Gleichung x = 3 schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. d) Die Funktion f beschreibe im Intervall [0; 3] die Bewegung eines Körpers. Ihr Argument x entspricht der Zeit (eine Abszisseneinheit beträgt 60 Sekunden). Der Funktionswert y entspricht dem zurückgelegten Weg (eine Ordinateneinheit beträgt 00 Meter). Ermitteln Sie aus der grafischen Darstellung der Funktion f näherungsweise die Zeit, zu der der Körper die maximale Geschwindigkeit hat, und berechnen Sie mithilfe dieses Näherungswertes die maximale Geschwindigkeit. Begründen Sie jeweils Ihr Vorgehen. Seite 2 von 5

3 Pflichtaufgaben Aufgabe 2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ) und B( 3 0 2), 3 0 die Gerade g mit der Gleichung x = 5 + r, r R, sowie 5 die Ebene E mit der Gleichung x 2y + 2z = 0 gegeben. a) Es sei h die Gerade durch die Punkte A und B. Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an. Weisen Sie nach, dass die Geraden g und h zueinander windschief sind. Zeigen Sie, dass die Ebene E die Gerade h enthält und dass die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft. Der Punkt T(3 5 5) liegt auf der Geraden g. Berechnen Sie den Abstand des Punktes T von der Ebene E. b) Unter allen Punkten der Geraden g und h gibt es genau ein Paar von Punkten Q g und R h, für welches die Länge der Strecke QR minimal ist. Begründen Sie, dass die Länge dieser Strecke gleich dem Abstand des Punktes T von der Ebene E ist. Seite 3 von 5

4 Pflichtaufgaben Aufgabe 3 Stochastik Der Verband der europäischen Airlines ermittelte durch eine Umfrage unter Fluggesellschaften, wie viele Gepäckstücke fehlgeleitet wurden. Als fehlgeleitet wird ein Gepäckstück angesehen, das nicht zeitgleich mit dem Passagier, der es aufgegeben hat, am Zielflughafen ankommt. Der ermittelte Anteil fehlgeleiteter Gepäckstücke beträgt,7 %. a) Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl fehlgeleiteter Gepäckstücke von 000 zufällig ausgewählten Gepäckstücken. Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X als binomialverteilt angenommen werden kann und berechnen Sie den Erwartungswert sowie die Standardabweichung der Zufallsgröße X. Berechnen Sie mithilfe der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 4 Gepäckstücke fehlgeleitet werden. b) Es wird vermutet, dass sich bei einer Fluggesellschaft der Anteil fehlgeleiteter Gepäckstücke auf 5,0 % erhöht hat. Die Zufallsgröße Y beschreibe die Anzahl fehlgeleiteter Gepäckstücke in einer Stichprobe und ist binomialverteilt mit dem Umfang n = 00 und der Wahrscheinlichkeit p = 0,05. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(Y 4). Diese Vermutung soll mittels eines Alternativtests mit den Hypothesen H 0 : p = 0,07 und H : p = 0,05 und dem Ablehnungsbereich der Nullhypothese A = { 4; 5;...; 00} überprüft werden. In der Stichprobe mit 00 Gepäckstücken ergaben sich 4 fehlgeleitete Gepäckstücke. Formulieren Sie das Ergebnis der Überprüfung der Vermutung. c) In 85 % der Fälle, in denen ein Gepäckstück fehlgeleitet worden ist, kommt dieses Gepäckstück nach spätestens 48 Stunden am Zielflughafen an. Untersuchen Sie, ob davon ausgegangen werden kann, dass ein beliebiges Gepäckstück mit mindestens 99 %iger Wahrscheinlichkeit nach spätestens 48 Stunden am Zielflughafen angekommen ist. Seite 4 von 5

5 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4. Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = Ihr Graph sei G. +, x R, x 0. 2x 2 a) Geben Sie die Polstelle der Funktion f an und untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x ±. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall 3 x 3. b) Berechnen Sie das bestimmte Integral ( + ) dx mithilfe des Hauptsatzes der 2x 2 Differential- und Integralrechnung. 0,5 Der Graph G, die Gerade mit der Gleichung y =, die Gerade mit der Gleichung y =,5 sowie die y-achse begrenzen im I. Quadranten eine Fläche vollständig. Erklären Sie, dass sich der Inhalt dieser Fläche durch den Term ( + ) dx 2x 2 4 berechnen lässt. 0,5 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.2 Analytische Geometrie Die Positionen zweier Mobilfunksender gleicher maximaler Reichweite werden vereinfacht durch Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene mit dem Punkt O als Koordinatenursprung beschrieben (eine Einheit entspricht 0 km). a) Der Kreis k mit der Gleichung x 2 + 0x + y 2 4y 7 = 0 beschreibt die Punkte maximaler Reichweite eines der Sender. Ermitteln Sie die Position M und die maximale Reichweite des Senders. b) Der andere Mobilfunksender befindet sich im Punkt M 2 (9 0). Die Sendebereiche beider Sender überlagern einander. Die sie beschreibenden Kreise schneiden einander in den Punkten S (3 8) und S 2. 2 = OM+ SM 2 Weisen Sie nach, dass OS gilt und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S 2. Ermitteln Sie eine Gleichung für die Menge aller Punkte, die jeweils von beiden Sendern gleich weit entfernt sind und innerhalb der Reichweiten beider Sender liegen. Seite 5 von 5

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