Unterlagen für die Lehrkraft

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Maya Koenig
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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 0/0 Mathematik B 8. Mai 0 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft

2 . Aufgabe: Differentialrechnung Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f(x) = x + x 7x 8x + ; x R. Der Graph heißt G f. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G f. b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass = eine Extremstelle von G f ist. Berechnen Sie die Koordinaten aller lokalen Extrempunkte von Extrema. x E Gf und ermitteln Sie die Art der c) Zeichnen Sie den Graphen G f im Intervall,5 x, 5 in ein kartesisches Koordinatensystem. d) Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente t an Gf an der Stelle x = 0. Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck vollständig. Berechnen Sie die Maßzahlen für den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. (zur Kontrolle: t (x) = 8x + ) e) Berechnen Sie alle weiteren Stellen, an denen zu t parallele Tangenten an Gf existieren. Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

3 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Koordinaten der Achsenschnittpunkte: (0 ) S y x (x = und x + x 7x = durch Probieren 8x + ) : (x ) = x ( x + x x ) : ( x ) = x + 5x + 6 N ( 0);N ( 0);N ( 0);N ( 0) + x x 5 (alternative Lösungswege möglich) b) Nachweis Extremstelle x E = : f (x) = x + 6x x 8 ; f ( ) = 0 f (x) = x + x ; f ( ) = 7 < 0 f ( 0,5) =,06 ; H( 0,5,06) 0 = x (x xe + 6x + 6x x 8 x 8) :(x +,56 ;, 56 xe ) = x + x 6 f (,56),9 > 0 ; f(,56) ; T(,56 ) f (,56),9 > 0 ; f(,56) ; T(,56 ) c) Graph G f Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

4 d) Tangentengleichung: f (x) = x + 6x x 8 ; f (0) = 8 = m f (0) = = n ; t (x) = 8x + Flächeninhalt: A = x y ; A = ; A = 9 FE 8 Umfang: u = x + y + z ; z = +,5 = 6,5, 09 u =,5 + +,09 = 5,59 LE e) Berechnung der x-werte: f (x) = x + 6x x 8 8 = x + 6x x 8 0 = x + 6x x ; x = 0 0 = x + 6x ; x, 77 x, 7 Summe 7 Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

5 . Aufgabe: Differential- und Integralrechnung Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = x x + ; x R und die zugehörige Funktion der ersten Ableitung f. Die Graphen der Funktionen verfügen über eine gemeinsame ganzzahlige Nullstelle x =. In der Darstellung sind die Graphen der Funktionen f und f abgebildet. a) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte der Funktion f und weisen Sie die Art der Extrema nach. b) Beschreiben Sie das Monotonieverhalten des Graphen der Funktion f. Begründen Sie Ihre Aussage. c) Die Graphen der Funktionen f und f schneiden sich. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte. d) Von den Graphen G f und Gf werden zwei Teilflächen vollständig eingeschlossen. Kennzeichnen Sie diese Flächen in der Abbildung. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes der eingeschlossenen Gesamtfläche. Aufgabenteil a) b) c) d) Summe Punkte Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

6 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) lokale Extrempunkte: f (x) = x ; f (x) = 6x 0 = x x = ; f ( ) = 6 < 0 ; H(- ); ; 0 = x E E x = f () = 6 > 0 T( 0) b) Monotonieverhalten: < x < ; streng monoton wachsend ; f ( ) = 9 > 0 < x < ; streng monoton fallend ; f (0) = < 0 < x < ; streng monoton wachsend ; f () = 9 > 0 (Begründung auch unter Verwendung der lokalen Extrempunkte möglich) c) Schnittpunkte der Graphen G f und Gf : f(x) = f (x) 0 = x (x x x x x 5 = 0 = x x + 5 mit x x + 5) : (x ) = x 6,5 = x 5 x = + 6,5 P (,5,0); P ( 0); P (,5,7) d) Flächeninhalt der Gesamtfläche: eingeschlossene Flächen kennzeichnen h(x) = f(x) f (x) = x A = A + A A A = =,5,5 A = 8 FE h(x)dx h(x)dx 9 = x x x x + 5 x + 5x, Die Gesamtfläche hat einen Flächeninhalt von 8 FE. Summe 9 Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 5 von Schuljahr 0/

7 . Aufgabe: Wahlpflichtthema Analytische Geometrie Bei Untersuchungen von Molekülstrukturen können diese als Punktmodelle beschrieben werden. Ein solches Modell, z. B. eines Methanmoleküls, kann als Tetraeder betrachtet werden. Um leichter Berechnungen durchführen zu können, ist es zweckmäßig, dieses in einen Würfel der Kantenlänge eine Längeneinheit ( LE) einzubeschreiben. Dabei stellen die Eckpunkte des Würfels P, Q, R und S die Lage der Atome dar. Der Punkt M liegt im Mittelpunkt der Raumdiagonalen OS und symbolisiert die Lage des Zentralatoms im Methanmolekül (siehe Skizze). a) Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte P, Q, R, S und M für dieses Modell. b) Bestimmen Sie den Abstand eines Atoms vom Mittelpunkt M. c) Berechnen Sie die Größe des Winkels PMQ. d) Gegeben sind die Geraden g und h. Dabei verläuft die Gerade g durch den Punkt R und die Gerade h durch den Punkt P. Auf beiden Geraden soll jeweils eine Raumdiagonale liegen. Stellen Sie Gleichungen für beide Geraden auf. Zeigen Sie rechnerisch, dass sich beide Geraden im Punkt M schneiden. e) Weisen Sie nach, dass die Maßzahl des Volumens des Tetraeders PQRS genau beträgt. Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 8 0 Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 6 von Schuljahr 0/

8 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) P ( 0 0) ; Q ( 0 0) ; R ( 0 0 ) ; S ( ) OS OM = ; M ( 0,5 0,5 0,5 ) b) MS = 0,5² + 0,5² + 0,5² = 0,75 = LE 0,87 LE c) Berechnung des Winkels PMQ = α : 0,5 MP = 0,5 ; 0,5 0,5 MQ = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 cos α = = = ; α = 09, 7 0,75 0,75 0,75 d) g: R(0 0 ) ; R ( 0) h: P( 0 0) ; P (0 ) g: 0 x = 0 + r ; h: x = s r = 0 + s 0 r = ; s = ; M (0,5 0,5 0,5 ) Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 7 von Schuljahr 0/

9 e) a V = ; PS = = V = ( ) = Summe 0 Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 8 von Schuljahr 0/

. Aufgabe: Wahlpflichtthema Zahlenfolgen Im Schaufenster eines Schmuckgeschäftes in Potsdam liegen Perlenketten nach der Länge aufsteigend sortiert.

10 . Aufgabe: Wahlpflichtthema Zahlenfolgen Im Schaufenster eines Schmuckgeschäftes in Potsdam liegen Perlenketten nach der Länge aufsteigend sortiert. Von den elf unterschiedlichen Ketten ist die kürzeste cm lang. Die Längenänderung in cm ist von Kette zu Kette gleich. Die sechste Kette hat eine Länge von 5,75 cm. Betrachten Sie die Längen der Ketten als eine Zahlenfolge ( a n ). Bild: eigenes Foto a) Wie groß ist die Differenz benachbarter Glieder? Welche spezielle Art der Folge entsteht unter dieser Bedingung? Geben Sie für ( a n ) eine explizite Bildungsvorschrift an. Bestimmen Sie die ersten sechs Glieder dieser Zahlenfolge. b) Ein Kunde möchte eine Kette aus der Schaufensterdekoration in einer Länge von 90 mm kaufen. Untersuchen Sie rechnerisch, ob das möglich ist. In einem Schmuckgeschäft in Cottbus wurden elf Perlenketten ebenfalls nach der Länge aufsteigend angeordnet. Die kürzeste Kette ist cm lang. Die Länge jeder weiteren Kette ergibt sich hier als die,-fache Länge der Vorhergehenden. Es entsteht für die Längen der Perlenketten eine Zahlenfolge ( ) n b. c) Um welche spezielle Zahlenfolge handelt es sich bei der Folge ( b n )? Bestimmen Sie eine explizite Bildungsvorschrift dieser Zahlenfolge. Berechnen Sie die ersten sechs Glieder dieser Zahlenfolge. d) Um wie viele Ketten müsste die Kollektion von Cottbus erweitert werden, so dass die letzte Kette mindestens m lang ist? e) Zeichnen Sie die ersten 6 Glieder beider Zahlenfolgen ( a n ) und ( n ) gemeinsames Koordinatensystem. b in ein f) Die Herstellungskosten aller Ketten in beiden Geschäften betragen,50 pro cm Kettenlänge. Ermitteln Sie durch Rechnung, in welchem Geschäft für die Herstellung der ersten drei Perlenketten weniger Kosten entstanden sind und geben Sie diese an. Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe Punkte 0 Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 9 von Schuljahr 0/

11 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Differenz der benachbarten Glieder: 5,75 =,75,75 : 5 = 0,75 Die Differenz beträgt 0,75 cm. Es handelt sich um eine arithmetische Zahlenfolge. explizite Bildungsvorschrift: a = + (n ) 0,75 a n n = 0,75n +,5 die ersten sechs Glieder dieser Zahlenfolge: a n = {;,75;,5;,5; 5; 5,75; ( )...} b) Ist eine Länge von 90 mm möglich? 90 mm = 9 cm 9 = + (n ) 0,75 n 0, ; nicht ganzzahlig Die Kette ist in der Länge nicht erhältlich. c) Es handelt sich um eine geometrische Zahlenfolge. explizite Bildungsvorschrift: bn =, n die ersten sechs Glieder dieser Zahlenfolge: ( b n ) = {;,86; 8,09;,7; 5,87; 0,5;...} Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 0 von Schuljahr 0/

12 d) Erweitern der Kettenanzahl auf mindestens m: m = 00 cm 00, log,55 n log,, n n = = n Die Kollektion müsste um Ketten erweitert werden. e) a n b n b n a n n f) cm entspricht,50 Kosten im Schmuckgeschäft in Potsdam: +,75 +,5 = 68,5 68,5,50 8,88 Kosten im Schmuckgeschäft in Cottbus: +,86 + 8,09 = 7,95 7,95,50 6, Die Kosten in Potsdam sind 8,88 und in Cottbus 6,. Im Schmuckgeschäft Potsdam sind weniger Kosten bei den ersten drei Perlenketten entstanden. Summe 0 Mathematik B Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

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