Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 204 Bandornamente und Flächenornamente

2 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente ii Inhalt 1 Bandornamente Symmetrieklassen Beispiele zu den sieben Symmetrieklassen Symmetrieklassen als Buchstabenfolgen Autostereogramme Keine Bandornamente Flächenornamente und Parkette Geschichte Die 17 Flächenornamente Klassifizierungsschema Arabische Kunst Anhang 1: Autostereogramme Anhang 2: Klassifizierungsschema Modul 204 der Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 1999 Erste Fassung (Einzelblätter) Sommer 2001 Überarbeitung und Erweiterung Sommer 2003 Fehlerbereinigung, kleine Änderungen Sommer 2005 Geändertes Layout Sommer 2007 Grafische Überarbeitung. Kürzungen und Erweiterungen Frühjahr 2009 Kürzungen Frühjahr 2011 Keine Änderung last modified: 3. Januar 2014 Hans Walser

3 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 1 1 Bandornamente 1.1 Symmetrieklassen Ein Bandornament auch Fries genannt ist ein (unendlich lang gedachtes) Bandmuster mit mindestens Translationssymmetrie. Wie viele Bandornamente gibt es? Die Frage wirkt befremdlich; natürlich gibt es unendlich viele Bandornamente. Dabei ist es allerdings so, dass zwei Bandornamente mit völlig verschiedenen Bildinhalten dasselbe Symmetrieverhalten zeigen können. Sie gehören zur selben Symmetrieklasse, während andererseits Bandornamente mit denselben Bildbestandteilen zu verschiedenen Symmetrieklassen gehören können. Die Frage nach der Anzahl der Symmetrieklassen abstrahiert von den konkreten Bildinhalten und setzt die abstrakte Symmetriestruktur in den Vordergrund. Verschiedene Bildinhalte, aber gleiche Symmetrieklasse (Schubspiegelsymmetrie): Gleiche Symmetrieklasse Gleiche Bildinhalte, aber verschiedene Symmetrieklassen (Translationssymmetrie, unten zusätzlich Schubspiegelsymmetrie): Gleiche Bildinhalte Diese theoretische Frage nach der Anzahl der Symmetrieklassen wird von Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe 1 auf zwei verschiedenen Wegen angegangen: 1. Sie zeichnen Bandornamente (ein dankbares Thema für den Einsatz von Graphiksoftware, bei welcher sich die Translationssymmetrie durch Kopieren bewerkstelligen lässt) und versuchen hinterher, die Beispiele zu ordnen und zu klassifizieren. 2. Andererseits werden auf theoretischem Weg die möglichen Symmetrien bei einem Bandornament festgehalten: Spiegelung an der Mittellinie, Spiegelung an einer senkrechten Linie, Punktsymmetrie, Schubspiegelsymmetrie sowie und das ist das Entscheidende Kombinationen davon. Eine Spiegelung an einer schrägen Symmetrieachse ist nicht möglich, weil dabei das Band seine horizontale Lage verlieren würde. Ebenso ist eine Vergrößerung ausgeschlossen, weil sonst das Band breiter würde. Mit diesem Vorgehen bewegen sich Schülerinnen und Schüler auf dem Boden der mathematischen Gruppentheorie.

4 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 2 Mit gruppentheoretischen Überlegungen kann gezeigt werden, dass es nur sieben Symmetrieklassen gibt. Die Erfahrung im Unterricht zeigt allerdings, dass Schülerinnen und Schüler oft vermeintlich mehr als sieben Klassen finden; es ist offenbar nicht ganz einfach, in verschiedenen Bandornamenten dieselben Symmetrieklassen zu erkennen Beispiele zu den sieben Symmetrieklassen Die einfachste Symmetrieklasse F 1 enthält nur Translationssymmetrie; die anderen Symmetrieklassen enthalten zusätzlich weitere Symmetriearten. Die Symmetrieklassen können durch Angabe der vorkommenden Symmetriearten beschrieben werden. Eindrücklicher ist allerdings die Illustration durch ein einfaches möglichst schematisches Beispiel. Dies kann durch stilisierte Buchstaben geschehen, wobei der Symmetrie zuliebe noch einige neue Buchstabenformen gebildet werden müssen, oder in Parkettform, indem ein Streifen mit Parkettsteinen gleicher Form und Größe belegt wird. Symmetrieklasse F 1 (nur Translationen): Symmetrieklasse F 2 (Punktspiegelungen): Symmetrieklasse F 3 (Spiegelung an horizontaler Achse, ebenfalls Schubspiegelung): Symmetrieklasse F 4 (Spiegelungen an vertikalen Achsen): Symmetrieklasse F 5 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, Spiegelung an horizontaler Achse, ebenfalls Schubspiegelung): Symmetrieklasse F 6 (Punktspiegelungen, Spiegelungen an vertikalen Achsen, ebenfalls Schubspiegelung):

5 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 3 Symmetrieklasse F 7 (Schubspiegelung): Die sieben Symmetrieklassen der Bandornamente Symmetrieklassen als Buchstabenfolgen Die sieben Symmetrieklassen können auch mit ausschließlich echten Buchstaben illustriert werden: F 1 bbbbbbbb F 2 bqbqbqbq F 3 ccccccccc F 4 bdbdbdbd F 5 oooooooo F 6 bdpqbdpq F 7 bpbpbpbp Die Symmetrieklassen durch Buchstaben dargestellt

6 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente Autostereogramme Im folgenden Bild haben wir nur Translationssymmetrie. Versuchen Sie, Ihre Augen so zu bewegen, dass Sie unten drei statt zwei schwarze Punkte sehen. Falls es nicht klappt, verwenden Sie das vergrößerte Bild im Anhang 1 (Querformat nehmen). Autostereogramm Der Grund für den stereographischen Effekt ist die leichte Störung der Translationssymmetrie bei den beiden roten Kreisen in der Bildmitte. Was ist im folgenden Bild anders? Autostereogramm

7 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente Keine Bandornamente Die folgenden beiden Figuren enthalten keine Translationssymmetrie, sind daher nach unserer Definition keine Bandornamente. Beide enthalten in der Mitte eine vertikale Symmetrieachse, das erste Beispiel zudem eine horizontale Symmetrieachse. Bei beiden Beispielen ist klar erkennbar, wie es weiter geht : Im ersten Beispiel wird die lange Achse der Ellipse nach außen jedesmal verdoppelt, im zweiten Beispiel ist es die Wellenlänge, die verdoppelt wird. 2 Flächenornamente und Parkette 2.1 Geschichte Keine Bandornamente George Pólya, Nachdem wir sahen, dass es bei den eindimensionalen Bandornamenten nur sieben Symmetrieklassen gibt, ist es naheliegend, zu vermuten, dass es auch bei zweidimensionalen Flächenornamenten nur endlich viele Symmetrieklassen gibt. Wir setzen wieder voraus, dass ein Flächenornament immer Translationssymmetrie, und dies sogar in zwei verschiedenen Richtungen, haben soll. Der Kristallograph Evgraf Stepanovich Fedorov konnte zeigen, dass es dann genau 17 solcher Symmetrieklassen gibt [Fedorov 1891]. Diese wurden von später von George Pólya ( , ETH Zürich, Stanford University) und Paul Niggli ( , ETH Zürich / Uni Zürich) wieder entdeckt [Pólya/Niggli 1924].

8 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente Die 17 Flächenornamente Die folgende Figuren zeigen Beispiele dieser 17 Flächenornamente je in Parkettform (nach [Martin 1982]) sowie mit einer Figur (Software Kali 4.1 PPC). Nr. 1 Nr. 2 Nr. 3

9 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 7 Nr. 4 Nr. 5 Nr. 6

10 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 8 Nr. 7 Nr. 8 Nr. 9

11 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 9 Nr. 10 Nr. 11 Nr. 12

12 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 10 Nr. 13 Nr. 14 Nr. 15

13 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 11. Nr. 16 Nr. 17 Die 17 Flächenornamente 2.3 Klassifizierungsschema Es ist sehr schwierig, ein gegebenes Flächenornament zu klassieren. Dazu hilft das im Anhang 2 gegebene Schema. In Flächenornamenten kommen folgende Symmetrietypen vor: Translationssymmetrie (immer), Achsensymmetrie, Schubspiegelsymmetrie, zwei-, drei-, vier- und sechsstrahlige Drehsymmetrie. Interessant ist, dass es keine fünfstrahlige Drehsymmetrie geben kann. Während man mit gleichseitigen Dreiecken, mit Quadraten oder mit regelmäßigen Sechsecken die Eben lückenlos auffüllen kann, ist dies mit regelmäßigen Fünfecken nicht möglich; die Winkel gehen nicht auf. Probleme mit dem regelmäßigen Fünfeck

14 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente Arabische Kunst Eine große Rolle spielen die Flächenornamente in der arabischen Kunst [Bourgoin 1973]. In den Ornamenten der Alhambra zu Granada sind 15 der 17 möglichen Symmetrieklassen als Ornament realisiert.

15 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 13 Anhang 1: Autostereogramme Tipp: Querformat

16 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 14 Tipp: Querformat

17 Hans Walser: Modul 204, Bandornamente und Flächenornamente 15 Anhang 2: Klassifizierungsschema Ornament ja nein Drehungen? ja Nur nein ja Nur nein Halbdrehungen? Translationen? ja Nur noch nein Translationen? ja Nur nein Drittelsdrehungen? 1 ja nein Spiegelachsen? 5 ja nein ja Nur noch nein Spiegelachsen? Translationen? ja Viertelsdrehungen? nein ja Drehzentrum nein außerhalb Spiegelachse? ja Drehzentrum nein außerhalb Spiegelachse? ja nein Spiegelachsen? ja Gleitspiegelachsen, nein die keine Spiegelachsen sind? 2 3 ja Orthogonale nein Spiegelachsen? ja nein Spiegelachsen? ja Spiegelachsen nein durch 4er Zentrum?