Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

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1 Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term besteht aus Zahlen und Buchstaben, die mit Rechenoperationen verknüpft sind. In der Mathematik gibt es einige Bezeichnungen für die Buchstaben, die Generationen von Schülern gequält haben, vor allem: Variable, Unbekannte, Konstante, Parameter. Welche Bezeichnung verwendet wird, hängt teilweise von der genauen Situation ab, aber für unsere Zwecke hier ist das ziemlich egal. Hier geht es nur darum, die Buchstaben als Platzhalter für (zuerst) unbekannte Zahlen zu betrachten. Einige einfache Beispiele für Terme: 42 x 2x 3 (a + b)(a b) x² 2ax + a² Eine Gleichung sieht dann, z.b., so aus: x² 2ax + a² = 42 Hier ist die Aussage: Zahlen für x und a werden so gewählt, dass x² 2ax + a² den Wert 42 ergibt. Eine Gleichung zu lösen bedeutet, Werte für die Variablen (bzw. Unbekannten) zu finden, sodass die Aussage stimmt. Manchmal gibt es eindeutige Werte, manchmal mehrere sogar unendlich viele passende Werte, manchmal gibt es gar keine. Die gefundenen Werte sind die Lösungen. Hier sind ein paar Beispiele: x + 1 = 3 Diese Gleichung hat die (einzige) Lösung x = 2, für alle anderen x-werte ergibt die linke Seite nicht 3. x + 1 = x + 2 Diese Gleichung hat keine Lösung. Wenn es dir nicht klar ist, probiere ein paar Zahlenwerte für x aus x² = 4 Hier gibt es zwei Lösungen, x = 2 und x = -2. x² = -4 Das sieht sehr ähnlich aus, hat aber keine Lösung. Eine etwas naive Möglichkeit, Lösungen zu finden, ist es, einfach mit verschiedenen Probewerten irgendwie auf die richtigen Werte zu kommen. Manchmal klappt es sogar. Es gibt jedoch, zumindest für einfache Gleichungen, zuverlässige Methoden, die Lösungen zu finden. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen können nicht nur algebraisch gelöst werden. Es gibt auch graphische Methoden, die zumindest Annäherungen für die Lösungen liefern können. Zuerst betrachten wir die zwei Terme (links und rechts vom = -Zeichen) als Funktionsterme. Um das anschaulicher zu machen, nehmen wir ein Beispiel: Die Gleichung x² 2x + 1 = x + 5 ist zu lösen. Wir lassen mit der linken Seite die Funktion f(x) bilden: f(x) = x² 2x + 1. Und mit der rechten Seite bilden wir g(x): g(x) = x + 5. Gleichung_loesen ( ) Seite 1 von 5

2 Schaubilder dieser zwei Funktionen können wir in einem Koordinatensystem zeichnen: Die ursprüngliche Gleichung könnte jetzt auch als f(x) = g(x) geschrieben werden. Aus der Gleichsetzung zweier Terme haben wir jetzt die Gleichsetzung zweier Funktionswerte (die Ausgabewerte der Funktionen). Das heißt, wir suchen x-werte (für die Funktionen sind das Eingabewerte), für die beide Funktionen den gleichen Ausgabewert liefern. Graphisch gesehen sind das die Schnittpunkte der Funktionsgraphen. Schnittpunkte sind die Eingabe-Ausgabe-Paare (x y)-paare bzw. Punkte, die beide Funktionen teilen. In diesem Fall ist es leicht, die Punkte abzulesen, P1(-1 4) und P2(4 9). Wenn dir noch nicht klar ist, was das Besondere an diesen Punkten ist (für die gegebenen Funktionen f(x) und g(x)), berechne f(-1) und g(-1) und auch f(4) und g(4). Es gibt hier keine anderen x-werte, die bei beiden Funktionen das gleiche Ergebnis liefern. Schnittpunkte rechnerisch bestimmen Hier haben wir Schnittpunkte graphisch bestimmt, um die Bedeutung einer Gleichung und deren Lösung zu veranschaulichen. Häufig wird man aber aufgefordert, die Schnittpunkte zweier Graphen rechnerisch zu bestimmen. Hier muss man nur das Umgekehrte der obigen Vorgehensweise verfolgen. Das heißt, die Funktionsterme gleichsetzen, sodass eine Gleichung entsteht. Dieser Teil ist kein Problem, schwieriger ist meistens die rechnerische Lösung der entstandenen Gleichung. Darauf gehen wir weiter unten ein. Für den Moment will ich nur dieses wichtige Gleichnis betonen: Schnittpunkt bestimmen <-- > Funktionsterme gleichsetzen Wenn wir uns auf die ursprüngliche Aufgabe zurückbesinnen, sollte es auffallen, dass die Gleichung überhaupt kein y drin hat, nur x. Die gesuchten Lösungen sind also nur x-werte. Die y-werte sind erst auf unserem Umweg über die Funktionen entstanden, sie haben für die ursprüngliche Aufgabe keine Bedeutung. Das wäre anders, wenn es die Aufgabe gewesen wäre, die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen zu bestimmen. Wenn wir rechnerisch auf Lösungen für x gekommen wären, müssten wir dann anschließend auch die y-koordinaten der Punkte bestimmen (indem wir die gefundenen x-werte in eine der beiden Funktionen einsetzten). Alternative graphische Darstellungen Um die Irrelevanz der y-werte für die Lösung der ursprünglichen Gleichung zu zeigen, werden wir jetzt die Funktionen etwas ändern. Es ist dir hoffentlich bekannt, dass man die zwei Seiten einer Gleichung ändern darf (ohne die Lösung zu ändern), solange man beide Seiten genau gleich behandelt, z.b., indem man auf beiden Seiten 1 addiert. Als erste Änderung isolieren wir das quadratische Glied, indem wir auf beiden Seiten 2x - 1 addieren: x² 2x + 1+ (2x - 1) = x (2x 1) zusammenfassen Gleichung_loesen ( ) Seite 2 von 5

3 x² = 3x + 4 Dann zeichnen wir die neuen Funktionen f1(x) = x² und g1(x) = 3x + 4: Um die Schnittpunkte zu sehen, müssen wir diesmal die y-achse stauchen. Die Punkte sind jetzt Q1(-1 1) und Q2(4 16). Die x-werte sind genau die gleichen wie bei P1 und P2 aber die y-werte sind anders kein Wunder, da die Funktionen jetzt anders sind. Es ging hier nur um die x-werte (die Lösungen der ursprünglichen Gleichung). Eine weitere Umwandlung der Funktionen, diesmal addieren wir (-x 5) zur ursprünglichen Gleichung, führt zu: x² 2x + 1+ (-x 5) = x (-x 5) x² 3x 4 = 0 Die neuen Funktionen sind dann: f2(x) = x² 3x 4 und g2(x) = 0 Ja, das ist auch eine Funktion. Wie sieht der Graph von g2 aus? Das ist nichts anderes als die x-achse (y = 0). Diesmal sind die Schnittpunkte R1(-1 0) und R2(4 0). Wieder sind die x-koordinaten unverändert. Diese letzte Form ist eine, die du gut verstehen solltest, sie kommt sehr oft vor, und zwar unter dem Begriff Nullstellen. Hier suchen wir die Nullstellen der Funktion f2(x), das sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x- Achse: die x-werte, für die die Funktion null als Ausgabewert liefert. Das Lösen einer Gleichung ist also nichts anderes als die Suche nach den Nullstellen einer Funktion, die durch Umstellung der Gleichung entsteht. Oder anders herum! Ich kann, z.b. die Nullstellen der Funktion q(x) = 4x² 9 als Lösung einer Gleichung betrachten: 4x² 9 = x² = 9 : 4 x² = 9/4 x1 = - 3/2; x2 = 3/2 Gleichung_loesen ( ) Seite 3 von 5

4 Wie löst man denn eine Gleichung rechnerisch? Aufgrund der Vielfalt der möglichen Umstellungen einer Gleichung ist es oft sinnvoll zuerst die gerade besprochene Form zu suchen, in anderen Worten, alles auf die linke Seite verscheiben, sodass es sich dann um eine Nullstellensuche handelt. Die weitere Vorgehensweise hängt ziemlich von der genauen Form der entstandenen Funktion ab. In einem anderen Dokument ( nullstellen ) wird die Bestimmung der Nullstellen von ganzrationalen (vor allem linearen und quadratischen) Funktionen behandelt. Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten Ein sehr einfaches Beispiel wäre y = x. Die Lösung dieser Gleichung wäre alle (x y)- Wertepaare, für die gilt y = x. Es gibt natürlich unendlich viele Lösungen, z.b. (0 0), (-1-1),(2,5 2,5),. Solche Gleichung kann man vielleicht am besten graphisch betrachten. In einem cartesischen Koordinatensystem dargestellt bilden alle diese Lösungen eine Gerade. Wenn wir eine weitere Beziehung zwischen den Variablen (also eine zweite Gleichung) einbringen, wird sich die Anzahl der Lösungen wahrscheinlich reduzieren, da wir vermutlich eine weitere Bedingung gestellt haben. Nehmen wir die Gleichung y = -0,5x + 2 dazu. Auch diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, z.b. (0 2), (-1 2,5),(2,5 0,75). Wenn wir die graphische Darstellung beider Funktionen betrachten, wird es klar, dass es genau eine Lösung gibt, die auch eine Lösung der ersten Gleichung ist der Schnittpunkt der Geraden. Die Lösung können wir nicht genau ablesen, der Punkt liegt bei ca (1,3 1,3), aber rechnerisch können wir genauer sein. Hierzu setzen die beiden Gleichungen gleich (da beide in der Form y =... angegeben sind, bedarf diese Methode hier keiner Umstellung): x = 0,5 x+2 +0,5 x 1,5 x = 2 :1,5 x = 2 1,5 = 4 3 Die Berechnung vom entsprechenden y-wert ist hier trivial. Wir setzen den x-wert in die erste Ausgangsgleichung (y = x) und erhalten y= 4 3. Zur Lösung solcher linearen Gleichungssysteme gibt es zwei weitere Methoden, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Für kompliziertere Fälle, vor allem mit mehr als zwei Unbekannten, ist das Additionsverfahren normalerweise die übersichtlichste Methode. In einem anderen Dokument ( Gleichungssystem ) wird eine Form dieser Methode (das Gaußverfahren) exemplarisch dargestellt. Ich war oben etwas vorsichtig mit der Formulierung beim Einbeziehen einer zusätzlichen Bedingung (der 2. Gleichung). Der Grund dafür ist, dass es nicht sicher ist, dass sich die Anzahl der Lösungen dadurch auf eins reduziert. Meistens wird es so sein, aber wenn die zwei Gleichungen parallelen Geraden entsprechen, gibt es dann keine Lösung (keinen Schnittpunkt). Es ist auch möglich, dass die zwei Gleichungen derselben Geraden entsprechen in dem Fall gibt es immer noch unendlich viele Lösungen. Gleichung_loesen ( ) Seite 4 von 5

5 n Unbekannte n Gleichungen Als allgemeine Regel gilt: Um eindeutige Werte für n Unbekannte zu bestimmen, braucht man auch n unabhängige Gleichungen. Ob die Gleichungen wirklich unabhängig sind, findet man vielleicht erst nach der Berechnung aus! Nicht lineare Gleichungssysteme Wenn das Gleichungssystem nicht linear ist (wie, z.b. das System, das aus den ersten Funktionen f und g gebildet werden könnte: y = x² 2x + 1 und y = x + 5), ist die Situation komplizierter und eine algebraische Lösung ist nicht immer möglich. Auf jeden Fall sollte man die Möglichkeit mehr als eine Lösung zu finden, nicht außer Acht lassen (wie bei den Funktionen f und g, die 2 Schnittpunkte haben). Gleichung_loesen ( ) Seite 5 von 5