Das dekadische Zahlensystem

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1 Das dekadische Zahlensystem Wir zählen 1 - Schilling - Münzen. Wie gehen wir vor? Zunächst bilden wir "Zehnerpakete", zählen diese und auch die restlichen einzelnen Stücke. Ist die Anzahl der Zehnerpakete groß, fassen wir je 10 Zehnerpakete zu einem größeren Paket, einem "Hunderterpaket" zusammen. Im Fall daß es viele Hunderterpakete gibt, fassen wir je 10 Hunderterpakete zu einem "Tausenderpaket" zusammen... u. s. w. Dekadische Einheiten: 10 Einer = 1 Zehner 10 E = 1 Z 10 Zehner = 1 Hunderter 10 Z = 1 H 10 Hunderter = 1 Tausender 10 H = 1 T 10 Tausender = 1 Zehntausender 10 T = 1 ZT 10 Zehntausender = 1 Hunderttausender 10 ZT = 1 HT 10 Hunderttausender = 1 Million 10 HT = 1 M 10 Millionen = 1 Zehnmillion 10 M = 1 ZM 10 Zehnmillionen = 1 Hundertmillion 10 ZM = 1 HM 10 Hundertmillionen = 1 Milliarde 10 HM = 1 Md 10 Milliarden = 1 Zehnmilliarde 10 Md = 1 ZMd 10 Zehnmilliarden = 1 Hundertmilliarde 10 ZMd = 1 HMd 10 Hundertmilliarden = 1 Billion 10 HMd = 1 B 1

2 Das Stellenwertsystem Die Zahl siebentausendsiebenhundertsiebenundsiebzig wird mit vier gleichen Ziffern geschrieben: 7777 Darin bedeuten diese Ziffern: 7T 7H 7Z 7E Man sagt: Die Ziffer 7 an der ersten Stelle von rechts hat den Stellenwert der Einer. Diese Ziffer stellt somit den Wert 7 dar. Die Ziffer 7 an der zweiten Stelle von rechts hat den Stellenwert der Zehner. Sie stellt den Wert 70 dar. Die Ziffer 7 an der dritten Stelle von rechts hat den Stellenwert der Hunderter und stellt den Wert 700 dar. Die Ziffer 7 an der vierten Stelle von rechts hat den Stellenwert der Tausender und stellt den Wert 7000 dar. Jede Ziffer einer Zahl hat somit einen Ziffernwert und einen Stellenwert. Bei diesem Zahlenaufbau spricht man von einem Stellenwertsystem und bezeichnet es wegen der Verwendung der dekadischen Einheiten als dekadisches System oder auch als Zehnersystem. In der Zahl 7077 deutet die Ziffer 0 an, daß der Stellenwert der Hunderter nicht besetzt ist. Beachten Sie: Das Zehnersystem ermöglicht es, mit Verwendung der zehn Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 jede auch noch so große Zahl anzuschreiben. Bemerkung: Unterscheiden Sie zwischen Ziffer und Zahl! Eine Zahl läßt sich mit Hilfe von Ziffern anschreiben. (Zum Vergleich: Ein Wort läßt sich mit Hilfe von Buchstaben anschreiben). In einer Zahl des dekadischen Systems ist jeder Stellenwert das Zehnfache des nächstkleineren (d. h. unmittelbar rechts stehenden) Stellenwertes und ein Zehntel des nächstgrößeren (d. h. unmittelbar links stehenden) Stellenwertes. 2

3 Stellenwerttafel Beispiele: Schreiben Sie die gegebenen Zahlen nur mit Ziffern an: 3 M 2 HT 3 T 2 H 8 E = ZM 3 M 9 HT 7 H 4 E = HM 3 ZM 9 ZT 4 Z = ZMd 5 ZM 9 ZT 3 Z = B 3 HMd 2 ZM 8 HT 9 T 7 Z = Verwenden Sie für die folgenden Aufgaben die Stellenwerttafel! 47 Z = 470 E 38 H = E 9 T 3 H = 930 Z 4 HT = H 3 M 2 ZT = T 5 ZM 4 M = ZT 8 HM 4 M = HT 53 T = E 18 ZT = E 3 ZT 2 T = Z 7 M 1 ZT = Z 9 M 3 ZT = H 9 ZM 5 ZT = H 3 ZM 8 HT = T 2 Md 3 ZM = T 4 Md 6 ZM = ZT 6 HMd 7 HM = ZT 3 Md 9 ZM = HT 4 B 3 ZMd 8 HM = HT 3

4 Die Dezimalzahlen Einführung: Jede Einheit (z. B. der Meter oder das Kilogramm) läßt sich in dezimale Teile unterteilen, so auch der Einer des Zehnersystems. Daraus ergibt sich folgende Verwandlungskette: Ein Einer kann auch in , , gleiche Teile geteilt werden. Ein solcher Teil heißt dann 1 Zehntausendstel (1 zt), 1 Hunderttausendstel (1 ht), 1 Millionstel (1 m),... Daraus folgt: 1t = 10 zt 1 zt = 10 ht 1 ht = 10 m Verwandlungskette Die rechts vom Komma stehenden dekadischen Einheiten (z, h, t,...) heißen dezimale Einheiten. 4

5 Eine Zahl mit dezimalen Einheiten heißt Dezimalzahl Beispiel: 24, (gesprochen: vierundzwanzig Komma null sieben eins drei vier). Beispiel: Schreiben Sie die folgenden Dezimalzahlen ausführlich mit dekadischen Einheiten an! 3,7 = 0,004 = 6,409 = 0,290 1 = 1, = 10, = Beispiel: Schreiben Sie als Dezimalzahl: 3E 8z = 1H 7E 4z = 2E 7h = 3z 8t = 4Z 5t = 2E 3h 5zt 1m = Beispiel: Verwandeln Sie in die angegebene dezimale Einheit: 7E = z 4E 2z = h 43Z = h 5T 1E = z 5H = z 5Z 3h = t 24h = zt 3z 9t = zt Beispiel: Verwandeln Sie die gegebene Dezimalzahl in die angegebene dezimale Einheit! 3,4 = h 1349 = z 24,6 = t 7,05 = h 0,1 = h 11,6 = t 5

6 Lösungen zu den Beispielen auf Seite 5: Beispiel: Schreiben Sie die folgenden Dezimalzahlen ausführlich mit dekadischen Einheiten an! 3,7 = 3E 7z 0,004 = 4t 6,409 = 6E 4z 9t 0,290 1 = 2z 9h 1zt 1, = 1E 1h 2t 3zt 7m 10, = 1Z 3z 3h 3t 3zt 4ht Beispiel: Schreiben Sie als Dezimalzahl: 3E 8z = 3,8 1H 7E 4z = 107,4 2E 7h = 2,07 3z 8t = 0,308 4Z 5t = 40,005 2E 3h 5zt 1m = 2, Beispiel: Verwandeln Sie in die angegebene dezimale Einheit: 7E = 70 z 4E 2z = 420 h 43Z = h 5T 1E = z 5H = 5000 z 5Z 3h = t 24h = 2400 zt 3z 9t = 3090 zt Beispiel: Verwandeln Sie die gegebene Dezimalzahl in die angegebene dezimale Einheit! 3,4 = 340 h 1349 = z 24,6 = t 7,05 = 705 h 0,1 = 10 h 11,6 = t 6

7 Die Längenmaße in der Dezimalschreibweise Um die Länge einer Strecke zu messen, verwendet man Längenmaße. Die Einheit der Länge ist der Meter (m). Folgende dezimale Teile werden davon abgeleitet: Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm) 1m = 10 dm 1m = 100 cm 1m = 1000 mm 1dm = 0,1 m 1cm = 0,01 m 1mm = 0,001 m 1dm = 10 cm 1dm = 100 mm 1cm = 10 mm 1cm = 0,1 dm 1mm = 0,01 dm 1mm = 0,1 cm Dekadisches Vielfaches des Meters: 1Kilometer (km) = 1000 m 1 m = 0,001 km Für die angegebenen Einheiten ergibt sich die folgende Verwandlungskette: Beispiel: Drücken Sie in m aus: 4dm = 36mm = 5dm 8cm = 14dm = 2,5mm = 2m 4dm = 25cm = 1cm 4mm = 4dm 3cm 8mm = 4m 9mm = 4m 3cm = 12cm = 7

8 Beispiel: Drücken Sie in dm aus: 4dm = 36mm = 5dm 8cm = 14dm = 2,5mm = 2m 4dm = 25cm = 1cm 4mm = 4dm 3cm 8mm = 4m 9mm = 4m 3cm = 12cm = Beispiel: Drücken Sie in cm aus: 4dm = 36mm = 5dm 8cm = 14dm = 2,5mm = 2m 4dm = 25cm = 1cm 4mm = 4dm 3cm 8mm = 4m 9mm = 4m 3cm = 12cm = Beispiel: Drücken Sie die folgenden Angaben der Reihe nach in m, dm, cm, mm aus: 3m 6dm 5cm 9mm 4m 8dm 7mm 6m 5dm 2cm 9mm Anleitungen zu den Beispielen: 8

9 Die Flächenmaße in der Dezimalschreibweise Die Einheit des Flächeninhaltes ist das Quadratmeter (m²). Das Quadratmeter ist der Flächeninhalt eines Quadrats von 1m Seitenlänge Aus den dezimalen Teilen des Meters dm, cm, mm leiten sich folgende dezimale Teile des Quadratmeters ab: Quadratdezimeter (dm²), Quadratzentimeter (cm²), Quadratmillimeter (mm²) 1dm² Zusammenhang der aufeinanderfolgenden Einheiten: 9

10 Größere Flächen (Grund und Boden) werden mit dekadischen Vielfachen des Quadratmeters gemessen: 1 Ar (a) = 100 m² 1 Hektar (ha) = m² 1 Quadratkilometer (km²) = m² Zusammenfassende Darstellung dieser Flächeneinheiten: Verwandlungskette: Beispiel: Die Verwandlungszahl der Flächenmaße ist 100! Drücken Sie in m² aus: Drücken Sie in dm² aus: 3dm² = 31m² = 16dm² = 95cm² = 18cm² = 44mm² = 45mm² = 0,8m² = 1dm² 4cm² = 3cm² 5mm² = Drücken Sie in ha aus! Drücken Sie in km² aus! 15km² = 20ha = 67a = 1500a = 1200m² = 3 000m² = 4a 30m² = 2ha 50a = Anleitung zum Lösen: Drücken Sie in m² aus: Drücken Sie in dm² aus: Drücken Sie in km² aus: 10

11 Lösungen zu den Beispielen auf Seite 10: Drücken Sie in m² aus: Drücken Sie in dm² aus: 3dm² = 0,03 31m² = dm² = 0,16 95cm² = 0,95 18cm² = 0, mm² = 0, mm² = 0, ,8m² = 80 1dm² 4cm² = 0,0104 3cm² 5mm² = 0,0305 Drücken Sie in ha aus! Drücken Sie in km² aus! 15km² = ha = 0,2 67a = 0, a = 0, m² = 0, m² = 0,003 4a 30m² = 0,043 2ha 50a = 0,025 11