Der Hinweis auf die schlaffe Hülle bedeutet, dass der Druck im Zeppelin konstant bleibt. Dann gilt: V2 = V1. ; 381 Liter cm

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1 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas 004 Orell Füssli Verlag AG 4. Das ideale Gas Vorgänge mit einer konstant gehaltenen Zustandsgrösse 0 Vorausgesetzt, dass das Volumen des Reifens konstant bleibt, gilt nach dem Gesetz von Amontons: p = p = p = 4. bar p Überdruck =.4 bar p a) p = ; 85 kpa b) F = pa; 7 kn Bemerkung: In der Praxis wird dieser Wert wohl kaum erreicht. Schon beim Abkühlen der Luft im Innern strömt Luft von aussen durch die ürspalte in den Gefrierschrank nach. Sonst könnte die ür auch nach einiger Zeit nicht wieder geöffnet werden. Grosse Gefrierschränke können auch ein Druckausgleichventil besitzen. Der Hinweis auf die schlaffe Hülle bedeutet, dass der Druck im Zeppelin konstant bleibt. Dann gilt: V = V ; 8 Liter Nach Gay-Lussac gilt: V d = = d = d = V d 7.5 cm 4 Das Volumen des Ballons beträgt V = 4 π r =. 0 m. a) Die Dichte der Luft im Inneren des Ballons ist n ρi = ρn = kg/m. i Die Masse der im Ballon enthaltenen Luft ist m = ρ V =.0 t. i i

2 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas 004 Orell Füssli Verlag AG n b) Die Masse der verdrängten Luft ist entsprechend ma = ρav = ρn V =.7 t. a Diese Masse verursacht den Auftrieb c) Die Nutzlast ist.7 t.0 t 0.4 t = 0. t d) Die Dichte der Luft im Inneren des Ballons nimmt um ρnn ρ = ρ nn = ρ i ab. i Die mögliche Zusatzlast ist m = ρ V = mi = 8.5 kg. i e) Der zweite Schatten stammt vom Ballon, aus dem der auf dem Bild sichtbare Ballon fotografiert wurde. 5 V + V + V V a) Nach Gay-Lussac gilt: = oder + = + = V V V Der Volumenausdehnungskoeffizient eines Gases ist demnach γ =. Für Luft von 0 o C beträgt er =.4 Promille pro Kelvin. Er ist also rund 50-9K mal grösser als derjenige von Aluminium. In einem festen Körper verhindern die Anziehungskräfte zwischen den Molekülen eine völlig freie Eroberung des Raumes durch die Erhöhung der Bewegungsenergie der eilchen. Beim Gas sind diese zwischenmolekularen Kräfte vernachlässigbar. b)

3 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas 004 Orell Füssli Verlag AG Allgemeine Zustandsgleichung 6 Aus pv n m erhält man V m 76 cm M Mp = = = = g CO sind.00 mol CO Aus pv = n erhält man V = n = 6.5 dm. p 8 Die Luftdichte ist proportional zum Druck und umgekehrt proportional zur absoluten emperatur: n p = n pn m= V =.9 kg 9 Dichte von CO bei Normdruck und 0 C: ρ N =.98 kg/m Druck des Gases in der Flasche: = V = m ;.4 MPa n p pn pn Vn V ρnn 40 pm a) ρ = = 0kg/m pv b) m = ρ V = 40g n = m. mol = M = c) n = pv =. mol Es sind also 0.8 mol entwichen. Das sind 6 g. p d) = p = p = 65bar p

4 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas Orell Füssli Verlag AG 4 Protokollbeispiel: Länge: 4.5 m Breite:.05 m Höhe:.40 m emperatur o C Volumen V = 0 m p = ρ = ρ ; 6 kg n m V n V pn 4 V V V V = = = Vor der Erwärmung waren 0. m. Es entweichen also. m Luft. n = pv, nachher n = pv pv Es entweichen also n n = = 48.5 mol Luft. R Es entweichen also.4 kg Luft. mol Luft im Zimmer. 4 a) p m ρv ρ π d n = = n = pn 6.6g b) Vor dem Abpumpen war die Luftmasse 00-mal grösser (000 hpa/5 hpa). Abgepumpt wurden 99 m = 0. kg. c) Da der Luftdruck senkrecht auf die Kugeloberfläche wirkt, muss man nur die Druckkomponenten in Zugrichtung berücksichtigen. π Man erhält F = A p = d p = 50kN. 4 d) Der Druckunterschied p würde unwesentlich von 995 hpa auf 000 hpa zunehmen. Entsprechend wäre die Kraft auch nur 0.5% grösser gewesen! 44 Die Massendifferenz von.6 g entspricht der Masse des Gases, das sich im Kolben gesammelt hat minus die Masse der Luft, die darin Platz hat. p n Diese wiegt ml = ρl, n =. g. pn Also ist die Masse des gesuchten Gases: m G = m m + ml =.76 g m m Aus pv = n = erhält man M = = g/mol. M pv Es könnte Chlorgas Cl mit der Molmasse 70.9 g/mol sein.

5 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas Orell Füssli Verlag AG 45 p V = n beschreibt die Luft bei 0 o C in der Flasche. pv Man erhält n = 0.09 mol = 9 cm Wasser sind 9 g Wasser. Weil die Molmasse von Wasser 8 g/mol beträgt, sind 9 g Wasser 0.5 mol Wasser. Bei 00 o C hat man insgesamt n = 0.59 mol Gas, das gegen die Wände drückt. n Aus p V = n erhält man p = = 8.bar. V Den Überdruck von 8. bar hält die Flasche nicht aus. Noch bevor das Wasser in der Flasche verdampft ist, explodiert sie. Zu beachten: wenn die Flasche nur Luft enthalten hätte, wäre der Druck bei 00 o C bloss.96 bar! 46 pm Die Dichte eines Gases kann man aus ρ = berechnen. Für das Heliumgas im Inneren des Ballons erhält man ρhe = 0.80 kg/m und für die vom Ballon verdrängte Luft ρ Luft =.5 kg/m. Das Volumen des Ballons ist V = π = 6 d m. Die Masse der verdrängten Luft (Auftrieb) beträgt demnach.6 g, diejenige des Heliums im Ballon hingegen bloss 5. g. Als «Nutzlast» erhalten wir.6 g 5. g 7. g = 0 g. Adiabatische Zustandsänderungen 47 a) Am Gas wird Arbeit verrichtet. Dadurch nimmt die Energie des Gases zu. Alle eilchen bewegen sich schneller, und daher ist die emperatur höher. b) Die Geschwindigkeiten der eilchen, die gegen den bewegten Kolben prallen, sind nach dem Stoss grösser als vorher. Die gewonnene kinetische Energie wird durch Stösse mit den anderen eilchen im Gas verteilt. c) Es muss gleich viel Wärme abgeführt werden, wie Arbeit zugeführt wird. Der Kontakt mit der kühleren Umgebungsluft kann die Wärmeabfuhr bewirken, wenn bei langsamer Kompression genug Zeit für den Wärmetransport vorhanden ist. d) Beispiel: I-89 Druck MPa adiabatisch 0 40 cm isotherm Volumen 00 cm

6 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas Orell Füssli Verlag AG 48 κ κ Es gelten die Adiabatengleichung p V = pv () und das allgemeine Gasgesetz pv pv = (). p Mit Gleichung () wird V berechnet: V = κ V p Mit Gleichung () kann nun und dann ϑ bestimmt werden: p κ = p ; 7 K = 0 C Die Luft kühlt also beim Steigen ab. Daher ist es kein Widerspruch, dass «warme Luft aufsteigt» und es oben doch meist kühler als unten ist. 49 κ κ Es gelten die Adiabatengleichung p V = pv () und das allgemeine Gasgesetz pv pv = (). Um den Druck p aus den Gleichungen zu eliminieren, teilen wir Gleichung () durch κ Gleichung (). Das Ergebnis ist κ V = V Diese Gleichung gibt das Ergebnis V = V κ ; cm 50 κ κ a) Es gelten die Adiabatengleichung p V = pv () und das allgemeine Gasgesetz pv pv = (). Um den Druck p aus den Gleichungen zu eliminieren, teilen wir Gleichung () durch κ κ Gleichung (). Das Ergebnis ist V = V Diese Gleichung gibt das Ergebnis κ V b) p = p ; 5.7 MPa V. V = V κ ;. 0 K = 850 C.

7 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas Orell Füssli Verlag AG 5 a) Die Abkühlung durch adiabatische Expansion lässt die emperatur unter den aupunkt für Alkohol (und eventuell Wasser) fallen. Der Nebel besteht aus schwebenden Alkohol-röpfchen. κ κ b) Es gelten die Adiabatengleichung p V = pv und das allgemeine Gasgesetz pv pv =. Die Elimination von V und V führt auf: p κ p = = p F p + π r κ ; 79 K = 6 C Kinetische Gastheorie 5 a) eilchen Masse m Geschwindigkeit v Impuls p kinetische Energie E kin Gas Druck p emperatur Volumen V eilchenzahl N, Stoffmenge n Dichte ρ Geschwindigkeitsverteilung f(v) b) Ein eilchen in einem würfelförmigen Kasten prallt in konstanten zeitlichen Abständen gegen dieselbe Wand. Die Zeit dazwischen ist der Quotient aus der doppelten Kantenlänge und der Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand. Die Impulsänderung beim Stoss führt zu einer Kraft auf die Wand. Der Mittelwert dieser Kraft für die Zeit zwischen zwei Stössen multipliziert mit der Anzahl N der eilchen ergibt die Kraft. Den Druck erhält man, indem man die Kraft durch die Fläche teilt. Das Quadrat der Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Wand darf im Mittel durch ein Drittel des Quadrates der Gesamtgeschwindigkeiten ersetzt werden. Das Ergebnis dieser formalen Berechnungen ist pv = Nmv. 5 a) Die Waage zeigt gleich viel an. Die mittlere Kraft, die die Flöhe beim Springen und Landen auf den Boden ausüben, entspricht genau ihrem Gewicht. Folgende Rechnung zeigt dies für den Fall ohne Luftreibung: Absprung- und Landegeschwindigkeit = v Impulsübertrag bei Start und Landung auf den Boden = p = mv + mv = mv

8 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas Orell Füssli Verlag AG Zeit zwischen zwei Sprüngen = Flugzeit = t = p g Mittlere Kraft F = = mv = mg t v Auch Komplikationen wie Flöhe, die gegen den Deckel prallen oder Luftreibung ändern nichts am Prinzip und am Ergebnis. b) Die eilchen im Gefäss üben durch ihre Bewegung und das Abprallen von den Wänden Kräfte auf diese aus. Die Kraft auf den Boden des Gefässes zeigt nach unten und muss etwas grösser sein als die Kraft auf den Deckel, die nach oben zeigt, damit die Waage etwas anzeigt. Das heisst, dass pro Sekunde entweder mehr eilchen gegen den Boden prallen oder heftiger als gegen den Deckel. Bei gleicher emperatur oben und unten im Kasten ist die eilchengeschwindigkeit gleich. Also müssen es mehr eilchen pro Sekunde sein, die gegen den Boden prallen. Und das bedeutet, dass die Dichte des Gases unten grösser ist als oben. Der Dichteunterschied ist eine Folge der Gravitation, also der Gewichtskraft auf die Gasteilchen. Er ist gerade so gross, dass die Waage die Masse der eilchen anzeigt. c) Nichts. Bei vernachlässigbarer Dicke des Deckels ist die Kraft auf dessen Oberseite (nach unten) und dessen Unterseite (nach oben) gleich gross und heben sich auf. Bei nicht vernachlässigbarer Dicke gibt es einen Unterschied der Kräfte auf Ober- und Unterseite (=Auftrieb). Dieser hängt aber bei horizontaler Verschiebung des Deckels nicht von dessen Lage ab. v g 54 a) In einer bestimmten Zeiteinheit prallen nun doppelt so viele Hagelkörner auf das Dach. Ihre Impulsänderung (sie liegt zwischen mv für vollkommen inelastischen und mv für vollkommen elastischen Stoss) ist gleichzeitig auch doppelt so gross. Das führt zur vierfachen Kraft auf das Autodach (48 N). b) Gasteilchen, die gegen eine Gefässwand prallen, bewirken eine Kraft. Die Kraft geteilt durch die Fläche ist der Druck im Gas. Der Druck ist proportional zum Quadrat der eilchengeschwindigkeit. Oder die eilchengeschwindigkeit ist proportional zur Wurzel des Druckes. Wegen der Geschwindigkeitsverteilung der eilchen muss allerdings noch ein geeigneter Mittelwert für die eilchengeschwindigkeit definiert werden, damit diese Aussage stimmt. 55 a) Während am offenen Ende die Gasmoleküle ungehindert ausströmen, stossen sie gegen das geschlossene Ende und prallen dort ab. Dabei üben sie eine Kraft F auf die Rakete aus, die diese antreibt. F

9 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas Orell Füssli Verlag AG b) Im Mittel fliegen die Hälfte der Moleküle nach links und stossen erst gegen die Wand, bevor sie nach hinten aus der Rakete fliegen. Die andere Hälfte fliegt aus dem riebwerk, ohne die Rakete je in Flugrichtung gestossen zu haben. Für die gegen die Wand prallenden eilchen ist aber die Impulsänderung je doppelt so gross wie der Impuls eines hinten hinausfliegenden eilchens. So ergibt sich bei beiden Betrachtungsweisen die gleiche Impulsänderung für die Rakete. 56 s a) vausbreitung = ; 0.7 m/s t b) v ; 0.46 km/s (mit der molaren Masse M = 0.04 kg/mol) M c) Die Moleküle erfahren viele Stösse mit den Luftmolekülen. Ihr Weg wird dadurch zu einem Zickzackkurs. 57 a) Die eilchenzahl ist gleich (Satz von Avogadro). Das allgemeine Gasgesetz pv = n liefert in beiden Fällen den gleichen Wert für die Stoffmenge n. b) Die Dichte ist bei dem Gas mit der grösseren eilchenmasse (Neon) grösser, weil eilchenzahl und Volumen gleich sind. c) Die mittlere eilchengeschwindigkeit ist bei dem Gas mit der kleineren Dichte p (Helium) grösser, weil die Dichte in der Formel v unter dem Bruchstrich ρ steht und der Druck gleich ist. d) Die mittlere kinetische Energie eines eilchens ist in beiden Gasen gleich. Sie ist ein Mass für die emperatur, die in beiden Gasen gleich ist: E kin = k e) Der mittlere Impuls eines eilchens ist beim Gas mit der grösseren eilchenmasse (Neon) höher. Die schwereren eilchen sind langsamer und prallen daher weniger häufig gegen die Wände als die leichten; da sie aber den gleichen Druck erzeugen sollen, muss ihr Impuls grösser sein: p pv pv p = mv = m = m = m ρ Nm N Da p, V und N gleich sind, ist der mittlere Impuls proportional zu m. 58 a) E = NEkin = Nk = n = pv b) E = pv ; 8 J c) Mit ρ =.0 kg/m p bei 0 C ergibt sich h = ;.9 km. ρg

10 Physik anwenden und verstehen: Lösungen 4. Das ideale Gas Orell Füssli Verlag AG 59 a) Der Druck sinkt, weil der Schweredruck des Wassers proportional zur iefe ändert. b) Das Volumen nimmt gemäss dem Gesetz von Boyle und Mariotte bei konstanter emperatur und eilchenzahl mit sinkendem Druck zu. c) Die Dichte sinkt, weil bei konstanter Masse das Volumen zunimmt. p d) Die mittlere Geschwindigkeit v = bleibt gleich. Sowohl der Druck als auch die ρ Dichte sind proportional zum Kehrwert vom Volumen V. e) Die mittlere kinetische Energie ist konstant, weil sie proportional zur emperatur ist. f) Die gesamte kinetische Energie ist konstant, weil die eilchenzahl und die mittlere kinetische Energie konstant sind. Zwar verrichtet die Blase beim Ausdehnen Arbeit, gleichzeitig fliesst ihr aber Wärme aus dem Wasser zu, so dass die emperatur konstant bleibt. 60 a) p v = ρ pv ; 48 m/s m Gas E b) = + ; 54 K (= 6 C) pv c) v pv + E ; 577 m/s m Gas d) Wegen = mgas v vervierfacht sich die emperatur auf 7 K (= 899 C). Auch die Gesamtenergie vervierfacht sich, so dass das Dreifache der vorhandenen 9 Energie dazukommen muss: E = pv ; 65 J.