Bereich Schwierigkeit Thema Matrizen XXX Übergangsprozesse. Rinderzucht II (aus Abi 2010) Mögliche Lösung

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1 Matrizen XXX Übergangsprozesse Rinderzucht II (aus Abi 21) Bei der Aufzucht von Rindern unterscheidet man zwischen Neugeborenen (N), ein- jährigen Kälbern (K) und geschlechtsreifen erwachsenen Tieren (E). Um eine Rinder- herde wirtschaftlich erfolgreich zu betreiben, muss man Kenntnisse über die Anzahl der Geburten, der Todesfälle, Entnahmen durch Schlachtung oder Verkauf und über die Verteilung der Herde in den drei Altersstufen (N, K, E) haben. In der hier betrachteten Rinderher- de werden die Übergänge zwischen den Altersstu- fen innerhalb eines Jahres durch die folgende Mat- rix A angegeben: a) Zurzeit befinden sich 4 Neugeborene, 15 Kälber und 1 Erwachsene in der Herde. Be- stimmen Sie die Verteilung auf die drei Altersstufen für das vergangene Jahr. b) Durch eine Krankheit überleben in einem Jahr nur 5% der Neuge- borenen. Dadurch verändert sich in diesem Jahr die Übergangsmatrix zu B. Bestimmen Sie die Matrix C = A B und interpretieren Sie die Kom- ponenten von C im Sachzusammenhang. Begründen Sie rechnerisch, dass es relevant ist, ob die Krankheit im ersten oder im zweiten Jahr auftritt. a) b) Die Reihenfolge hat einen Einfluss auf die Anzahl der einjährigen Kälber und der erwachsenen Rinder.

2 Matrizen XXX Austauschprozesse Vier Kaffeeröstereien (aus Abi 211) Vier Kaffeeröstereien konkurrieren mit ihren Kaffeesorten A, B, C und D um die Gunst der Käufer, wobei das monatliche Wechselverhalten der Käufer durch die Matrix Q beschrieben wird. a) Zeigen Sie, dass keine Käufer innerhalb von zwei Monaten von Sorte A zu B wechseln. b) Bestimmen Sie für die Übergangsmatrix Q die prozentuale Verteilung der Käufer, die sich im Folgemonat nicht ändert. c)

3 Matrizen XXX Austauschprozesse Personalentwicklung III (aus Abi 29) Ein Unternehmen der Automobil-Zulieferindustrie produziert an einem Standort A elektronische Bauteile für Personenkraftwagen. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einen Teil der insgesamt 12 Mitarbeiter, die in der Produktion arbeiten, langfristig in zwei andere Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück zum Standort A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten. Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten in der Übergangsmatrix M für den Wechsel der Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil bleiben. Untersuchen Sie, ob eine Verteilung von jeweils 4 Mitarbeitern an den Standorten A, B und C aus der Verteilung des Vorjahres entstanden sein kann. Falls ja, bestimmen Sie diese.

4 Matrizen XX Übergangsprozesse Rinderzucht I (aus Abi 21) Bei der Aufzucht von Rindern unterscheidet man zwischen Neugeborenen (N), ein- jährigen Kälbern (K) und geschlechtsreifen erwachsenen Tieren (E). Um eine Rinder- herde wirtschaftlich erfolgreich zu betreiben, muss man Kenntnisse über die Anzahl der Geburten, der Todesfälle, Entnahmen durch Schlachtung oder Verkauf und über die Verteilung der Herde in den drei Altersstufen (N, K, E) haben. In der hier betrachteten Rinderher- de werden die Übergänge zwischen den Altersstu- fen innerhalb eines Jahres durch die folgende Mat- rix A angegeben: c) Stellen Sie die Entwicklung der Rinderherde durch einen Übergangsgraphen dar. Beschreiben Sie die biologische Bedeutung des Matrixelementes a 13 =,4 und bestimmen Sie den Anteil der erwachsenen Tiere (E), die nach einem Jahr in der Rinderherde verblieben sind, sowie den Anteil der Neugeborenen, die das Erwachsenenstadium erreichen. d) Untersuchen Sie, ob es bei den in der Matrix A gegebenen Übergangsverhältnissen eine Ver- teilung auf die Altersstufen in der Rinderherde gibt, die sich im Folgejahr wiederholt. a) b)

5 Matrizen XX Austauschprozesse Personalentwicklung II (aus Abi 29) Ein Unternehmen der Automobil-Zulieferindustrie produziert an einem Standort A elektronische Bauteile für Personenkraftwagen. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einige Mitarbeiter, die in der Produktion arbeiten, langfristig in zwei andere Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück zum Standort A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten. Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten in der Übergangsmatrix M für den Wechsel der Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil bleiben. a) Zu Beginn arbeiten sämtliche 12 Mitarbeiter am Standort A. Berechnen Sie die Verteilung auf die Standorte A, B und C nach einem und nach zwei Jahren. b) Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung mit insgesamt 12 Mitarbeitern gibt, die im nächsten Jahr gleich bleibt. Falls ja, geben Sie diese Verteilung an. a) b)

6 Matrizen X Austauschprozesse Personalentwicklung I (aus Abi 29) Ein Unternehmen der Automobil-Zulieferindustrie produziert an einem Standort A elektronische Bauteile für Personenkraftwagen. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einige Mitarbeiter, die in der Produktion arbeiten, langfristig in zwei andere Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück zum Standort A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten. Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten in der Übergangsmatrix M für den Wechsel der Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil bleiben. a) Erklären Sie am Beispiel einer Zeile und einer Spalte von M, wie sich die Mitarbeiterzahlen innerhalb eines Jahres entwickeln werden. b) Stellen Sie die Entwicklung der Mitarbeiterzahlen in einem Übergangsdiagramm dar. c) Berechnen Sie M 2 und interpretieren Sie die Koeffizienten dieser Matrix im Anwendungszusammenhang. a) Beispielsweise bedeutet die 1. Spalte der Matrix M, dass 7 % an ihrem Standort A bleiben, 2 % von A zu Standort B und 1 % von A zu Standort C wechseln. Die 2. Zeile der Matrix M bedeutet, dass 2 % von A zu Standort B wechseln, 85 % an ihrem Standort B bleiben und keiner von C zu Standort B wechselt. b) c) Diese Matrix gibt an, welcher Prozentsatz der Mitarbeiter eines jeden Standortes nach jeweils 2 Jahren zu den jeweiligen anderen Standorten übergeht.

7 Matrizen XX Austauschprozesse Krankheit Beobachtungen zum Verlauf einer bestimmten Krankheit ergeben: a) Erklären Sie, wie man die Übergangsmatrix für einen Zeitraum von 5 Wochen (nebenstehend) erhält. 8% de Erkrankten sterben an der Krankheit. Die wieder Ge- nesenen haben aufgrund erhöhter Abwehrkräfte eine ge- ringere Wahrscheinlichkeit erneut zu erkranken als diejeni- gen, die noch nicht erkrankt waren. Das Diagramm gibt die vollständige Beschreibung der Über- gänge für eine Zeiteinheit von einer Woche wieder. b) Wie viel Prozent der anfangs Gesunden sind auch noch nach 5 Wochen gesund? Wie viel Prozent der anfangs Gesunden sterben innerhalb von 5 Wochen? c) In einer Siedlung von 15 Personen bricht die Krankheit aus. Beschreiben Sie die Situation nach einer Woche. a) Die Übergangsmatrix wird mit 5 potenziert (A 5 ). Dabei wird jeweils das Skalarprodukt von jeder Zeile mit jeder Spalte gebildet. b) 16,8% der anfangs Gesunden sind auch noch nach 5 Wochen gesund. 7,83% der anfangs Gesunden sterben innerhalb von 5 Wochen. c) 45 sind krank, 15 sind gesund.

8 Matrizen X Austauschprozesse Kinobesuch Die Kunden zweier Kinos A und B wechseln wie folgt von Besuch zu Besuch: 7% der Besucher A kommen beim nächsten Mal wieder, die übrigen gehen ins Kino B. 6% der Besucher von B kommen beim nächsten Mal wieder, die übrigen gehen in Kino A. a) Stellen Sie die Übergangsmatrix U für diesen Prozess auf. b) Im Kino A sind gerade 5 Besucher, in B 6 Besucher. Wie verteilen sich diese Besucher beim nächsten Mal auf beide Kinos? c) Bestimmen Sie eine Gleichgewichtsverteilung von 35 Besuchern. a) c) b),7x +,4y= x,3x+,6y= y In Kino B befinden sich 51 Besucher. In Kino A befinden sich 59 Besucher. Zusatzbedingung: Lösung: x= 2 y=15 In Kino A befinden sich in der Gleichgewichtsverteilung 2 und in Kino B 15 Besucher.

9 Matrizen XX Austauschprozesse Drei Kaffeeröstereien (aus Abi 211) Drei Kaffeeröstereien konkurrieren mit ihren Kaffeesorten A, B und C um die Gunst der Käufer, wobei folgendes monatliche Wechselverhalten der Käufer zu beobachten ist: 2 % der Käufer der Sorte A wechseln zu Sorte C, 1 % der Käufer der Sorte B wechseln zu Sorte A, 1 % der Käufer der Sorte B wechseln zu Sorte C, 1 % der Käufer der Sorte C wechseln zu Sorte A, 2 % der Käufer der Sorte C wechseln zu Sorte B. Gehen Sie davon aus, dass die übrigen Käufer bei der gewählten Kaffeesorte bleiben und sich das Wechselverhalten über längere Zeit nicht ändert. a) Skizzieren Sie das monatliche Wechselverhalten der Käufer in einem Übergangsdiagramm. b) Geben Sie eine Übergangsmatrix an und berechnen Sie die Verteilung nach einem Monat, wenn vorher 15 Sorte A, 3 Sorte B und 45 Sorte C gekauft haben. c) Die Übergangsmatrix ist eine stochastische Matrix. Interpretieren Sie diese Eigenschaft im Sachzusammenhang und beurteilen Sie die An- gemessenheit. a) b) c)

10 Matrizen X Übergangsprozesse / Populationswachstum Käferpopulation Bei der Entwicklung einer Käferpopulation werden die Entwicklungsstadien Eier (E), Larven (L) und Käfer (K) be- rücksichtigt. Es wird angenommen, dass jedes der Ent- wicklungsstadien einen Monat dauert. Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, aus den Larven entwickeln sich in einem Monat Käfer, die Käfer legen im folgenden Monat Eier und sterben dann. Die Käfer legen im Durchschnitt 8 Eier. Für die Überlebensraten in den einzelnen Stadien gilt: 25% der Eier werden Larven und aus 5% der Larven entwickeln sich Käfer. a) Stellen Sie die Entwicklung in einem Übergangsgraph und einer Über- gangsmatrix dar. b) Berechnen Sie für den Anfangszustand 4 Eier, 2 Larven und 12 Käfer die Folgezustände nach einem, zwei und drei Monaten. d) A=,25,5 8 e),25,25,25,5,5, = = = Nach einem Monat sind es 96 Eier, 1 Larven und 1 Käfer. Nach zwei Monaten sind es 8 Eier, 24 Larven und 5 Käfer. Nach drei Monaten wird wieder der Anfangszustand erreicht. Die Population entwickelt sich demnach periodisch mit einer Zyklenlänge von 3 Monaten.

11 Matrizen X Austauschprozesse Fliegenpopulation Eine Population von Fliegen enthält verschiedene Indivi- duen, die sich in dem Merkmal Augenfarbe (rot oder weiß) unterschieden. Beobachtungen über längere Zeit zeigen: Insekten mit roten Augen haben zu 7% Nach- kommen mit roten Augen und zu 3% Nachkommen mit weißen Augen. Insekten mit weißen Augen haben zu 8% Nachkommen mit weißen Augen und zu 2% Nach- kommen mit roten Augen. c) Stellen Sie die Entwicklung in einem Übergangsgraph und einer Über- gangsmatrix dar. d) Bestimmen Sie, wenn möglich, eine stabile Verteilung dieses Prozesses.,7,2 f) A=,3,8 g) Für eine stabile Verteilung gilt:,7,3,2 x x =.,8 y y Daraus ergibt sich das LGS,7x +,2 y = x,3x +,8 y = y,3x +,2y =,3x,2y = Zusätzlich gilt x + y = 1 y = 1 x Eingesetzt erhält man,3x,2(1 x) = x =,4 y =, 6 Als stabile Verteilung ergibt sich demnach: 4% rote Augen und 6% weiße Augen Diese Verteilung ist dadurch gekennzeichnet, dass sie sich in den weiteren Generationen nicht ändert.

12 Matrizen XX Austauschprozesse Diffusion Zwei Kammern sind durch eine Membran getrennt, die Ionen in beiden Richtun- gen durchlässt. Die Kammer 1 wird mit destilliertem Wasser gefüllt, in die 2. Kammer wird eine Salzlösung gegeben. Die Salzlösung enthält am Anfang 1. Ionen einer bestimmten Sorte. Für jedes Ion werden die minütlichen Aufenhalts- wahrscheinlichkeiten in den Kammern (1) und (2) durch dieses Übergangsdia- gramm dargestellt: a) Geben sie die Übergangsmatrix A an. b) Bestimmen Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und die Verteilung der Ionen nach 1,2 und 3 Minuten. c) Bestimmen sie die stabile Verteilung für diese Anfangsverteilung der Ionen. a) b) Aufenthaltswahrscheinlichkeit nach 1 Minute: 2 Minuten: 3 Minuten: Verteilung der Ionen für Anfangsverteilung nach 1 Minute: 2 Minuten: c) Stabile Verteilung bei oder oder nach 3 Minuten

13 Matrizen X Austauschprozesse Baumärkte In einem großen Wohngebiet werden drei Baumärkte O, P und G eröffnet.

14 Matrizen X Austauschprozesse Arbeitsverhältnisse Ein Land hat eine Bevölkerung von 5 Mio. Menschen im arbeitsfähigen Alter, davon sind zur Zeit rund 4 Mio. ohne Arbeit, 26 Mio. haben ein unbefristetes Arbeitsverhältnis, die übrigen ein befristetes. Statistische Untersuchungen ergebe, dass von den Arbeitslosen 9ß% auch nach einem Jahr noch ohne Arbeit sind, 2% haben dann ein unbefristetes Beschäftigungsverhältnis, die Übrigen haben dann eine befristete Stelle gefunden. Von den Beschäftigten in befristeten Arbeitsverhältnissen werden binnen eines Jahres 5% in unbefristete Arbeitsverhältnisse übernommen, 1% in die Arbeitslosigkeit entlassen und die Übrigen befristet weiter beschäftigt. Von den unbefristet Beschäftigten verlassen jährlich 7% aus verschiedenen Gründen ihr Arbeitsverhältnis und sind dann arbeitslos. d) Stellen Sie den Übergangsprozess Arbeitsverhältnisse anschaulich in einem Pfeildiagramm/Übergangsgraph und einer Matrix dar. e) Berechnen Sie die Entwicklung unter der Annahme konstanter Über- gangsraten für das nächste Jahr voraus.,9 h) z.b. A=,8,2,1,4,5,7,93 i) 4 x! = ,42 A x! = 8,32 34,26 D.h. 7,42 Mio. Menschen sind im nächsten Jahr ohne Arbeit, 8,32 Mio. Menschen stehen in einem befristeten Arbeitsverhältnis und 34,26 Mio. Menschen in einem unbefristeten.