(a) Wie lange braucht der Stein, um das Wasser zu erreichen? (b) Mit welcher Geschwindigkeit [km/h] kommt er an der Wasseroberfläche an?

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1 Mathematik für Biologen Aufgaben 1 Bestimmen Sie die Länge eines Kreisbogens: der Winkel sei, der Radius 0 km Der Kreisbogen hat die Länge km 2 Ein Stein fällt in einen Brunnen, dessen Wasseroberfläche 50 m unter der Erdoberfläche liegt (a) Wie lange braucht der Stein, um das Wasser zu erreichen? (b) Mit welcher Geschwindigkeit [km/h] kommt er an der Wasseroberfläche an? Das Fallen dauert Die Endgeschwindigkeit ist Sekunden [m/sec] 3 Die Holzmenge in einem jungen Wald nimmt (beinahe) exponentiell zu Die jährliche Zuwachsrate betrage 3,5 % (a) Welche Zunahme wird innerhalb von Jahren erwartet? (b) Wieviele Jahre verstreichen, bis sich die Holzmenge verdoppelt hat? Nach Jahren sollte die Zunahme % des Stoffs betragen Nach Jahren hat sich die Holzmenge verdoppelt 4 Der Weiße Nil wurde oberhalb des Staudamms von Jebel Aulia durch ein Unkraut, die Wasserhyazinthe, überwachsen 1958 bedeckte die Pflanze nur 12 km 2, aber der jährliche Zuwachs betrug 50 % Wie lange dauerte es, bis die ganze Fläche des Stausees von 200 km 2 bedeckt war? Es dauerte Jahre bis die ganze Fläche bedeckt war 5 Nach Angaben des Statistischen Bundesamts lebten im Jahr 1973 in der Bundesrepublik Menschen, 1974 waren es Menschen Unter der Annahme von exponentiellem Wachstum soll aus diesen Daten die Anzahl für das Jahr 20 prognostiziert werden Für das Jahr 20 werden Menschen prognostiziert

2 6 Wir betrachten Funktionen der Form f(t) = A sin(c(t D))+B (mit Konstanten A, B, C, D) Skizzieren Sie den Graph zweier solcher Funktionen mit Periode 7 und Amplitude 2, so daß f(0) = 3 gilt 7 Bestimmen Sie einen Funktionsterm f(x) = A sin(c(t D))+B zur Beschreibung des folgenden Graphen: 1 A = B = C = D = 8 Man bestimme, welche Funktion f(t) im folgenden Diagramm dargestellt ist:

3 9 Man bestimme, welche Funktion f(t) im folgenden Diagramm dargestellt ist: Man bestimme, welche Funktion f(t) im folgenden Diagramm dargestellt ist: Man bestimme den Mittelwert MW der Funktion f(x) = x 4 im Intervall [ 1, 2] MW = 12 Gegeben sind folgende beide Vektoren im R 7 a = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), b = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Berechnen Sie die Längen dieser Vektoren und den Winkel zwischen den Vektoren Es ist a = b = Der Winkel zwischen den Vektoren ist

4 13 Berechnen Sie die Entfernung (auf der Erdoberfläche) von Belgrad nach Kapstadt: Geographische Daten: Belgrad östliche Länge: 20, nördliche Breite: 45 Kapstadt östliche Länge: 20, südliche Breite: 35 (Zur Erinnerung: Der Erdradius ist 6370 km Und beachten Sie, daß die beiden Orten die gleiche östliche Länge haben; das macht die Aufgabe ganz einfach!) Die Entfernung ist km 14 Bestimmen Sie die Tangentialebene an das Paraboloid im Punkt (1, 1, 8) {(x, y, z) z = x 2 y 2 + } Antwort: 15 Das folgende Pfeildiagramm bescheibe die monatliche Entwicklung einer Population aus Käfern, Larven und Eiern: 8 Eier 0,25 0,5 Larven Käfer (Bedeutung der Pfeile: nach einem Monat schlüpfen aus den Eiern Larven, nach einem weiteren Monat werden aus Larven Käfern, diese legen nach einem Monat Eier und sterben dann; die Zahlenangaben besagen: aus 25 % der Eier entstehen Larven (die anderen werden von Tieren gefressen oder verenden); von den Larven entwickelt sich die Hälfte zu Käfern, die anderen sterben; jeder Käfer legt 8 Eier Es gebe anfänglich x = 40 Eier, y = 20 Larven und z = 12 Käfer Skizzieren Sie die Entwicklung über einen Zeitraum von 4 Monaten: man zeichne also drei stückweise lineare Funktionen und zwar im gleichen Koordinatensystem Anzahl t

5 16 Albinismus, der auf ein rezessives Allel a zurückgeht, tritt bei uns mit einer relativen Häufigkeit z = 5 5 auf (dh also: auf 0000 Menschen kommen 5 Albinos) Mit welcher relativen Häufigkeit ist der Genotyp Aa verbreitet (wieviele Leute sind also versteckte (halbe) Albinos )? (Es soll vorausgesetzt werden, daß das Hardy-Weinberg-Gesetz gilt, also Zufälligkeit der Paarung bezüglich des Merkmals Pigmentierung) Die relative Häufigkeit ist