Summe und Teilbarkeit
|
|
- Waltraud Winkler
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 BIP Kreativitätsgymnasium Leipzig Schuljahr 009/10 Begabtenförderung Mathematik - Klassenstufe 8 Summe und Teilbarkeit Matthias Richter 19. März 010 Aufgabenstellung Betrachten die Summe von n aufeinander folgenden Zahlen. Wann ist diese Summe durch n teilbar? Denition 1 Seien a, b N. Man nennt a einen Teiler von b (symbolisch: a b), wenn gilt: b = q a q N (1) Empirische Beispiele Betrachten zunächst die Summe dreier aufeinander folgender Zahlen (also n = 3). Beispiel 1 Wählen verschiedene Startpunkte: = 1 und = 39 und 3 39, da 39 = Diese Beispiele lassen vermuten: Lemma 1 Die Summe dreier aufeinander folgender Zahlen ist durch 3 teilbar. Beweis: Wählen als Startzahl k N. Dann sind die drei aufeinander folgenden Zahlen: k+ i = k + (k + 1) + (k + ) = 3k + 3 = 3 (k + 1) i=k D. h. die Summe dreier aufeinander folgender Zahlen ist ein Vielfaches von 3, m. a. W. durch 3 teilbar. Betrachten als nächstes die Summe von vier aufeinander folgenden Zahlen. Beispiel Wählen verschiedene Startpunkte: = 18 und = 54 und 4 54 Durch die beiden Gegenbeispiele ist gezeigt, dass die Vermutung für n = 4 nicht erfüllt ist. Eher ist k + (k + 1) + (k + ) + (k + 3) = 4k + 6 da 4 6 kann die Summe von 4 aufeinander folgenden Zahlen nicht durch 4 teilbar sein. Für n = 5 ergibt sich: Beispiel 3 Wählen verschiedene Startpunkte: 1
2 = 5 und = 70 und 7 70 Dies lässt vermuten: Lemma Die Summe von fünf aufeinander folgender Zahlen ist durch 5 teilbar. Beweis der Vermutung analog zum obigen Fall für n = 3: Beweis: Wählen k N als Startpunkt der Zahlenfolge. Dann ist: k+4 i = k + (k + 1) + (k + ) + (k + 3) + (k + 4) = 5k + 10 = 5 (k + ) i=k Überlegung zur Verallgemeinerung Bei der Summierung von n aufeinander folgender Zahlen mit Startpunkt k ergibt sich S = k + (k + 1) + (k + ) (k + n 1) () In dieser Reihe kommt n mal Startsummand k vor und die Summe der ersten n 1 Zahlen, d. h. k 1 S = nk + i (3) Oensichtlich gilt: n nk. Daher muss noch geprüft werden, ob der zweite Summand ebenfalls durch n teilbar ist. Für diese Berechnung der Summe der ersten n Zahlen gibt es eine nette Anekdote. Der weltberühmte geniale deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauÿ bekam als 9-jähriger von seinem Lehrer die Aufgabe gestellt alle Zahlen zwischen 1 und 100 zusammenzuzählen, also zu rechnen. Mathematisch kann man dies einfach mit dem Summenzeichen ausdrücken Was zunächst sehr leicht klingt, bereitet aber den Mitschülern von Gauÿ Schwierigkeiten, denn ein kleiner Fehler durch eine Unachtsamkeit lässt sich nicht so schnell korrigieren. Während seine Banknachbarn sich abmühten, schaut der Drittklässler Gauÿ ein paar Minuten aus dem Fenster und schreibt dann eine einzige vierstellige Zahl auf seine Tafel und bringt sie zu seinem Lehrer nach vorn, der über die korrekte Lösung in kürzester Zeit sehr erstaunt ist. Mehr über diese Geschichte und aus dem Leben von Gauÿ ndet man in [HM08]. Gauÿ hatte erkannt, dass die erste und die letzte Zahl (also 1 und 100), die zweite und die vorletzte ( und 99), die dritte und die drittletzte (3 und 98), usf. immer die gleiche Summe bilden, nämlich Von diesen paaren n-zahl und n-letzte Zahl gibt es 50. Daher gilt: 100 i = = = 5050 n i. Dieses Verfahren ist nicht nur für die Summe der ersten 100 Zahlen anwendbar, sondern kann wie folgt verallgemeinert werden:
3 Lemma 3 Gauÿsche Summenformel n i = (n ) + (n 1) + n = Beweis: Sei S = n i. Dann gilt für S: n(n + 1) (n ) + (n 1) + n n + (n 1) + (n ) (n + 1) (n + 1) (n + 1)... (n + 1) (n + 1) (n + 1) Anzahl der Paare ist n, also gilt: Daher gilt für die Summe der ersten n 1 Zahlen: n 1 i = S = n (n + 1) S = n (n + 1) (n 1) n = n n (4) (5) Daher kann Summe S von n aufeinander folgender Zahlen mit Startzahl k nach (3) auch in der Form geschrieben werden. S = nk + n n (6) Finden einer Vermutung Damit nun die Summe S durch n teilbar ist, muss n n n gelten 1. Nutzung einer Tabellenkalkulation (hier OpenOce Calc) hilft bei der Findung einer Vermutung. Abbildung 1: Teilbarkeitsbetrachtung in Tabellenkalkulation (mit bedingten Formatierungen) 1 bzw. n n n n n mod n = 0, wobei mod in Tabellenkalkulation als REST()-Funktion 3
4 Ebenso kann die Vermutung mit Hilfe einer Programmiersprache gefunden werden. In diesem Beispiel allerdings ohne die Gauÿsche Summenformel, weil diese von der Startzahl k = 1 ausgeht (wobei nach obigen Überlegungen - siehe (6) - der genau Wert von k keine Rolle spielt). Python-Code 1: Teilbarkeit der Summe 1 # Summenberechnung OHNE Summenformel, da verschiedene Startwerte k moeglich def summe (a, b ) : 3 sum =0 4 for i in range (a, b +1) : 5 sum += i 6 return sum 7 8 # Test der Teilbarkeit fuer n=1,..., 5 mit dem festen Startwert k=1 9 for i in range (1, 5) : 10 if summe (1, i ) % i == 0: 11 print i Programmdurchlauf: Verallgemeinerung Auf Grundlage der obigen Ergebnisse lautet die Vermutung: Lemma 4 Es sei n N. Die Summe von n aufeinander folgender Zahlen ist genau dann durch n teilbar, wenn n ungerade ist. Beweis: Nach (3) bzw. (6) muss nur nachgewiesen werden, dass n die Summe der ersten n 1 Zahlen teilt. Es sei n N ungerade, d. h. n = m + 1 (mit k N). Dann ist: n 1 i = n n = (m + 1) (m + 1) = 4m + 4m + 1 m 1 = 4m + m = m + m = m (m + 1) }{{} n = m n D. h. die Summe der ersten n 1 Zahlen ist durch n teilbar 4
5 Weiterführende Aufgaben Aufgabe 1 (* aus: [JM71, A.1.35]): Beweise, dass die Summe von 1000 beliebig unmittelbar aufeinander folgenden natürlichen Zahlen keine Primzahl sein kann. Lösung: Sei k N der 1000 aufeinander folgenden Zahlen, dann ist: 999 k + (k + 1) + (k + ) (k + 999) = 1000k + i = 1000k + = 1000k = 500 (k + 999) D. h. 500 ist ein Teiler dieser Summe, daher kann sie keine Primzahl sein. Aufgabe (* aus: [JM71, A.1.14]): Ist Vermehrt man das Produkt von vier beliebig aufeinander folgenden natürlichen Zahlen um 1, so erhält man eine Quadratzahl ein (richtiger) mathematischer Lehrsatz? Lösung: Auch hier hilft die Tabellenkalkulation zum nden einer Vermutung. Lassen z. B. eine Zahl eingeben. Daraufhin werden die 3 Nachfolger (jeweils Vorgänger plus Eins) dieser Zahl ermittelt. Sodann das Produkt vermehrt um eins berechnet um daraus die Wurzel zu ziehen. Ist das Resultat dieses radizierens eine natürliche Zahl kann man von ausgehen, dass für dieses Startzahl die Vermutung korrekt ist. Abbildung : Vermutung nden Überprüft man empirisch für beliebige Startzahl diese Vermutung, so ndet sich kein Gegenbeispiel. Dies lässt auf die Korrektheit der Vermutung schlieÿen. Somit muss noch ein Beweis dafür gefunden werden. Sei k N die Startzahl der vier unmittelbar aufeinander folgenden Zahlen, so ist k (k + 1) (k + ) (k + 3) + 1 = k 4 + 6k k + 6k + 1 = (k + 3k + 1) und somit eine Quadratzahl. Aufgabe 3 (**): Beweise, dass n 3 n durch n und 6 teilbar ist 5
6 Lösung: Es ist: n 3 n = n (n 1) nach dritter Binomischen Formel (a + b) (a b) = a b gilt: = n (n + 1) (n 1) = (n 1) n (n + 1) Von drei aufeinander folgender Zahlen ist mindestens eine gerade, daher ist das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen durch teilbar. Analog muss eine der drei Zahlen durch 3 teilbar sein. Somit ist n 3 n sowohl durch und 3 teilbar und damit auch durch 6. Auÿerdem ist n 3 n = n (n 1), also ein Vielfaches von n. Aufgabe 4 (** aus: [JM71, A.1.45]): Es ist zu beweisen, dass das Produkt von sechs beliebig unmittelbar aufeinander folgenden Zahlen stets durch 70 teilbar ist. Lösung: Sei ist P = n (n + 1) (n + ) (n + 3) + (n + 4) (n + 5). Dabei gilt für P : (i) sind genau drei Zahlen, die durch, (ii) mindestens eine durch 4 teilbar Zahl, (iii) genau zwei Zahlen durch 3 und (iv) mindestens eine durch 5 teilbar teilbar. Demnach ist P durch = 70 teilbar. Aufgabe 5 (** aus [JM71, A.1.16]): Es ist folgender Satz zu beweisen: Wenn die Summe zweier ganzer Zahlen durch 10 teilbar ist so stimmen die Quadrate dieser Zahlen in ihren Endziern überein. Lösung: Damit die Summe der beiden Zahlen a und b durch 10 teilbar ist, müssen ihre letzten Ziern sich zu 10 ergänzen: a mod 10 = a 0 b mod 10 = b 0 Es gilt: Somit auch a 0 + b 0 = 10 a 0 + b 0 0 (mod 10) a 0 b 0 (mod 10) a 0 b 0 (mod 10) 6
7 Literatur [JM71] Engel, W. ; Pirl, U. (Hrsg.): Aufgaben und Lösungen aus Olympiaden Junger Mathematiker der DDR. Band Volk und Wissen, [HM08] Mania, Hubert: Gauÿ. Eine Biographie. 3. Rowohlt, 008. ISBN
IV Beweise in der Mathematik
Propädeutikum 018 0. September 018 Mathematische Texte enthalten verschiedene Bezeichnungen der Sinneinheiten. Bezeichnungen in mathematischen Texten Axiome elementare Grundaussagen; werden nicht bewiesen
MehrFolgen und Reihen. 1. Folgen
1. Folgen Aufgabe 1.1. Sie kennen alle die Intelligenztests, bei welchen man zu einer gegebenen Folge von Zahlen die nächsten herausfinden soll. Wie lauten die nächsten drei Zahlen bei den folgenden Beispielen?
Mehr3 Vollständige Induktion
3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon
MehrFibonacci-Zahlen Schon vor 2000 Jahren befassten sich die Inder mit einer Zahlenfolge, die im modernen Europa auf den mittelalterlichen Gelehrten Leonardo Fibonacci aus Pisa zurückgeführt wird. Die nach
MehrZahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit
Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers. 1.2.0 1 Teilbarkeit Einstieg 1.1 Zeige, dass 900 ein Teiler von 10! ist. Tipp: Schreibe 900
MehrVorab : Von dem indischen Mathematiker D. R. Kaprekar stammt folgender Zusammenhang :
Seite 1 Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten Autor : Dipl.- Ing. Josef Meiler ; Datum : März 015 Vorab : Von dem indischen Mathematiker D. R. Kaprekar stammt folgender Zusammenhang : a) man
MehrSpielen mit Zahlen Seminarleiter: Dieter Bauke
Spielen mit Zahlen Seminarleiter: Dieter Bauke EINLEITUNG Was ist Mathematik? Geometrie und Arithmetik: Untersuchung von Figuren und Zahlen. Wir kombinieren Arithmetik und Geometrie mittels figurierter
MehrDas Quadratische Reziprozitätsgesetz. Stefanie Beule Sebastian Schrage
Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Stefanie Beule Sebastian Schrage 06. November 007 Inhaltsverzeichnis 3 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Notation.............................................. A Das
MehrDemo für
SUMMENZEICHEN Regeln und Anwendungen Gebrauchs des Summenzeichens mit Aufgaben aus vielen Bereichen für Angela Datei Nr. 4 Stand:. Oktober INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo für 4 Summenzeichen
MehrRadizieren mit dem Heron-Verfahren
Mathematik mit Python und OpenOffice Calc Radizieren mit dem Heron-Verfahren Matthias Richter. März 011 1 Idee Das Heron-Verfahren ist ein Algorithmus um die Quadratwurzel einer Zahl x R näherungsweise
MehrZahlenmengen. Bemerkung. R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R} mit i 2 = 1 komplexe Zahlen.
Zahlenmengen N = {0, 1,, 3,...} natürliche Zahlen, Z = {...,, 1, 0, 1,,...} ganze Zahlen, Q = {p/q : p Z, q N \ {0}} rationale Zahlen, R Menge aller Dezimalbrüche: reelle Zahlen, C = {a + i b : a, b R}
MehrMengenoperationen, Abbildungen
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Z6 Rechengesetze für Mengenoperationen Lineare Algebra 1 WS 2006/07 en Blatt 3 06.11.2006 Mengenoperationen,
MehrKölner Mathematikturnier 2011 Das Turnierlogo
Kölner Mathematikturnier 2011 Das Turnierlogo Was sind denn das für komische Punkte im Turnierlogo?, fragt Ihr Euch sicherlich. Unser Turnierlogo stellt einee Visualisierung der Primzahlen in den Gaußschen
Mehr1 Fibonacci-Zahlen und Teilbarkeit
3. Juli 2002 Fabian Meier Fibonacci-Zahlen und Teilbarkeit Dies ist das Skript zu dem Vortrag, den ich auf der Sommerakademie 200 und 2002 gehalten habe. Fehler bitte an folgende Adresse: an@fabianmeier.de..
MehrGeheimnisvolle Zahlentafeln Lösungen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Geheimnisvolle Zahlentafeln Lösungen Aufgabe 1 (3-mal-3-Zahlentafel (nur für die Klassen 7/8) [4 Punkte]). Finde je eine geheimnisvolle
MehrTeilbarkeitsregeln.
Teilbarkeitsregeln http://www.olympiade-mathematik.de Inhaltsverzeichnis 1 Begrie..................................................... 2 2 Einfache Regeln................................................
MehrA N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl
MehrHinweise zu den Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen
Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN: 978--66-579-9 Hinweise zu den Anregungen zum Nachdenken und für eigene Untersuchungen zu A.1: n 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 15 16 17 18 19
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =
MehrVollständige Induktion
Kantonsschule Olten Hardwald 4600 Olten Vollständige Induktion Andreas Stoll Andreas Pulfer Erfänzungsfach Anwendungen der Mathematik (2017/18) 1 Beweisen 1.1 Axiome und Prämissen Bei einem Beweis wird
MehrReihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann
Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion Robert Klinzmann 3. Mai 00 Reihen / Partialsummen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Das Prinzip der vollständigen Induktion 3 3 Herleitung der Gauß schen
MehrKapitel 3. Reihen und ihre Konvergenz
Kapitel 3 Reihen und ihre Konvergenz Abschnitt 3.1 Der Reihenbegri und erste Beispiele Denitionen zu Reihen, 1 Denition. Sei (a n ) n N0 eine Folge reeller Zahlen. Für n N 0 heiÿt dann die Zahl s n :=
MehrZahlenfolgenZahlenfolgen. Zahlenfolgen. Anna Rodenhausen. Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze?
Zahlenfolgen Anna Rodenhausen Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? # Linien # Dreiecke # Trapeze 0 3 0 3 3 6 5 0 5 6 5 3 Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze? # Linien
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe
Mehr7. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen
7. Mathematik Olympiade. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 9 Saison 967/968 Aufgaben und Lösungen OJM 7. Mathematik-Olympiade. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 9 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen
MehrVorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 WWU Münster, Fachbereich Mathematik und Informatik PD Dr. K. Halupczok Skript VK3 vom 15.9.2016 VK3: Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen
MehrÜbungspaket 22 Rekursive Funktionsaufrufe
Übungspaket 22 Rekursive Funktionsaufrufe Übungsziele: Skript: 1. Technische Voraussetzungen für rekursive Funktionsaufrufe 2. Umsetzung mathematisch definierter Rekursionen in entsprechende C-Programme
MehrElementare Mengenlehre
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,
MehrLösung 10 Punkte Teil a) Auch bei Fortsetzung der Folge der Quadratzahlen liefert die zweite Differenzenfolge
0 Mathematik-Olympiade Stufe (Schulstufe) Klasse 9 0 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden ev wwwmathematik-olympiadende Alle Rechte vorbehalten 00 Lösung 0 Punkte Teil a) Auch bei
Mehrschreiben, wobei p und q ganze Zahlen sind.
Schülerinfotag 1. Man zeige, dass keine rationale Zahl ist. Das heißt lässt sich nicht als p q schreiben, wobei p und q ganze Zahlen sind. Proof. Wir werden das Prinzip Beweis durch Widerspruch verwenden.
MehrArithmetik. Bemerkungen zu Primzahlen
Arithmetik Bemerkungen zu Primzahlen Die Suche nach Mustern und Tendenzen spielt bei der Erforschung der Verteilung der Primzahlen eine wichtige Rolle. Es gibt unendlich viele Primzahlen. (Beweis von Euklid)
MehrZusatz: Einführung in die Mathematischen Beweistechniken
Zusatz: Einführung in die Mathematischen Beweistechniken Quick-Start Informatik Theoretischer Teil WS 11/12 Jens Keppeler 18. September 2012 Die Mathematik befasst sich mit Definitionen, Sätze, Lemma,...
MehrBeispiellösungen zu Blatt 67
µathematischer κorrespondenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufgabe Beispiellösungen zu Blatt 7 Finde alle natürlichen Zahlen n, für die n+9 eine natürliche Zahl ergibt.
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 26. Oktober 2017 1/35 Abbildungen Boolesche Algebra Summen- und Produktzeichen Definition
MehrPythagoreische Tripel
Pythagoreische Tripel Ingolf Giese Mai 2018 Pythagoreische Tripel - oder Pythagoreische Zahlentripel - sind drei (positive) ganze Zahlen, bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich
MehrKombinatorik von Zahlenfolgen
6. April 2006 Vorlesung in der Orientierungswoche 1 Kombinatorik von Zahlenfolgen Einige Beispiele Jeder kennt die Fragen aus Intelligenztests, in denen man Zahlenfolgen fortsetzen soll. Zum Beispiel könnten
MehrMathematik 1 (Studiengang Betriebsökonomie) Themenblock 2: Folgen und Reihen
Mathematik 1 (Studiengang Betriebsökonomie) Building Competence. Crossing Borders. Lernziele Sie können erklären, was man unter einer Folge versteht. die explizite und rekursive Definition von Zahlenfolgen
MehrVollständige Induktion
Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen
Mehr5 Grundlagen der Zahlentheorie
5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk
Mehr8 Summen von Quadraten
8 Summen von Quadraten A. Summen von zwei Quadraten. Sei p eine Primzahl. Beispiele. = 1 + 1, 5 = 1 +, 13 = + 3 Aber 3 und 7 sind nicht Summen von zwei Quadraten. 8.1 Satz. Genau dann ist p Summe von zwei
Mehr1 Übersicht Induktion
Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Dipl.-Inform. Markus Bender 0.11.01 (v1.3) 1 Übersicht Induktion 1.1 Allgemeines Unter einem induktiven Vorgehen versteht
MehrZusatz: Einführung in die Mathematischen Beweistechniken
Zusatz: Einführung in die Mathematischen Beweistechniken Quick-Start Informatik Theoretischer Teil WS 11/12 Jens Keppeler 7. Oktober 2011 Das folgende Zusatzskript, sowie die dazugehörigen Folien orientieren
MehrZahlentheorie I. smo osm. Thomas Huber. Inhaltsverzeichnis. Aktualisiert: 1. August 2016 vers Teilbarkeit 2.
Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie I Thomas Huber Aktualisiert: 1. August 2016 vers. 1.0.0 Inhaltsverzeichnis 1 Teilbarkeit 2 2 ggt und kgv 3 3 Abschätzungen 6 1 Teilbarkeit Im Folgenden
Mehr2 Mengen. Menge. Die Summenformel. Die leere Menge. Das kartesische Produkt. Die Produktformel. Die Potenzmenge. Die Binomialzahlen.
2 Mengen Menge Die Summenformel Die leere Menge Das kartesische Produkt Die Produktformel Die Potenzmenge Die Binomialzahlen Der Binomialsatz Unendliche Mengen Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 A. Beutelspacher,
MehrDamen, Läufer, Türme, Primzahlen, Modulo
Damen, Läufer, Türme, Primzahlen, Modulo Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Zahlentheorie, die Königin Als Königsdisziplin der Mathematik bezeichnet
MehrProgrammieren lernen mit Groovy Rekursion Rekursion und Iteration
Programmieren lernen mit Groovy Rekursion Seite 1 Rekursion Rekursion Ursprung lat. recurrere ~ zurücklaufen rekursive Definition Definition mit Bezug auf sich selbst Beispiel Fakultätsfunktion n! 0! =
MehrMersennesche Primzahlen
Mersennesche Primzahlen Michael E. Pohst Technische Universität Berlin Die Zahlen von Mersenne Zu einer natürlichen Zahl n wird die zugehörige Mersennezahl M n als M n = 2 n 1 definiert. Für n = 2, 3,
MehrSachinformation Haus 2.1: Summen aufeinander folgender Zahlen
Sachinformation Haus 2.1: Summen aufeinander folgender Zahlen Worum geht es? Die Auseinandersetzung mit Aufgabenstellungen aus dem mathematisch substanziellen Problemfeld Summen von aufeinander folgenden
MehrLogik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau
Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft
MehrTeilbarkeit und Teilbarkeitsregeln: Wiederholung
Wiederholung Die Frage nach der Teilbarkeit von natürlichen Zahlen spielt in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle. Du kennst sicherlich schon einige Fakten und Regeln dazu oder hast zumindest schon einmal
Mehr(Beispiel eines gleichschenkligen Dreiecks aus Gitterpunkten.)
Fachbereich Mathematik Tag der Mathematik 12. November 2011 Klassenstufen 9, 10 (Beispiel eines gleichschenkligen Dreiecks aus Gitterpunkten.) Aufgabe 1 (5+5+10 Punkte). Wir betrachten sechzehn Punkte
MehrBeweisen und Argumentieren für Lehrer(innen) Die Aufgaben, die hier vorgestellt werden, befassen sich mit den folgenden Punkten:
1 Beweisen und Argumentieren für Lehrer(innen) Die Aufgaben, die hier vorgestellt werden, befassen sich mit den folgenden Punkten: Beweise, die eine Behauptung nicht nur bestätigen, sondern auch erklären,
MehrZerlegungen von {1, 2,..., n} in gleichmächtige summengleiche Teilmengen
01-1 07-1 1 Eingliederung im Mathematikunterricht Klasse/Stufe: ab Klasse 5 Stoffliche Einordnung: Das Arbeitsblatt gehört primär zum Thema Problemlösen, die Schüler/innen sollen dabei vor allem selbstständig
Mehr1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Rechnen mit Kongruenzen. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft (MSG) im Jahr 2013. Die vorliegende
MehrFachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen
MehrZahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade
Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Clemens Heuberger 22. September 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Dezimaldarstellung 1 2 Teilbarkeit
Mehr47. Österreichische Mathematik-Olympiade Gebietswettbewerb für Fortgeschrittene Lösungen
47. Österreichische Mathematik-Olympiade Gebietswettbewerb für Fortgeschrittene Lösungen 31. März 016 Aufgabe 1. Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen k und n, die die Gleichung erfüllen. k 016 = 3
MehrAlgebra. 1 = a u + b,
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Nils Scheithauer Walter Reußwig TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT WS 08/09 11. November 2008 Algebra 5. Übung mit Lösungshinweisen Aufgabe 23 Es sei R ein euklidischer Integritätsbereich.
MehrPrimzahlen und Pseudoprimzahlen
1 Primzahlen und Pseudoprimzahlen Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS), Berlin 20. Tag der Mathematik 9. Mai 2015, Beuth Hochschule für Technik Berlin Primzahlen
MehrDer Lucas Lehmer Test
Michael E. Pohst Der Lucas Lehmer Test Dieser Vortrag wird gehalten am 12. Juni 2004 anläßlich der Langen Nacht der Wissenschaften http://www.math.tu-berlin.de/~kant/mersenne.html
Mehr1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl
MehrDer chinesische Restsatz mit Anwendung
Der chinesische Restsatz mit Anwendung Nike Garath n.garath@gmx.de Martrikelnummer: 423072 Seminar: Verschlüsslungs- und Codierungstheorie Dozent: Dr. Thomas Timmermann Sommersemester 2017 Inhaltsverzeichnis
MehrLogik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016
Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe16 Ronja Düffel 21. März 2016 Logik und Beweise Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe.
MehrPrimzahlen und Damen
Weihnachtsvorlesung 2003 Primzahlen und Damen Zwei Ausflüge in die Wunderwelt der Mathematik. Die Inhalte der heutigen Vorlesung werden nicht Gegenstand von Prüfungen und Leistungskontrollen sein. Dennoch
MehrWie beweise ich etwas? 9. Juli 2012
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Wie beweise ich etwas? 9. Juli 2012 1 Was ist ein Beweis? 1.1 Ein Beispiel Nimm einen Stift und ein Blatt Papier und zeichne fünf
MehrLogik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2015
Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe15 Ronja Düffel 23. März 2015 Logik und Beweise > Motivation Wozu Beweise in der Informatik? Quelle:http://www.capcomespace.net Logik und Beweise
MehrEine kurze Tabelle soll uns erste Einsichten erleichtern. Der Strich heißt, dass es eine solche Darstellung nicht gibt.
Summen von Quadraten 1 Physikalische Motivation Eine schwingende Saite hat eine Grundfrequenz F, die von Länge, Dicke, Beschaffenheit der Saite und so fort abhängt Neben dieser Grundfrequenz gibt es auch
Mehr6. Mathematik Olympiade 4. Stufe (DDR-Olympiade) Klasse 10 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen
6. Mathematik Olympiade 4. Stufe (DDR-Olympiade) Klasse 10 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 6. Mathematik-Olympiade 4. Stufe (DDR-Olympiade) Klasse 10 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen
Mehr1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen
3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern
MehrGrundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie
Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend
MehrZahlentheorie. Stefan Takacs Linz, am 2. Juni 2004
Zahlentheorie Anna Rieger 0355556 Stefan Takacs 0356104 Daniela Weberndorfer 0355362 Linz, am 2. Juni 2004 Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit über die grundlegenden Sätze der Zahlentheorie beschäftigt
MehrTag der Mathematik 2016
Tag der Mathematik 016 Mathematischer Wettbewerb, Klassenstufe 9 10 30. April 016, 9.00 1.00 Uhr Aufgabe 1 Der Mittelwert von 016 (nicht unbedingt verschiedenen) natürlichen Zahlen zwischen 1 und 0 16
MehrI Rechengesetze und Rechenarten
Propädeutikum 2018 17. September 2018 Primfaktoren I Natürliche und ganze Zahlen Primfaktorzerlegung Klammerausdrücke Primfaktorzerlegung Jede natürliche (und auch ganze) Zahl n N kann in ein Produkt von
MehrPrimzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st
Primzahlen Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn 12.08.2010 1 Die Primfaktorzerlegung Wir kennen die natürlichen Zahlen N = 1, 2,..., die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen (Brüche
Mehrvon Markus Wurster Titelseite und Buchrücken für Ringbuch
Dreieck Zahlen DREIECK ZAHLEN von Markus Wurster Titelseite und Buchrücken für Ringbuch Dreieck Zahlen von Markus Wurster 1. Quadratzahlen Was Quadratzahlen sind, weißt du bestimmt: Man kann Perlen auf
MehrVollständige Induktion
30. September 008 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger d.h. n : (n N! n
MehrM Thaleskreis über AC. Damit ist das Dreieck ABC rechtwinklig; nach der ersten Eigenschaft sogar gleichschenklig recht-
1987 Runde 1 Aufgabe 1 In der Figur sind die drei herausgehobenen Punkte die Mittelpunkte der Kreisbögen. Bestimme durch geometrische Überlegungen die Größe des Winkels α, der von den beiden sich schneidenden
MehrKapitel 1 Mengen. Kapitel 1 Mengen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 25
Kapitel 1 Mengen Kapitel 1 Mengen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 25 Kapitel 1 Mengen Definition 1.1 (Menge) Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen.
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen
Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter WS 2009/10 Alles ist Zahl? Wenn in der modernen Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist, woher kommen dann die Zahlen? Sind Zahlen
MehrQuadrate und Wurzelziehen modulo p
Quadrate und Wurzelziehen modulo p Sei im Folgenden p eine Primzahl größer als. Wir möchten im Körper Z p Quadratwurzeln ziehen. Die Quadrierabbildung Q :Z p Z p ist aber nicht surjektiv, daher gibt es
MehrKontraposition und Widerspruch
Kontraposition und Widerspruch Kontraposition und Widerspruch Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2/2. Oktober 2 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Kontraposition > Motivation Neue Beweistechnik??
Mehr7-1 Elementare Zahlentheorie
7-1 Elementare Zahlentheorie 7 Die ganzen Gauß schen Zahlen Wir betrachten den Körper C der komplexen Zahlen Es ist C = R 2 mit komponentenweiser Addition und mit Multiplikation [a 1, a 2 ][b 1, b 2 ]
MehrKanonische Primfaktorzerlegung
Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl Form kann auf eindeutige Weise in der geschrieben werden, wobei, für und Primzahlen sind. Dies ist die kanonische Primfaktorzerlegung von. Mathematik
MehrVollständige Induktion
30. September 008 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Gliederung 1 3 4 Die Peano Axiome für die Menge der Natürlichen Zahlen N I. 0 ist eine natürliche Zahl, d.h. 0 N. II. Jede natürliche
MehrVorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 WWU Münster, Fachbereich Mathematik und Informatik PD Dr. K. Halupczok Skript VK1 vom 8.9.2016 VK1: Logik Die Kunst des Schlussfolgerns Denition 1: Eine Aussage ist ein sprachliches
MehrBeweistechniken. Vorkurs Informatik - SoSe April 2013
Vorkurs Informatik SoSe13 09. April 2013 Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe. 2 Das Programm führt zu keiner Endlosschleife. 3 Zur Lösung dieser
MehrFaktorisierungen und Teilbarkeiten natürlicher Zahlen. Teiler natürlicher Zahlen
Faktorisierungen und Teilbarkeiten natürlicher Zahlen Erinnerung: Eine natürliche Zahl heißt faktorisierbar, wenn sie als Produkt mit Faktoren geschrieben werden kann. Beispiel: 21= 1 21 oder 21= 3 7 Natürlich
MehrÜbungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 2016/2017) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin Blatt
Übungen zur Vorlesung Mathematik I für Studierende der Chemie (WS 2016/2017) Institut für Chemie und Biochemie, FU Berlin PD Dr. Dirk Andrae Blatt 1 2016-10-19 1. Geben Sie an, ob die im folgenden genannten
MehrInduktion und Rekursion
Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Sommersemester 2018 Ronja Düffel 16. März 2018 Induktion und Rekursion > Mathematische Beweistechniken > Vollständige Induktion Der kleine Gauß Induktion
MehrLö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik
Lö sungen zu Wiederhölungsaufgaben Mathematik I) Zahlenbereiche. Zu welchem Zahlenbereich (N, Z, Q, R) gehören die folgenden Zahlen: N, Z, Q, R R Q, R N, Z, Q R -7 Z, Q, R -7, Q, R 0 N, Z, Q, R i) Z, Q,
MehrÜbung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I
Technische Universität München WS 2002/03 Institut für Informatik Aufgabenblatt 8 Prof. Dr. J. Csirik 2. Dezember 2002 Brandt & Stein Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I Abgabetermin: Tutorübungen
MehrDie Fakultät. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten 13. September 2003
Die Fakultät Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 3. September 2003 Dieser Artikel gibt die Definition der klassischen Fakultät und führt von dort aus zunächst zu der Anwendung in Taylor-Reihen
MehrPrimzahlen und Primfaktorzerlegung
Primzahlen und Primfaktorzerlegung Yasin Hamdan Inhaltsverzeichnis 1 Das Sieb des Eratosthenes 1 2 Primfaktorzerlegung 4 2.1 Existenz und Eindeutigkeit.......................... 4 2.2 Hasse-Diagramme...............................
MehrBeweise. Gymnasium Immensee SPF PAM: Basiskurs Mathematik. Bettina Bieri
Beweise Gymnasium Immensee SPF PAM: Basiskurs Mathematik Bettina Bieri 19. November 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Beweise 1 1.1 Beweistechniken.......................... 2 1.1.1 Beispiel Schachbrett...................
MehrFolgen und Reihen. 1.1 Zahlenfolgen. Kapitel 1 Folgen und Reihen 1 a 1
Kapitel 1 Folgen und Reihen 1 a 1 Folgen und Reihen Folgen sind sehr grundlegend für die Mathematik an sich, aber auch für das persönliche Bild eines Menschen zur Mathematik. Wenn ein kleines Kind der
MehrLogik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2017
Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe17 Ronja Düffel 22. März 2017 Logik und Beweise > Motivation Wozu Beweise in der Informatik? Quelle:http://www.capcomespace.net Logik und Beweise
MehrLEMAMOP. Lerngelegenheiten für Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problem lösen. Kompetenztraining Mathematisch argumentieren.
LEMAMOP Lerngelegenheiten für Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problem lösen Kompetenztraining Mathematisch argumentieren Jahrgang 8 Schülermaterial Klasse Argumente vereinbaren Blatt: 1 Datum:
Mehr