Dr. Martin Bracke, Arbeitsgruppe Technomathematik

Transkript

1 Bericht über die Modellierungstage der Klasse 10 c, Konrad-Adenauer-Gymnasium Westerburg, März 2002, an der Universität Kaiserslautern - Fachbereich Mathematik Dr. Martin Bracke, Arbeitsgruppe Technomathematik 1. Idee und Zielsetzung Als Basis der Veranstaltung dienten die vielfältigen Erfahrungen, die am Fachbereich Mathematik der Universität Kaiserslautern bislang auf dem Gebiet der Mathematischen Modellierung realer Anwendungsprobleme im Rahmen von Kompaktveranstaltungen, insbesondere mit Schülern, gemacht wurden. Dabei gab es jedoch wesentliche Unterschiede: Zum einen waren die Teilnehmer nun Schülerinnen und Schüler der 10. Klasse, die natürlich über einen anderen Kenntnisstand verfügen als die Schüler der Oberstufe, die bislang zur Zielgruppe gehörten. Zum anderen war die komplette Klasse in Kaiserslautern, während sonst eher Leistungskurse sich auf dieses für sie neue Terrain gewagt haben. Eine wichtige Frage war daher, ob das Konzept einer solchen Veranstaltung anzupassen ist (und falls ja, wie) und ob die zu behandelnden Probleme schon bei ihrer Formulierung in der Schwierigkeit zu reduzieren sind. Bei dieser ersten Durchführung unter den beschriebenen Voraussetzungen entschlossen wir uns dazu, nichts an dem bewährten Konzept zu ändern. Zwar wurden bewusst Probleme ausgewählt, die mit den Kenntnissen der Schüler zu bearbeiten sind, sie wurden aber in der gleichen Weise formuliert, wie das schon bei Projekten mit Oberstufenschülern der Fall war. Das ist ein ganz wichtiger Punkt, denn der Anwender aus Wirtschaft oder Industrie formuliert die ihn beschäftigenden Fragen im allgemeinen in seiner ihm eigenen Fachsprache, ohne speziell Rücksicht auf die Möglichkeiten und Fähigkeiten des zur Lösung beauftragten Teams zu nehmen. Um also möglichst nahe an der Realität zu bleiben (was für Schüler oft eine starke Motivation bedeutet), wurden also keine Vereinfachungen vorweggenommen. Da die Modellierungstage für die Klasse im Rahmen von schulinternen Projekttagen durchgeführt wurden, die üblicherweise einen gesellschaftsrelevanten Hintergrund haben sollten, wurde darauf die Auswahl der Probleme abgestimmt. Ein Ziel war, den Schülerinnen und Schülern zu vermitteln, dass es Fragestellungen gibt, die eine gesellschaftliche Bedeutung besitzen, zunächst überhaupt keine Verbindung zur Mathematik zu haben scheinen, dann aber mit mathematischen Methoden erfolgreich behandelt werden können. Unklar war vor Beginn allerdings, inwieweit dieses Ziel realistisch sein kann, wenn man sich die typische Begeisterung eines Zehntklässlers für Mathematik für Augen hält Zeitrahmen Die Themen wurden bereits im Vorfeld den Schülern kurz vorgestellt, die dann eine Auswahl treffen und insgesamt vier Gruppen bilden durften. Nachfolgend ist das Programm der zweieinhalb Tage skizziert, die die Schüler in Kaiserslautern mit der Arbeit an ihren Problemen befasst waren.

2 Montag, 18. März :00 Ankunft der Teilnehmer in Kaiserslautern 10:30 Begrüßung und Einführungsvortrag Was ist Mathematische Modellierung? (Dr. M. Bracke) 11:00 Vorstellung der Probleme (Dr. M. Bracke, Dipl.-Math. S. Schwarze) 11:30 Beginn der Arbeit in Gruppen 12:30 Mittagspause 13:30 Arbeit in Gruppen 16:00 Ende Dienstag, 19. März :00 Arbeit in Gruppen 12:00 Mittagspause 13:00 Rundgang über den Campus 13:30 Arbeitsphase / Vorbereitung der Präsentationen 15:30 Vortrag Was ist Wirtschaftsmathematik? (Dipl.-Math. S. Schwarze) 16:00 Ende Mittwoch, 20. März :45 Präsentation der Ergebnisse der einzelnen Gruppen 10:15 Pause 10:30 Abschlussdiskussion 11:00 Ende der Veranstaltung Es ist zu bemerken, dass im Vergleich zu einer Veranstaltung für die Oberstufe (wie beispielsweise die kürzlich zum zweiten Mal durchgeführten Modellierungstage für MINT- Schulen in Rheinland-Pfalz ( in Koblenz)) für mehr Auflockerungen zwischen den Arbeitsphasen zu sorgen war, da die Schüler in diesem Alter durch zu langes Arbeiten an einer Sache leicht überfordert wären. Diese Abwechslungen wurden auch sehr positiv aufgenommen und viele bemerkten erst am Ende, dass sie sich insgesamt sehr lange mit mathematischen Problemen beschäftigt hatten ein gutes Zeichen! 3. Kurzbeschreibung der Projekte Wie schon erwähnt wurden vier verschiedene Probleme aus unterschiedlichen Anwendungsgebieten von den Gruppen behandelt. Im Nachfolgenden sollen die Aufgabenstellungen beschrieben werden, wie sie den Schülern zu Beginn vorgestellt wurden. Anschließend folgen jeweils einige Bemerkungen zur Lösungsstrategie der Schüler und der Zusammenarbeit in den Gruppen. Ausgearbeitetes Material ist nicht vorhanden, da alle Gruppen zwar am letzten Tag ihren Mitschülern die eigenen Arbeitsergebnisse vorstellten, für die Vorbereitung dieser Präsentationen aber nur sehr wenig Zeit zur Verfügung hatten, so dass es keine gesonderten Berichte (wie etwa bei den Modellierungswochen für Schüler) gibt. Es

3 besteht allerdings die Absicht, einige Ergebnisse aufzubereiten und auf den Webseiten der Schule vorzustellen. Projekt 1 Bahnfahren attraktiver durch mehr Haltestellen? Teilnehmer: Almut Brach, Kim Fröhlich, Christine Kirchhöfer, Nancy Kompter, Steffi Menges, Saskia Michel, Anna-Lea Wagner Betreuung: Silvia Schwarze Es stellt sich die Frage, ob sich die Attraktivität des deutschen Schienenpersonenverkehrs durch die Eröffnung neuer Haltepunkte im Nahverkehr erhöhen lässt. Dabei sind zwei Effekte zu berücksichtigen: Erschließungsgrad: Durch einen neu eingeführten Haltepunkt vereinfacht sich für die in seiner Umgebung wohnenden potenziellen Fahrgäste der Zugang zur Bahn, was sich in einer Zeitersparnis ausdrückt. Somit wird die Attraktivität erhöht. Reisezeitverlängerung: Durch jeden zusätzlichen Halt verlängert sich die Reisezeit der bereits im Zug sitzenden Passagiere, was die Attraktivität der Bahn für diese Fahrgäste verringert. Die Frage ist nun, ob und wie sich für ein gegebenes Schienennetz, ähnlich dem in der Abbildung gezeigten, durch Einführung (oder evtl. sogar Abschaffung!) von Haltepunkten die Attraktivität des Bahnfahrens erhöhen lässt.

4 Beschreibung des Arbeitsverlaufs Die Gruppe erhielt neben der Aufgabenstellung als Ausgangsdaten folgende Informationen: verschiedene Zugverbindungen mit den zugehörigen Haltestellen durchschnittliche Passagierauslastung dieser Verbindungen Einwohnerzahlen der umliegenden Orte Landkarte des betreffenden Gebietes Ein Ort gilt als erschlossen, wenn er nicht weiter als 2 km vom nächsten Bahnhof entfernt ist. Jede zusätzliche Haltestelle verlängert die Fahrzeit eines Zuges um 2 Minuten Die Schüler machten in ihren ersten Gesprächen von den Ausgangsdaten keinen Gebrauch. Zu Beginn wurde sehr viel darüber diskutiert, welche Gegebenheiten Einfluss auf das Problem nehmen. So wurde z.b. die Struktur der Fahrgäste benannt, da ein Schüler oder Pendler, der täglich dieselbe Strecke fährt, andere Ansprüche hat als jemand der nur sehr selten, z.b. für längere Reisen, den Zug benutzt. Weiterhin machten sich die Schüler Gedanken, ob die Wahl einer Haltestelle nicht ohnehin durch geographische Bedingungen oder die gegebene Infrastruktur festgelegt ist (z.b. Zugangsstraßen, Naturschutzgebiete,...). Es lag möglicherweise an der recht großen Gruppe (7 Teilnehmer), dass es etwas länger dauerte, sich auf die relevanten Punkte zu einigen. Als Argumente in der Diskussion wurden oft Einzelfälle aus der Erfahrungswelt der Schüler verwendet, z.b. die Verkehrsanbindung in Städten, die den Schülern bekannten waren. Der erste Ansatz zur Lösung des Problems war der folgende: Die Abstände zwischen den Haltestellen entlang der Bahnschienen soll in etwa gleich groß sein. Damit würde sich eine gleichmäßige Verteilung der Haltestellen über das Schienennetz ergeben. Mit dieser Lösung hatten die Schüler aber weder die Einwohnerdichte noch die Auslastung der Züge berücksichtigt. Diese Lösung mußte also noch verbessert werden. Mit etwas Anleitung durch den Betreuer erarbeiteten sich die Schüler die Formel für den Erschließungsgrad: Erschließu ngsgrad = Anzahl Einwohner in erschlossenen Orten Anzahl Einwohneraller Orte Um die erschlossenen Orte zu ermitteln zogen die Schüler einen Kreis mit dem Radius von 2 km um die Bahnhöfe. Der Erschließungsgrad wächst bei Erzeugen einer (sinnvollen) neuen Haltestelle. Die Stärke des Wachstums kann als Kriterium für die Güte einer Haltestelle herangezogen werden. Nun fehlt noch der zweite Aspekt der Problematik: Eine neue Haltestelle vergrößert nicht nur den Erschließungsgrad, sie sorgt auch für eine längere Fahrtzeit. Die Schüler stellten fest, dass die verlängerte Fahrtzeit in einem schwach besetzten Zug eher hinzunehmen ist, als in einem

5 stark besetzten Zug. Die Gesamtfahrzeit wächst im ersten Fall weniger stark. Aus dieser Idee entwickelte sich folgende Formel zum Bemessen der Güte einer neuen Haltestelle: Anzahl Passagiere auf Streckenabschnitt Anzahl Einwohnerin neu erschlossenenorten Je kleiner diese Kennzahl, desto günstiger ist eine neue Haltestelle. Hier wird sowohl die Anzahl der Passagiere auf einem Streckenabschnitt und damit deren Verärgerung über die Fahrzeitverlängerung durch den neuen Haltepunkt, als auch die Anzahl der neu erschlossenen Einwohner und damit der positive Aspekt des neuen Haltepunktes bewertet. Mögliche Kandidaten für eine neue Haltestelle wurden auf folgende Weise ermittelt: Um alle noch nicht erschlossenen Orte werden Kreise mit Radius 2 km gezeichnet. Die Teile einer Bahnstrecke, die innerhalb eines solchen Kreises liegen, sind potentielle Kandidaten für die Errichtung einer neuen Haltestelle. Überschneiden sich Kreise über einer Teilstrecke, so ist diese um so besser geeignet je höher die Anzahl der Kreise, da dann mehr Orte erschlossen werden können. Die beiden Kennzahlen wurden am Beispiel der Strecke Kaiserslautern Pirmasens ermittelt und bewertet. Projekt 2 Effizientere Nutzung einer Kläranlage Teilnehmer: Wolfgang Brandenburger, Daniel Ruppert, Nicolai Schlag, Christian Seidler Betreuung: Martin Bracke In einem Klärbecken eines Chemieunternehmens wird verschmutztes Wasser gereinigt, bevor es in einen Fluss geleitet werden kann. Im Unternehmen fallen pro Tag 4 m³ Abwasser an. Die Konzentration der Verunreinigungen darin beträgt 3,06 g/l. Entsprechend den gesetzlichen Vorgaben darf das Unternehmen maximal 104,2 g Schadstoffe pro Stunde in den Fluss einleiten. Verweilt das Wasser eine Zeit im Becken, so kommt es durch gesteuerte chemische und biologische Reaktionen zu einem Abbau der Schadstoffe. Es ist bekannt, dass nach 55 Stunden von der vorher vorhandenen Masse an Schadstoffen die Hälfte in unbedenkliche chemische Verbindungen zerfallen ist. Das Becken selbst ist 8 m lang, 4 m breit und 2 m tief. (Abb. 1).

6 Derzeit erfüllt das Unternehmen damit gerade die vorgeschriebenen Anforderungen. Bei einer Steigerung der Produktion bzw. einer Verschärfung der Umweltgesetze würden aber Probleme entstehen. Eine Vergrößerung des Klärbeckens ist leider auch nicht möglich. Experimente lassen jedoch vermuten, dass durch eine oder mehrere Unterteilungen des Beckens (Abb. 2) eine Verringerung der Konzentration der unerwünschten Bestandteile im abfließenden Wasser erreicht wird. Das Wasser würde dann zuerst in eine kleinere Kammer fließen, wo es etwas "klarer" wird, dann würde dieses Wasser nach einer gewissen Zeit in die nächste Kammer fließen, in der dann insgesamt saubereres Wasser als in der ersten Kammer ist. Diesen Prozess kann man sich analog fortgesetzt denken. Das zum Schluss in den Fluss geleitete Wasser ist laut empirischen Untersuchungen sauberer als das Wasser, welches in dem nicht unterteilten Becken geklärt wird. Es ist der theoretische Nachweis zu erbringen, dass dieser Effekt zu erwarten und nicht auf eventuelle Messfehler zurückzuführen ist. Sollte dieser Nachweis gelingen, dann sind die geeigneten Stellen zur Platzierung der Trennwände anzugeben. Beschreibung des Arbeitsverlaufs Zu Beginn versuchten die Schüler den Kläreffekt der Anlage zu verstehen und zu beschreiben. Die Exponentialfunktion war im Mathematikunterricht noch nicht durchgenommen worden, doch die Schüler hatten vorab etwas Informationsmaterial bekommen, mit dem sie sich auch offensichtlich befasst hatten. Nachdem die Halbierung der Schadstoffmenge nach jeweils konstanten Zeitintervallen grafisch aufgetragen war, wurde durch diese Punkte die stetige Exponentialfunktion gezeichnet. Schnell war klar, dass nun auch zu jedem zwischen den Halbierungszeiten liegendem Zeitpunkt eine momentane Schadstoffmenge abgelesen werden konnte. Auch der entsprechende funktionale Zusammenhang f(x)=510*0.5^(x/55) war rasch gefunden und die Frage, was denn eine rationale Zahl als Exponent bedeutet, war kein großes Hindernis. Im nächsten Schritt interessierte sich die Gruppe dafür, ob denn die Anlage in ihrem aktuellen Zustand überhaupt in der Lage ist, die Grenzwerte einzuhalten. Dazu wollten die Schüler ausgehend von einem leeren Becken ohne Trennwand die Schadstoffmenge bestimmen, die sich nach dem Füllen also nach Ablauf von 16 Tagen ergibt. Als sinnvolle Vereinfachung beschloss die Gruppe, eine diskrete Rechnung durchzuführen: Es wurde jeweils die an einem Tag zufließende Menge an Schadstoffen addiert und dann die durch Klärung bis zum Ende der 16 Tage abgebaute Menge subtrahiert. In diesem Modell wurde angenommen, dass die gesamte Tagesmenge gleich zu Beginn des Tages vorhanden ist, was am Ende zu einer Überschätzung des Kläreffekts führte. Es war aber auch klar, dass durch ein Einfließen dieser Tagesmenge erst am Ende des Tages (im Modell) eine obere Schranke für den gesuchten Wert berechnet werden könnte. Über zwei verschiedene Rechenwege konnte das richtige Ergebnis bestimmt werden.

7 Anschließend wurde die Idee diskutiert, die Zeiteinheiten einfach kürzer zu machen, d.h. die Diskretisierung zu verfeinern. Mit Hilfe des Computers (bedient durch den Betreuer; es wurden aber lediglich die Befehle der Schüler ausgeführt) gelang es so, mit einer Zeitauflösung von 1/10 Sekunde eine sehr gute Näherung für die am Ende der 16 Tage im Becken enthaltene Schadstoffmenge zu bekommen. Und dieser Wert entsprach genau dem angegebenen gesetzlich zulässigen Höchstwert, die Anlage arbeitet momentan also am Limit. Im folgenden waren zwei Fragen interessant: Wie ändert sich die Schadstoffkonzentration noch weiter, nachdem das Becken vollgelaufen ist? Und wie wirkt sich eine Teilung des Beckens aus? Zunächst erschien die zweite Frage dringender, und so wurde das zuvor angewandte Modell erweitert: Es wurde eine Unterteilung in zwei gleich große Becken angenommen, wobei zunächst das Volumen der Trennwand unberücksichtigt blieb. Anschließend berechneten die Schüler die Schadstoffmenge, die nach dem Füllen des ersten Beckens also nach 8 Tagen vorhanden ist. Dann wurde das Volllaufen des zweiten Beckens simuliert, wobei gleichzeitig die weitere Änderung der Konzentration im ersten Becken beachtet wurde (und damit auch eine Antwort auf die erste Frage gefunden war). Dies gelang mit Hilfe einer einfachen Bilanzgleichung für die Schadstoffmenge Menge_neu=(Menge_alt Menge_Ablauf)*Kläreffekt + Menge_Zulauf, die wiederum mit Hilfe des Computers ausgewertet wurde. So kam heraus, dass nach Füllen beider Becken die Schadstoffkonzentration nur noch etwa 60% der Konzentration für das ungeteilte Becken betrug also ein dramatischer Effekt. Aus Zeitgründen wurde die Schadstoffkonzentration im Gleichgewichtszustand nicht mehr ermittelt, das Prinzip war aber klar. Auch zur Untersuchung der Auswirkung mehrer Wände, der Berücksichtigung des Wandvolumens und der Platzierung der Trennwände blieb keine Zeit, doch es wurden zumindest Ansätze diskutiert. Abschließend ist zu bemerken, dass durch die diskrete Beschreibung des Prozesses und den Einsatz des Computers die Schüler zu einem guten Ergebnis gelangten, während sie aufgrund der ihnen nicht zur Verfügung stehenden mathematischen Werkzeuge keine Möglichkeit gehabt hätten, auch nur eine der Fragen auf analytischem Weg zu beantworten ein sehr beachtliches Resultat! Projekt 3 Konstruktion komfortabler Türscharniere Teilnehmer: Steven Gotthardt, Thomas Hering, Daniel Jung, Stefan Wörsdörfer Betreuung: Hanns-Georg Tischbein (Klassen- und Mathematiklehrer), Martin Bracke Ein Möbelhersteller hat Türscharniere für Schränke in Auftrag gegeben. Die Scharniere sollen es ermöglichen, die Türen nicht nur um 90 sondern - für eine bessere Zugänglichkeit - um 180 zu öffnen. Der Scharnierhersteller möchte nun wissen, ob die von seinen Ingenieuren vorgeschlagene Konstruktion das Verlangte leistet (siehe Abbildung). Darüber hinaus muss gewährleistet sein, dass die Tür dicht und optisch zufriedenstellend schließt und einen sicheren Anschlag bei 180 Öffnungswinkel hat. Es werden Holzstärken von 18 bis 28 mm für Tür und Seitenwand eingesetzt.

8 Es gibt Anbauten neben dem Schrankteil mit vorstehenden Griffen, Schlüsseln o. ä. Deshalb sollte die Scharnierkonstruktion leicht verändert werden können, um einen Anschlag bei 175, 170 oder 160 zu erhalten. Eine Reihe weiterer Nebenbedingungen (siehe Maßangaben in der Skizze) sollten eingehalten werden, um vorhandene Teile oder Werkzeugmaschinen weiter benutzen zu können und DIN- Vorschriften einzuhalten. Die besonders gekennzeichneten Verbindungen in dieser Prinzipskizze sind jeweils starr miteinander verbunden und um 145 bis 160 im zentralen Drehpunkt abgeknickt. Die Topf- Bohrung (DIN) in der Tür hat einen Durchmesser von 30 mm und eine Tiefe von 10 mm. Beschreibung des Arbeitsverlaufs Zu Beginn der Überlegungen stand die Frage nach der Funktionsweise des zu untersuchenden Scharniers. So wurden einige Zeichnungen angefertigt, auch zu verschiedenen Öffnungswinkeln der Tür, um ein Gefühl für den Einfluss der einzelnen Größen zu bekommen. Anschließend war es das Ziel, den Öffnungsvorgang der Tür zu simulieren und dabei Schwierigkeiten (z.b. Eindringen der Türecken in die Seitenwand) zu erkennen. Die Idee war, die gegebenen Parameter dann solange zu variieren, bis eine zulässige, die gegebenen Bedingungen erfüllende Kombination gefunden ist. Dieses Ziel war für den Anfang viel zu hoch gegriffen und die Schüler fanden lange keinen Ansatzpunkt. In dieser Gruppe konnte gut die bei dieser Art von Projekten übliche längere Frustphase beobachtet werden: Die Schüler hatten ein zu komplexes Ziel, fanden keine systematische Möglichkeit der Vereinfachung und waren daher der Verzweiflung nahe. So wurde beispielsweise durch Probieren (bzw. zeichnerische Lösung) ein Parametersatz gefunden, der für die geschlossene Schranktür zulässig ist. Dann wurden zu diesem Parametersatz durch ein simuliertes Ziehen an der Tür - d.h. die Drehung der am weitesten links liegenden Scharnierstrebe um einen bestimmten Winkel - getestet, ob es beim Öffnungsvorgang Schwierigkeiten gibt oder nicht. Die Schüler erkannten dabei aber zunächst nicht den hohen Wert, den diese Überlegungen schon hatten. Mit Hilfe eines Computers ist nämlich auf diese Weise die Simulation der Türöffnung möglich, und es wurden auch Ideen zur Abfrage der Problemfälle diskutiert.

9 Hauptschwierigkeit blieb aber das Herausfinden einer zulässigen Anfangskonstellation auf mathematischem Weg. In dieser festgefahrenen Situation kamen die Schüler dann auf die Idee, ein Modell des Scharniers aus Pappe zu bauen, mit dem verschiedene Parametersätze einfach getestet werden konnten. Das Vorhaben wurde geschickt in die Tat umgesetzt: An dem Modell konnten die Längen der einzelnen Scharnierverbindungen und auch die Position einiger Drehpunkte verändert werden, so dass nach kurzer Zeit eine Lösung gefunden war, mit der eine Öffnung der Tür bis zu einem bestimmen Winkel (etwa ) möglich war. Diese wurde in der Abschlusspräsentation mit einem unzulässigen Scharnier verglichen, um den Fortschritt zu verdeutlichen. Während der Vorführung wurde dann sogar noch eine technische Lösung gefunden, die Öffnungswinkel bis 180 ermöglicht. Außerdem konnten zum Ende der Zeit einige Ansätze gefunden werden, die eine mathematische Lösung der Problems einer zulässigen Anfangskonfiguration in Aussicht stellten. Bei dieser Bearbeitung wird besonders der Wert eines spielerischen Zugangs (Bau von Modellen) deutlich, der oft schon sehr interessante Ergebnisse ermöglicht und dann die Einsichten liefert, die für eine genaue mathematische Analyse erforderlich sind. Projekt 4 Personalausweis für Schildkröten? Teilnehmer: Zyed Ferchichi, Carolin Emrich, Vanessa Kümhof, Manuel Neeb, Helena Otto, Matthias Wolf, Anna Wendel Betreuung: Martin Bracke, Elisabeth Apel (Lehrerin für Bildende Kunst) Seit dem 1.~Juni 1997 gilt in der EU eine neue Artenschutzvorschrift, die die Bestimmungen des sogenannten Washingtoner Artenschutzübereinkommens für alle Mitgliedstaaten umsetzt. Ziel ist es, den internationalen Handel, der eine Hauptgefährdung für den Bestand wildlebender Tiere und Pflanzen darstellt, zu überwachen und zu beschränken. Deshalb gibt es nun für alle EU-Staaten einheitliche und verbindliche Bestimmungen, die die Ein- und Ausfuhr sowie die kommerzielle Verwendung von geschützten Exemplaren regeln. Dabei werden die Arten je nach Gefährdungsgrad in vier Gruppen eingeteilt, für die verschiedene Vorschriften gültig sind. Bauch- und Rückenpanzer einer Schildkröte der Gattung Testudo Ein Problem ist nun die Unterscheidung zwischen freilebenden gefährdeten Tieren und solchen aus der Nachzucht, da hier wiederum unterschiedliche Regelungen gelten. Eine bisher übliche Methode ist Kennzeichnung in freier Wildbahn lebender Tiere, so dass sie eindeutig identifiziert werden können. Dabei kommen oft sogenannte Transponder zum Einsatz, die

10 entweder selbst Signale aussenden oder aber auf eine äussere Aktivierung reagieren. Da hierzu jedoch teilweise sehr riskante Eingriffe bei den Tieren vorgenommen werden müssen, wird eine nicht invasive Alternative gesucht. Für Landschildkröten beispielsweise besteht die Hoffnung, die Tiere anhand der Form und Muster ihrer Panzerung eindeutig zu identifizieren (siehe Abbildung) -- eine Idee, die dann eventuell auch auf andere Arten übertragen werden kann. In einem Modellprojekt soll nun für die ägyptische Landschildkröte (Testudo kleinmanni) herausgefunden werden, ob eine praktische Umsetzung möglich ist. Anders formuliert: Kann der Panzer einer Schildkröte als ihr Personalausweis dienen? Beschreibung des Arbeitsverlaufs Zunächst wurden eine Reihe von technischen Fragen zur vorgeschlagenen nichtinvasiven Identifikation der Schildkröten diskutiert. Dabei ging es erst um mögliche Alternativen, da nicht klar war, warum der vorgeschlagene Weg der Erkennung allein anhand von digitalen Bildern eine gute Idee ist. Recht schnell waren jedoch die Beschränkungen und Risiken anderer möglicher Verfahren erkannt und die Gruppe begann, sich mit einem Zugang über Bildmaterial zu befassen. In dieser Diskussion zeigte sich die Größe der Gruppe als etwas hinderlich, da nicht so konzentriert und zielorientiert diskutiert wurde wie in den kleineren Gruppen. Allerdings muss erwähnt werden, dass speziell dieses Thema auch zu abschweifenden Diskussionen einlädt. Eine sehr sinnvolle - und gar nicht so selbstverständliche - Annahme wurde sehr früh getroffen: Man suchte nach etwas, das unabhängig von der Größe der Schildkröte ist, also bei wachstumsbedingten Änderungen unverändert bleibt. Deshalb wurde angenommen, dass sich die geometrischen Strukturen auf dem Panzer der Tiere bei Änderungen der Größe einfach skalieren. Es ist zwar aus biologischer Sicht nicht geklärt, ob diese Annahme zutrifft, doch erscheint sie sinnvoll - zumindest wenn die Größenänderungen nicht allzu groß ausfallen, d.h. für Schildkröten ab einem Alter von etwa 5-6 Jahren. Im nächsten Schritt untersuchten die Schüler die Form der einzelnen Schilde auf dem Rückenpanzer. Es sollten Streckenverhältnisse in den dort auftretenden Sechsecken bestimmt werden, auf deren Basis ein Vergleich geplant war. Darauf bekam die Gruppe den Hinweis, dass der Rückenpanzer für eine Analyse aus mehreren Gründen weniger gut geeignet ist als der Brustpanzer. So treten hier stärkere Farbveränderungen durch Umwelteinflüsse auf, die eine Erkennung der gewünschten Strukturen sehr erschweren kann. Weiter bereiten die teilweise sehr breiten Trennlinien zwischen den Schilden Probleme, da somit keine Linien im mathematischen Sinn eindeutig bestimmt sind und ein Vergleich daher problematisch ist. Als dritte Schwierigkeit macht sich die Wölbung des Panzers bemerkbar, die zu Verzerrungen und einer Abhängigkeit vom Aufnahmewinkel der Bilder führt. Deshalb wurde im weiteren der Brustpanzer untersucht. Als geeignet wurde dort die Mittellinie erkannt, auf der durch beidseitige Abzweigungen in relativ eindeutiger Weise sechs Punkte definiert werden können. Problematisch gestaltet sich dies nur in Fällen, wo Abzweigungen zu beiden Seiten nicht einem einzigen Punkt entspringen. Lösungsansätze

11 wurden diskutiert und am Ende wurden die betreffenden Punkte als Abzweigestellen der linken Seitenlinien definiert, bei Unklarheit sollte zusätzlich der am weitesten oben liegende der zur Auswahl stehenden Punkte gewählt werden (die Orientierung der Bilder wurde so festgelegt, dass der Kopf der Tiere jeweils oben im Bild zu sehen ist). Es war der Gruppe klar, dass eine größere Anzahl von Punkten (und damit Strecken zwischen einzelnen Punkten) die Informationsmenge und somit wahrscheinlich die Genauigkeit der Identifikation bzw. die Unterscheidbarkeit unterschiedlicher Tiere erhöhen würde. Trotzdem beschränkte man sich zunächst auf die Berücksichtigung der erwähnten sechs Punkte und somit fünf Strecken pro Tier. Mit diesen wurden dann Streckenverhältnisse gebildet, aus denen am Ende sechs ausgewählt wurden, die besonders aussagekräftig erschienen. Durch dieses Vorgehen wurde auch die Skalierung der Bilder heraus gerechnet, was der Annahme des proportionalen Wachstums entspricht. An dieser Stelle stockte die Arbeit eine ganze Zeit, da die Schüler ihre Arbeit für erledigt hielten. Schließlich hatten sie ein Verfahren vorgeschlagen, das praktikabel erschien! Sie ließen sich dann aber trotzdem davon überzeugen, dass noch eine Reihe von Fragen offen war: Ist die Definition der sechs Punkte eindeutig genug, d.h. bekommt man bei wiederholter Aufnahme der Daten desselben Tieres (evtl. auch durch unterschiedliche Personen) diesselben oder genügend nahe beieinander liegende Daten? Falls ja, wieviele Tiere können auf diese Weise unterschieden werden? Der Beantwortung dieser beiden Fragen war dann die restliche Arbeitszeit gewidmet. Natürlich konnte im vorhandenen Zeitrahmen kein Computerprogramm erstellt werden, dass die nötige Erkennungsarbeit automatisch erledigt Daher wurde manuell für eine Sammlung von 14 Schildkröten eine kleine Datenbank erstellt. Dabei probierten die Schüler auch aus, zu welchen Abweichungen es bei der Vermessung durch verschiedene Personen kommt. Zwar gab es Unterschiede, dieses lagen jedoch eine Größenordnung niedriger als die Unterschiede der Streckenverhältnisse unterschiedlicher Tiere. Bei der abschließenden Präsentation wurden der Gruppe das Bild einer der erfassten Schildkröten gegeben mit der Aufgabe, die Identität des Tieres zu ermitteln. Nach einer Vermessung der Strecken und Berechnung der entsprechenden Verhältnisse gelang es problemlos, das richtige Tier anzugeben - ein schönes Resultat! Es konnte also tatsächlich ein praktikables Verfahren entwickelt werden, wobei die Anzahl der unterscheidbaren Tiere und eine mögliche Erweitertung der definierten Punktmenge (und der resultierenden Streckenverhältnisse) sowie die Umsetzung in ein Computerprogramm als Zukunftsprojekt bleiben. 4. Fazit Schon die voran gegangenen Beschreibungen der Lösungsvorschläge der einzelnen Gruppen zeigen, dass die Veranstaltung ein voller Erfolg war und das gewählte Konzept sich bestätigt hat. Dies wurde bei der Abschlussdiskussion auch von den Schülerinnen und Schülern ähnlich formuliert, die die Veranstaltung größtenteils als positive Erfahrung bewerteten. Genauso sahen die beiden betreuenden Lehrkräfte das Ergebnis der Veranstaltung, was aus ihrer Erfahrung zumindest nicht von vornherein zu erwarten gewesen war. Zum Schluss sollen nun einige Aspekte zusammengefasst werden, die sich für künftige Veranstaltungen ähnlicher Art

12 als nützlich erweisen können. Dies sind zum einen Verbesserungsvorschläge, zum anderen wichtige, für das Gelingen maßgebliche Bestandteile. Es stellte sich schnell heraus, dass für ein effizientes Arbeiten die kleineren Gruppen besser geeignet waren. So waren Ablenkungen in den beiden Gruppen mit jeweils sieben Schülen häufiger und Diskussionen mit Beteiligung aller Teilnehmer problematischer. Im Idealfall beträgt die Gruppenstärke sicher 4-5 Personen, was natürlich aufgrund der begrenzten Anzahl von Betreuern nicht immer realisierbar ist. Weiter sollte jede Gruppe möglichst einen festen, ständig ansprechbaren Betreuer haben, was in unserem Fall auch nicht immer gegeben war, da es bei der gleichzeitigen Betreuung verschiedener Gruppen zu Engpässen kam. Klar ist aber auch, dass der Idealfall einfach nicht immer erreicht werden kann, da bei einer Umsetzung eines ähnlichen Projekts in der Schule eben in der Regel das angestrebte Betreuungsverhältnis nicht realisierbar ist. Dem gegenüber steht die Erfahrung, dass sich die gesamte Schulklasse über einen relativ langen Zeitraum hinweg intensiv mit mathematischen Fragestellungen auseinander gesetzt hat, ohne die aus dem Mathematikunterricht bekannten Reaktionen zu zeigen. Dies liegt sicher an der starken Motivation, die der anwendungsbezogene Hintergrund jedes der Probleme mit sich bringt: Die Fragestellungen sind für jeden sofort verständlich und eine Lösung erscheint nutzbringend. Dadurch wird die Anwendung der im Unterricht erworbenen Fähigkeiten auf eine eher spielerische Art und Weise als sinnvoll erkannt sicherlich eine gute Ergänzung zum klassischen Unterricht und auch eine wichtige Erfahrung für Lehrkräfte! Positiv überrascht hat auch das Herangehen der Schüler an die Probleme, die die ihnen zur Verfügung stehenden mathematischen Werkzeuge sehr kreativ und effizient auf dem Lösungsweg eingesetzt haben. Die Tatsache, dass das Experiment mit einer ganz normalen Schulklasse durchgeführt wurde, bedeutet, dass das Konzept der Mathematischen Modellierung relevanter Anwendungsprobleme auch in die (gymnasiale) Mittelstufe transferiert werden kann. Es bestehen also berechtigte Hoffnungen, dass ähnliche Projekte auch von Zeit zu Zeit in den regulären Schulunterricht einbezogen werden können.