R. Brinkmann Seite

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1 R. Brinkmann Seite 7.9. Lösungen zum Hypothesentest II Ausführliche Lösungen: A A Aufgabe Die Firma Schlemmerland behauptet, dass ihre Konkurrenzfirma Billigfood die Gewichtsangabe, die auf deren Kaviarverpackungen steht häufiger als 5% unterschreitet und damit die Kunden betrügt. Erlaubt ist, dass maximal 5% der Packungen Untergewicht haben. Billigfood dementiert: Weniger als 5% der Verpackungen haben Untergewicht. Eine unabhängige Kommission untersucht 3 Packungen. Stellen Sie aufgrund der unterschiedlichen Interessenlagen beider Firmen jeweils einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von höchstens 5% auf. Kommentieren Sie die Ergebnisse. Ausführliche Lösungen Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen. Aus Sicht jeder Firma ist ein Hypothesentest aufzustellen. Aufgrund der unterschiedlichen Interessen unterscheiden sich die aufzustellenden Hypothesen. Damit unterscheiden sich auch jeweils der Annahme- und Ablehnungsbereich. Schlemmerland möchte zeigen, dass p >,5 gilt und stellt folgende Hypothesen auf: Nullhypothese H : p,5; Alternativhypothese H : p >,5. Das ist ein rechtsseitiger Hypothesentest. Billigfood möchte zeigen, dass p <,5 gilt und stellt folgende Hypothesen auf: Nullhypothese H : p,5; Alternativhypothese H : p <,5. Das ist ein linksseitiger Hypothesentest. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite von 3

2 R. Brinkmann Seite 7.9. A Test für Schlemmerland. Nullhypothese H : p,5 Signifikanzniveau α 5% Daten: n = 3 ; p =,5 ; μ = n p = 3,5 = 5 ( ) σ= n p p = 5,95 = 4,5 3,775 > 3 Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten: { 5% }{ 9% } { 5% } Ablehnungsbereich für H Damit wird μ+,64 σ= 5 +,64 4,5,9 gerundet auf die obere Grenze des Annahmebereichs für H Es gilt: Annahmebereich von H P( X 3) α = 5% {...8}{ }{... 3} A =... Ablehnungsbereich von H A =...3 Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt: P( X 3) = P( ) 9 X r 6,5 P9 ( X ) r= 6,5 z= =,7 P( 9 X ),95 σ 4,5 P( X 3) [,95] =,43 Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite von 3

3 R. Brinkmann Seite A Test für Billigfood. Nullhypothese H : p,5 Signifikanzniveau α 5% Daten: n = 3 ; p =,5 ; μ = n p = 3,5 = 5 ( ) σ= n p p = 5,95 = 4,5 3,775 > 3 Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten: { 5% } { 9% }{ 5% } Ablehnungsbereich für H Damit wird μ,64 σ= 5,64 4,5 8,8 gerundet auf 9 die untere Grenze des Annahmebereichs für H Es gilt: Annahmebereich von H P ( X 8) α = 5% {... 8}{ }{... 3} A = Ablehnungsbereich von H A =... 8 Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt: P ( X 8) = P( 9 X ) r 6,5 P( 9 X ) r = 6,5 z = =,7 P( 9 X ),95 σ 4,5 P( X 8) [,95] =,43 A Auswertung: Eine Gegenüberstellung zeigt: Schlemmerland Hypothesen H : p,5 ; H : p >,5 A =... A =...3 Rechtsseitiger Test Fehler. Art: 4,3% Falls bei der Kontrolle mehr als Packungen Untergewicht haben, wird H abgelehnt. Schlemmerland geht dann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 4,3% davon aus mehr als 5% aller Packungen seien untergewichtig. Der Betrugsverdacht würde sich erhärten. Falls das Kontrollergebnis in den Annahmebereich von H fällt, muss H zwar angenommen werden, ist aber damit nicht bewiesen. Billigfood Hypothesen H : p,5 ; H : p <,5 A = A =... 8 Linksseitiger Test Fehler. Art: 4,3% Falls bei der Kontrolle weniger als 9 Packungen Untergewicht haben, wird H abgelehnt. Billigfood geht dann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 4,3% davon aus, weniger als 5% untergewichtige Packungen zu haben. Falls das Kontrollergebnis in den Annahmebereich von H fällt, muss H zwar angenommen werden, ist aber damit nicht bewiesen. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 3 von 3

4 R. Brinkmann Seite A Vergleich eines rechtsseitigen mit einem linksseitigen Hypothesentest P( X = k ) H : p,5 ; α 5% ; n = 3 ; p =,5 ; μ = 5 ; σ 3,775 Annahmebereich 95,7% Fehler. Art α= 4,3% 5 A = {... } A = {... 3} P( X = k ) H : p,5 ; α 5% ; n = 3 ; p =,5 ; μ = 5 ; σ 3,775 Annahmebereich 95,7% Fehler. Art α= 4,3% A = {... 8} A = Bemerkung zur errechneten Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ablehnungsbereiche erfolgte mit den Tabellenwerten der Normalverteilung. Die Werte der Normalverteilung sind symmetrisch zum Erwartungswert. Gleiche Umgebungsradien bedeuten gleiche Flächen bzw. %- Werte. Die in der Grafik dargestellten Säulen repräsentieren die Binomialverteilung. Diese ist nur bei p =,5 symmetrisch zum Erwartungswert. Eine genaue Rechnung mit den Werten der Binomialverteilung würde beim rechtsseitigen Test einen Fehler von 4,9% und beim linksseitigen Test von 3,4% zeigen. Dieser Unterschied liegt an der extremen Schiefheit der Binomialverteilung bei p =,5. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 4 von 3

5 R. Brinkmann Seite A A Aufgabe Bei der letzten Notenkonferenz einer gymnasialen Oberstufe hatten 5% der Schüler in einigen Fächern Defizite. Im laufenden Schuljahr werden Stützkurse für die kritischen Fächer angeboten. Bei der nächsten Notenkonferenz haben 8 von 4 Schülern Defizite. a) Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% annehmen, dass das Engagement der Lehrkräfte Erfolg hatte? b) Die Nullhypothese wird aufgrund des Tests abgelehnt. Wie groß ist der Fehler. Art? Ausführliche Lösung a) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen. Hatte das Engagement der Lehrkräfte Erfolg? Falls ja, dann sollten weniger als 5% aller Schüler Defizite aufweisen. Die Untersuchung soll zeigen, dass p <,5 gilt. Damit werden folgende Hypothesen aufgestellt: Nullhypothese H : p,5; Alternativhypothese H : p <,5. Die Nullhypothese ist nur dann abzulehnen, wenn bei wenigen Schülern Defizite auftreten. Man sagt auch kleine Werte von X sprechen gegen H. Das ist ein linksseitiger Hypothesentest. A a) Nullhypothese H : p,5 Signifikanzniveau α 5% Daten: n = 4 ; p =,5 ; μ = n p = 4,5 = ( ) σ= n p p =,85 = 7,85 4,5 > 3 Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten: { 5% } { 9% }{ 5% } Ablehnungsbereich für H Damit wird μ,64 σ=,64 7,85 4,7 gerundet auf 4 die untere Grenze des Annahmebereichs für H Es gilt: Annahmebereich von H P ( X 3) α = 5% {...3}{ }{ } A = Ablehnungsbereich von H A =... 3 Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt: P ( X 3) = P( ) 4 X 8 r 7,5 P4 ( X 8) r= 7,5 z= =,78 P( 4 X 8),95 σ 7,85 P ( X 3) [,95] =,38 Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 5 von 3

6 R. Brinkmann Seite A Ausführliche Lösung a) Auswertung: Der Annahmebereich von H beinhaltet 4 bis 4 Schüler mit Defiziten. Der Ablehnungsbereich von H beinhaltet bis 3 Schüler mit Defiziten. Da aber 8 Schüler erneut Defizite aufweisen, fällt das in den Annahmebereich von H. Die Nullhypothese muss beibehalten werden, obwohl weniger Schüler, als zu erwarten wäre, Defizite haben. Man kann von keiner positiven Änderung ausgehen. Erst wenn weniger als 4 Schüler Defizite aufweisen, kann man davon ausgehen, dass das Engagement der Lehrer erfolg hatte. Dabei wäre die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 3,8%. A a) P( X = k ) H : p,5 ; α 5% ; n = 4 ; p =,5 ; μ = ; σ 4,5 Annahmebereich 96,% Fehler. Art α= 3,8% 3 4 A = A = {... 3} A Ausführliche Lösung b) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen. Aufgrund der Tatsache dass 8 Schüler, also weniger als, wie bei p =,5 zu erwarten wären, Defizite aufweisen, soll die Nullhypothese abgelehnt werden. Dadurch, dass man nun 9 als untere Grenze des Annahmebereichs wählt, ändert sich der Fehler. Art. Annahme- und Ablehnungsbereich ändern sich wie folgt. Annahmebereich: { } Ablehnungsbereich: {... 8 } Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird durch den Ablehnungsbereich bestimmt. {... 8 } { } { } Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 6 von 3

7 R. Brinkmann Seite A b) {... 8 } { } { } P ( X 8) = P9 ( X 3) r,5 P ( 9 X 3) r =,5 z = =,59 P( 9 X 3),445 σ 7,85 P ( X 8) = [,445] =,78 = α A Ausführliche Lösung b) Auswertung: Der Annahmebereich von H beinhaltet 9 bis 4 Schüler mit Defiziten. Der Ablehnungsbereich von H beinhaltet bis 8 Schüler mit Defiziten. Wird die Nullhypothese schon bei 8 Schülern mit Defiziten abgelehnt, so ist für diese Entscheidung die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 7,8%. Die Aussage, dass das Engagement der Lehrer erfolg hatte, ist also mit einem Fehler von 7,8% behaftet. A b) P( X = k ) H : p,5 ; α 5% ; n = 4 ; p =,5 ; μ = ; σ 4,5 Annahmebereich 7,% Fehler. Art α= 7,8% 8 9 A = A = {... 8} Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 7 von 3

8 R. Brinkmann Seite A3 Aufgabe Eine Untersuchung ergab, dass Placebos bei vielen Patienten die gleiche Wirkung erzielen wie gleich aussehende echte Tabletten. Die Erfahrung einer Klinik besagt, dass höchstens 6% der Patienten, die Kopfschmerztabletten einnehmen, auf Placebos ansprechen. Für Berechnungen unter a), b) und c) sind die beigefügten Tabellen (Tabelle und Tabelle ) zu verwenden. a) Ein Klinikarzt behauptet, dass die Wirkung der Placebos verstärkt werden kann, wenn sie einen bitteren Beigeschmack haben. Er verabreicht Patienten die neuen Placebos und stellt fest, dass 75 von ihnen darauf ansprechen. Muss daraufhin die Nullhypothese H : p,6 verworfen werden? Rechnen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 4%. b) Wie groß ist der Fehler. Art, wenn für die bitteren Pillen p =,7 gilt? Wie kann der Fehler. Art verringert werden? Welche Konsequenzen hätte das für den Fehler. Art? c) Reduzieren sie den Fehler. Art mindestens auf den halben Wert. Wie ändern sich dadurch der Annahme- und Ablehnungsbereich von H? Welche Irrtumswahrscheinlichkeit liegt dann vor? d) Skizzieren Sie die Verteilungen aus b) und c) und kennzeichnen Sie die Fehler. und. Art. A3 Ausführliche Lösung a) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen. Benutzen Sie für die Rechnung die beigefügten Tabellen der Binomialverteilung für n = und p =,6, sowie für n = und p =,7. Aufstellen der Hypothesen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Placebos wirken, sei höchstens 6%. Vermutet wird, dass Placebos mit einem bitterem Beigeschmack wirksamer sind. Die Untersuchung soll zeigen, dass p >,6 gilt. Damit werden folgende Hypothesen aufgestellt: Nullhypothese H : p,6; Alternativhypothese H : p >,6. Die Nullhypothese ist nur dann abzulehnen, wenn bei vielen Patienten die Placebos wirken. Man sagt auch große Werte von X sprechen gegen H. Das ist ein rechtsseitiger Hypothesentest. Der Ablehnungsbereich liegt rechts vom Erwartungswert für p =,6 und hat eine Größe von höchstens 4%. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 8 von 3

9 R. Brinkmann Seite A3 Ausführliche Lösung a) Nullhypothese : H : p,6 Signifikanzniveau : α 4% n = μ = n p =,6 = 6 ( ) Es ist σ= n p p = 6,4 = 4 4,899 > 3 P( X k),4 = α Aus der Tabelle für n = und p =,6 wird für k der Wert 68 abgelesen. P( X 68) =,96 =,4 = α Damit ist der Annahmebereich für p,6 A = { } und der Ablehnungsbereich A = { } Die Hypothese H wird abgelehnt, da X = 75 im Ablehnungsbereich von H liegt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit dieser Entscheidung (Fehler. Art) liegt bei etwa 4%. A3 b) Falls p =,7 tatsächlich richtig ist, kann es dennoch vorkommen, dass das Versuchsergebnis in den Annahmebereich von H fällt. Die Wahrscheinlichkeit, mit der das geschieht, ist der Fehler. Art. P,7 ( A) = P,7 ( X 68) =,367 (Tabellenwert) Falls für bittere Pillen p =,7 gilt, ist der Fehler. Art 36,7%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, das die Richtigkeit von p =,7 nicht erkannt wird, beträgt etwa 36,7%. Soll der Fehler. Art verringert werden, dann ist der Annahmebereich von H zu verringern. Das hat aber zur Folge, dass dadurch der Fehler. Art sich vergrößert. A3 c) ( ) ( ) P,7 X k,835 k 65 denn P,7 X 65 =,63 6,3% Dadurch ändert sich der Annahme- und Ablehnungsbereich von H : A = A = ( ) ( ) Fehler. Art: P,6 A = P,6 X 65 =,87 =,3 3% Dadurch, dass der Fehler. Art etwa halbiert wird, vergrößert sich der Fehler. Art auf etwa das Dreifache. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 9 von 3

10 R. Brinkmann Seite 7.9. A3 d) ( k) P X n = p =,6 μ = 6 σ 4,899 Annahmebereich 96% Fehler. Art 4% 6 68 k ( k) P X n = p =,7 μ = 7 σ 4,583 Fehler. Art 36,7% 68 7 k Verteilungen aus Aufgabenteil b) Ein kleiner Fehler. Art führt zu einem großen Fehler. Art. Soll der Fehler. Art verringert werden, kann das nur durch eine Vergrößerung des Fehlers. Art erreicht werden. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite von 3

11 R. Brinkmann Seite 7.9. A3 d) ( k) P X n = p =,6 μ = 6 σ 4,899 Annahmebereich 87% Fehler. Art 3% 6 65 k ( k) P X n = p =,7 μ = 7 σ 4,583 Fehler. Art 6,3% 65 7 k Verteilungen aus Aufgabenteil c) Dadurch, dass der Fehler. Art auf etwa die Hälfte reduziert wurde, hat sich der Fehler. Art mehr als verdreifacht. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite von 3

12 R. Brinkmann Seite 7.9. Wahrscheinlichkeit für Sigma- Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen z P z P z P z P z P z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rstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite von 3

13 R. Brinkmann Seite A3 Kumulierte Binomialverteilung für n = und p =,6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k 4, 48, 54,3 6,538 66,99 7,995 43, 49,7 55,79 6,68 67,938 73,998 44, 5,7 56,37 6,693 68,96 74,999 45, 5,4 57,33 63,76 69,975 75,999 46,3 5,64 58,377 64,8 7,985 76, 47,6 53,93 59,457 65,87 7,99 77, Kumulierte Binomialverteilung für n = und p =,7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k k P X k 5, 56, 6,53 68,367 74,837 8,99 5, 57,4 63,8 69,45 75,886 8,995 5, 58,7 64,6 7,538 76,94 8,998 53, 59, 65,63 7,63 77,95 83,999 54, 6, 66, 7,74 78,97 84, 55, 6,34 67,89 73,776 79,984 85, Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_ht e.doc.8.8 6:4 Seite 3 von 3