6 Vertiefende Themen aus des Mechanik

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1 6 Vertiefende Themen aus des Mechanik 6.1 Diagramme Steigung einer Gerade; Änderungsrate Im ersten Kapitel haben wir gelernt, was uns die Steigung (oft mit k bezeichnet) in einem s-t Diagramm ( k= Δs Δv = v, also Geschwindigkeit) und in einem v-t Diagramm ( k= Δt Δt =ā, also Beschleunigung) zeigt. Allgemein ist die Steigung k= Δy eine Änderungsrate: sie zeigt uns, wie Δx schnell sich die Größe auf der y-achse in Bezug auf die Größe der x-achse ändert. Was könnte uns daher die Steigung in einem a-t Diagramm zeigen? Antwort: wie schnell sich die Beschleunigung in Bezug auf die Zeit ändert! Beispielsweise kann man sagen, dass nach 3 Sekunden sich die Beschleunigung mit einem Zeitrhythmus von 2m/s² pro Sekunde vergrößert (das wäre dann 2m/s³!, diese Größe hat aber keinen besonderen Namen). So was werden wir aber hier nicht weiter analysieren. Man könnte z.b. auch ein a-s Diagramm machen (nebenstehendes Bild). So ein Diagramm zeigt uns, wie groß die Beschleunigung an einem gewissen Punkt der Strecke ist. Am Anfang ist die Beschleunigung 1m/s². Nach 2m ist sie aber doch 4m/s² und nach noch 2m (also bei 4m) 7m/s². Dieses Diagramm ist eine Gerade, also ist die Änderungsrate der Beschleunigung konstant (1,5m/s³). Das bedeutet dann, dass je 2 Meter die Beschleunigung um 3 m/s² größer wird (oder je 1m um 1,5m/s²). a-s Diagramm Die Änderungsrate kommt in allerlei Diagrammen und in allen Bereichen der Wissenschaft vor. Sie ist daher ein grundsätzlicher Begriff. Die Begriffe der Strecke, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung sind hilfreich, um zu verstehen, was uns die Änderungsrate in einem Diagramm (also die Steigung) zeigt Die Tangente an eine Kurve Bisher haben wir uns nur mit Geraden beschäftigt. Wie könnte man die Steigung bei irgendeine Kurve berechnen oder begreifen? Dafür braucht man erst den Begriff der Tangente. Für eine Kurve und eine Gerade gibt es folgende Möglichkeiten: 1. Bild: Sekante an einem Punkt 2. Bild: Sekante an drei Punkte 3. Bild: Passante 4. Bild: Tangente am Punkt A Eine Gerade kann eine Kurve in einem (1. Bild) oder mehreren Punkten (2.Bild) schneiden. Dann nennt man die Gerade eine Sekante der Kurve. Eine Gerade kann eine Kurve überhaupt nicht treffen (3.Bild). Dann nennt man die Gerade eine Passante der Kurve. Eine Gerade kann eine Kurve an einem Punkt berühren (4.Bild). Dann nennt man die Gerade Tangente der Kurve an diesem Punkt.

2 Was ist die Besonderheit im dritten Fall (4. Bild: Tangente)? Obwohl es nicht genau stimmt, sagen wir es hier nur so: die Tangente geht nicht auf die andere Seite der Kurve (es gibt eine Ausnahme zu dieser Regel, wir werden sie aber nicht hier analysieren). Man kann auch einfach die Definition benutzen: die Tangente schneidet die Gerade nicht, sie berührt sie nur (und das gilt immer, ohne Ausnahmen) Steigung einer Kurve (allgemeiner) Schauen wir jetzt die nebenstehende Kurve k an: Man könnte sagen, dass sie immer steiler wird (von links nach rechts). Das stimmt auch. Was ist dann mit ihrer Steigung? Sie sollte auch immer größer werden. Das stimmt auch. Wie könnte man das aber visualisieren? Man benutzt einfach die Tangente! Lassen wir einen Punkt (Punkt B) sich auf der Kurve bewegen. Je mehr wir uns nach rechts bewegen, desto steiler wird die Steigung der Tangente am Punkt B: Kurve k Punkt B bewegt sich nach rechts! Es ist naheliegend zu vermuten: die Steigung der Tangente an einem Punkt ist die Steigung der Kurve an diesem Punkt. Das kann man mit Hilfe der sogenannten 1.Ableitung (Stoff der 11. Schulstufe) beweisen Steigung in einem s-t Diagramm und Beschleunigung Im ersten Kapitel haben wir schon die Diagramme für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung gesehen. Das s-t Diagramm war eine sogenannte Parabel. Es gibt zweierlei Sorten der Parabel: eine die hohl nach oben ist und einen sogenannten Tiefpunkt hat (1.Bild) und eine, die nach unten hohl ist und einen sogenannten Hochpunkt hat (2.Bild). Was ist mit der Steigung im Fall der Parabel A? Ab dem Punkt A haben wir schon gesehen (6.1.3), dass sie immer größer wird. Was ist vor dem Punkt A? Ganz links ist die Steigung sehr negativ. Je mehr wir uns nach rechts bewegen, desto weniger negativ wird sie. Nach dem Punkt A (Tiefpunkt) wird sie positiv sein (das Parabel A: mit Tiefpunkt (hohl nach oben) Parabel B: mit Hochpunkt (hohl nach unten) heißt aber dann, dass sie am Punkt A null sein wird!). Eine sehr negative Zahl ist doch kleiner als eine weniger negative Zahl ist doch kleiner als -2! Dass heißt aber dann, dass die Steigung bei der Parabel A auch für die Seite links vom Punkt A immer größer (also weniger negativ) wird, wenn man sich von links nach rechts bewegt! Nehmen wir an, dass das Diagramm ein s-t Diagramm ist. Die Steigung zeigt uns daher die Geschwindigkeit. Wenn die Steigung immer größer wird, bedeutet es dann, dass die Geschwindigkeit immer größer wird. Aber immer größere Geschwindigkeit bedeutet eine positive Beschleunigung! Wir haben im 1. Kapitel nur die rechte Seite der Parabel A gesehen. Da ist sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung

3 positiv. Auf der linken Seite aber ist zwar die Geschwindigkeit negativ (Kurve geht nach unten) die Beschleunigung aber ist, wie wir gerade erklärt haben, positiv! Die Geschwindigkeit wird immer weniger negativ, also immer größer, also die Beschleunigung wird positiv sein (und konstant, weil wir eine Parabel haben)! Umgekehrt ist die Situation bei Parabel B. Nehmen wir wieder an, dass es um ein s-t Diagramm geht. Wenn wir von ganz links anfangen und wir uns nach rechts bewegen, wird die Steigung immer weniger positiv (bis sie am Punkt B null wird). Weniger positiv bedeutet aber, dass sie immer kleiner wird. Immer kleinere Steigung bedeutet immer kleinere Geschwindigkeit, also eine negative Beschleunigung. Die linke Hälfte also hat zwar eine positive Geschwindigkeit (die Kurve geht nach oben), die Beschleunigung ist aber doch negativ. Auf der rechten Hälfte ist dann sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung negativ (die Geschwindigkeit wird immer negativer, also immer kleiner, also auch negative Beschleunigung). Um zu verstehen, ob die Beschleunigung bei einem s-t Diagramm positiv oder negativ ist, gibt es noch eine Weise. Man kann sich vorstellen, dass man sich auf der Kurve befindet und sich von links nach rechts bewegt. Muss man dann links abbiegen, dann ist die Beschleunigung positiv, muss man rechts abbiegen, ist sie negativ s-t Diagramm (Wiederholung) und Fläche in einem v-t Diagramm Im ersten Kapitel haben wir schon gelernt, dass die Fläche zwischen Kurve und x-achse in einem v-t Diagramm uns die zurückgelegte Strecke angibt. Die Erklärung ist einfach: Die Fläche z.b. eines Rechtecks, ist eine Seite mal die andere. Für ein Rechteck in einem v-t Diagramm ist dann diese Fläche die Größe der y-achse (Geschwindigkeit v) mal die Größe der x-achse (Zeit t). Dieses Produkt, v t, Geschwindigkeit mal Zeit, ist doch die Strecke. Wir sollen aber vorsichtig sein. Das Ergebnis (die Fläche) zeigt uns nur die zurückgelegte Strecke, also Δs. Es zeigt uns aber nicht, wo sich der bewegende Körper gerade befindet. Nehmen wir den einfachen Fall einer gleichförmigen Bewegung und vergleichen wir das folgende Bild und die folgenden s-t Diagramme: 1.Bild: positive Richtung 1. Diagramm 2. Diagramm 3. Diagramm 4. Diagramm 5. Diagramm Der Koordinatenursprung ist immer der Bezugspunkt unsere Messungen. Dieser ist hier z.b. Wels. Wir brauchen auch eine positive Richtung. Diese ist hier die Richtung vom Wels nach Linz (siehe 1.Bild). Bewegt sich ein Fahrzeug in dieser Richtung, dann ist die Geschwindigkeit positiv. Vorsicht! Es kann doch sein, dass die Geschwindigkeit positiv ist (positive Richtung) und doch das Fahrzeug Richtung Wels (also zurück zum Ursprung) fährt (!), nämlich wenn das Fahrzeug sich in Salzburg befindet und nach Wels fährt!

4 Fährt jetzt ein Fahrzeug von Wels aus nach Linz mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit, dann fängt unsere Gerade am Koordinatenursprung und geht nach oben (positive Richtung). Das wird schon eine Gerade sein, da die Geschwindigkeit, also die Steigung, konstant ist (wir haben eine gleichförmige Bewegung angenommen). Diese Situation entspricht dem ersten Diagramm. Fährt aber das Fahrzeug vom Wels nach Salzburg, ist das doch die negative Richtung, also die Gerade muss nach unten sein (und auch im negativen Bereich: Salzburg ist vor Wels). Diese Situation entspricht dem zweiten Diagramm. Fährt das Fahrzeug vom Linz Richtung Wien, dann ist zwar die Gerade nach oben (positive Richtung), ihr Anfangspunkt ist aber nicht mehr der Koordinatenursprung, sondern ein Punkt auf der positiven y- Achse, da wo Linz auf der Achse dargestellt wird. Das entspricht dem dritten Diagramm. Fährt das Fahrzeug vom Linz Richtung Salzburg, dann ist die Gerade nach unten (negative Richtung) und der Anfangspunkt steht da, wo Linz auf der y-achse dargestellt wird. Wenn diese Gerade die x- Achse schneidet, dann befindet sich das Fahrzeug im Wels und fährt weiter nach Salzburg (negativer Bereich, negative Richtung). Das entspricht dem vierten Diagramm. Fährt das Fahrzeug vom Salzburg nach Wels, dann ist die Gerade nach oben (positive Richtung) aber doch im negativen Bereich (Salzburg ist vor Wels ). Das entspricht dem fünften Diagramm. Wenn die Gerade die x-achse schneidet, befindet sich das Fahrzeug bei Wels und fährt weiter, sogar nach Linz Richtung Wien. Vorsicht: was der Koordinatenursprung und die positive Richtung ist, ist eine Sache der Definition. Wir könnten auch als positive Richtung die Richtung nach Salzburg oder als Bezugspunkt Vöcklabruck annehmen, dann wären alle Diagramme anders! Vergleichen wir jetzt das 1. und das 3. Diagramm: Die zurückgelegte Strecke ist in beiden Fällen die gleiche, im ersten Fall befindet sich aber das Fahrzeug am Ende im Linz, im zweiten Fall doch weiter nach Linz! Der Grund liegt darin, dass der Anfangspunkt ein anderer war. Im ersten Diagramm ist Wels der Startpunkt, im zweiten doch schon Linz. Wir haben vorher gesagt, dass die zurückgelegte Strecke uns nicht besagt, wo sich der bewegende Körper gerade befindet. Das ist genau was wir damit gemeint haben. In einem v-t Diagramm kann man zwar die zurückgelegte Strecke durch die Fläche ablesen, nicht aber wo der Körper angefangen und wo er gestoppt hat! Fläche in einem v-t Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung und entsprechende zurückgelegte Strecke Im ersten Kapitel haben wir schon die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung gesehen: s = v 1 t + ½ a t². Wir haben auch gelernt, dass wir allgemein in einem v-t Diagramm die zurückgelegte Strecke durch die Fläche zwischen Kurve und x-achse ablesen können. Wir haben auch gelernt, dass ein v-t Diagramm bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung wie das nebenstehende Diagramm aussieht. Die Steigung in so einem Diagramm zeigt uns die Beschleunigung. Die Beschleunigung bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist konstant, daher ist auch die Steigung konstant. Wir haben also eine Gerade (nach oben, wenn die Beschleunigung positiv ist, nach unten, wenn sie negativ ist - also beim Bremsen). Die Gerade fängt bei v 1 an, also mit der Anfangsgeschwindigkeit. Dieses Diagramm können wir benutzen, um die Formel für die Strecke bei einer gleichmäßig v-t Diagramm mit konstanter a beschleunigte Bewegung zu erzeugen. Die Gesamtfläche ist die Fläche des Dreiecks A D plus die Fläche des Vierecks A V. Es gilt:

5 A D = ½ Δv Δt und A V = v 1 Δt Hier ist Δt=t und a= Δv und daher Δv =a Δt also Δv =a t Δt Die Gesamtfläche ist die zurückgelegte Strecke und daher: s = A D + A V = ½ Δv Δt + v 1 Δt = v 1 t + ½ Δv Δt = v 1 t + ½ a t t also s = v 1 t + ½ a t² Damit haben wir die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Hilfe des v-t Diagramms erzeugt! Fläche in einem a-t, in einem s-t und ein einem allgemeineren Diagramm Wir haben uns bisher nur mit der Fläche in einem v-t Diagramm beschäftigt. Im Gegenteil zur Steigung, die als Änderungsrate immer einen physikalischen Sinn hat, ist das mit der Fläche zwischen Kurve und x-achse nicht immer der Fall. Was ist mit der Fläche in einem a-t Diagramm? Laut Definition der Fläche sollte sie a t sein und das hat doch die Dimensionen der Geschwindigkeit. So wie bei einem v-t Diagramm die Fläche uns die Differenz Δs zeigt (also in diesem Fall zurückgelegte Strecke), ist es auch bei einem a-t Diagramm: die Fläche in einem a-t Diagramm zeigt uns die Differenz der Geschwindigkeit Δv (also Geschwindigkeitsänderung). Bild 1 In einem s-t Diagramm ist die Fläche, also das Produkt s t, keine bekannte physikalische Größe. Daher macht es nicht Sinn, die Fläche in einem s-t Diagramm zu benutzen. Allgemein ist die (physikalische) Größe der Fläche zwischen Gerade und x-achse und zwischen zwei Werten von x das Produkt der Größen der beide Achsen. In Physik ist dieses Produkt oft aber nicht immer eine sinnvolle physikalische Größe (wie z.b. in einem s-t Diagramm). Die ganze Fläche zeigt uns dann die Änderung dieser Größe zwischen den beiden Werten x 1 und x 2 auf der x-achse (Geschwindigkeitsänderung zwischen t 1 und t 2 in einem a-t Diagramm, die Änderung der Strecke Δs zwischen t 1 und t 2 in einem v-t Diagramm usw.). Bisher haben wir vorwiegend Beispiele gesehen, wo der Wert für t 1 null war (am Koordinatenursprung), das ist aber in der Regel nicht so! Bild 2 Bild 3 Die Fläche zu berechnen ist im Fall einer linearen Funktion (Gerade, Bild 2) einfach (Summe der Fläche eines Dreiecks und eines Vierecks). Allgemein (Bild 3) kann man die Fläche mit Hilfe des Integrals (12. Schulstufe) berechnen Die Einheiten der Achsen und die Eigenschaften des Diagramms Bisher haben wir fast immer Diagramme verglichen unter der Annahme, dass die Achsen-Einheiten übereinstimmten. Das ist selbstverständlich nicht immer der Fall. Wenn man Steigung und Flächen bei Diagrammen vergleicht, bei denen die Achsen-Einheiten nicht übereinstimmen, muss man in der Regel die Steigungen bzw. die Flächen berechnen, um vergleichen zu können. Ein paar Beispiele werden das eindeutig machen. Alle Diagramme sind v-t Diagramme.

6 Vergleichen wir zuerst die beiden Geraden im ersten Diagramm. Die Gerade f fängt bei 1m/s, p bei 3 m/s an. Gerade f hat eindeutig eine größere Steigung (also ist für diese Bewegung die Beschleunigung größer). Die Fläche bis t=4s ist unter Gerade f weniger als unter Gerade p. Zwischen 4 und 8s ist sie aber doch mehr unter Gerade f. Wenn man die Flächen zwischen 0 und 8s berechnet, sind sie sogar für beide Geraden gleich groß (obwohl sie anders aussehen). Diagramm 1 Diagramm 2 Diagramm 3 Diagramm 4 Vergleichen wir jetzt Diagramme 2 und 3. Wenn man nicht auf die Einheiten achtet, würde man sagen, dass die Gerade in Diagramm 3 steiler ist und daher auch die Steigung. Das ist aber doch nicht so. Eigentlich geht es um das gleiche Diagramm, nur ist die Skalierung der y-achse anders: im Diagramm 3 ist auf der y-achse 1m/s doppelt so viel wie im Diagramm 2. Die Geschwindigkeitsänderung ist in beiden Diagrammen 1m/s je 2s, also ist die Steigung (und die Beschleunigung) 0,5m/s²! In der gleichen Weise kann man zeigen, dass die Flächen unter beiden Gerade (zwischen z.b. 0 und 4s) auch gleich groß sind! Wenn wir Diagramme 3 und 4 vergleichen, würden wir ohne Rücksicht auf die Einheiten sagen, dass es und die gleiche Gerade geht. Das ist aber doch falsch. In Diagramm 3 ist die Einheit für die Zeit (x- Achse) Sekunde (s) und für die Geschwindigkeit (y-achse) m/s. In Diagramm 4 sind die entsprechenden Einheiten Stunde (h) bzw. km/h! Die Steigung in Diagramm 3 ist 1m/s je 2s und in Diagramm 4 1km/h je h! Ist das gleich? Rechnen wir die Beschleunigung (Steigung) in Diagramm 4 in m/s² um: k=a= 1 km/h km =0,5 1 2 h 1h 2=0, m s 2 3, m/s 2!! wobei die Steigung (und die Beschleunigung) in Diagramm 3 0,5m/s² ist! Der Vergleich ist beeindruckend! Apropos: die Einheit km/h² für die Beschleunigung haben wir bisher nie gesehen und werden auch nicht mehr sehen. Sie wird nie benutzt! Genauso groß ist der Unterschied, wenn man die Flächen vergleicht. In Diagramm 3 ist die Fläche (also die zurückgelegte Strecke) nach 4 Einheiten der x-achse (also nach 4s) 16m/s 4s= 64 m und in Diagramm 4 16km/h 4h= 64 km! Die Folgerung ist eindeutig: Wenn man Diagramme vergleichen will, muss man die Einheiten der Achsen berücksichtigen.