Aufgaben zu den Bewegungen

Transkript

1 Aufgaben zu den Bewegungen 1. Im Märchen Rapunzel wird das Mädchen von einer Zauberin in einen Turm eingesperrt, der ohne Tür war und nur oben ein kleines Fenster hatte. Wenn die Zauberin hinein wollte, stellte sie sich unten hin und rief: Rapunzel, Rapunzel, laß mir dein Haar herunter. Rapunzel hatte lange, prächtige Haare, fein wie gesponnenes Gold. Wenn sie nun die Stimme der Zauberin vernahm, so band sie ihre Zöpfe los, wickelte sie oben um einen Fensterhaken und dann fielen die Haare zwanzig Ellen tief hinunter, und die Zauberin stieg daran hinauf. Angenommen, Rapunzel bekam nie die Haare geschnitten, und die Haare wuchsen etwa 1 cm im Monat, wie alt war Rapunzel? Tipp: Eine Elle sind etwa 70 cm. 2. Ein PKW mit der Länge l Auto = 4 m fährt mit konstant 130 km/h auf der rechten Spur der Autobahn. Vor dem Auto fährt ein 10 m langer LKW, der mit 100 km/h unterwegs ist. 100 m hinter dem LKW setzt das Auto zum Überholen an. Gleichzeitig passiert es die 1000 m -Ankündigung einer Ausfahrt, die der PKW nutzen muss. Wie weit vor der Ausfahrt kann der PKW wieder einscheren, wenn er 2 s nach dem Überholen wieder auf die rechte Spur wechselt? 3. Ein Auto steigert seine Geschwindigkeit gleichmäßig von v 1 = 120 km/h auf v 2 = 150 km/h. Wie groß sind die Beschleunigung und der zurückgelegte Weg, wenn v 2 nach zehn Sekunden erreicht wird? 4. Die Beschleunigung eines ICE der Deutschen Bahn erreicht einen Wert von a = 1,2 m/s 2. a) Nach welcher Zeit hat er damit seine Höchstgeschwindigkeit von 350 km/h erreicht? b) Welche Strecke hat er dann zurückgelegt? c) Der Zug wird danach aus der Höchstgeschwindigkeit bis zum Stillstand auf einer Strecke von 3500 m abgebremst. Wie groß ist die Beschleunigung und wie lange dauert der Bremsvorgang? 5. Ein Stein wird von einem Hochhausdach in 88 m Höhe mit einer Geschwindigkeit v 0 = 2 m/s in die Tiefe geworfen. a) Nach welcher Zeit trifft er auf dem Boden auf und welche Geschwindigkeit hat er dort? b) Welche Wegstrecke durchfliegt er in der dritten Sekunde des Flugs und um welchen Betrag nimmt seine Geschwindigkeit dabei zu? c) In welcher Höhe besitzt der Stein die halbe Auftreffgeschwindigkeit?

2 Lösungsvorschläge 1) Das Wachstum der Haare sei nun gleichförmig, d.h., wir können die Formel Gesucht ist die Zeit, in der die Haare zwanzig Ellen lang werden können, also s = v t verwenden. t = s v. Die Größe s ist gegeben: s = 20 Ellen = cm = 1400 cm, ebenso die Geschwindigkeit v = 1 cm Monat Damit wird t = s v 1400cm = cm 1 Monat = 1400 Monate = 116 Jahre und 8 Monate Rapunzel müsste also etwa / 3 Jahre alt gewesen sein.

3 2) Zunächst eine Skizze der Situation: Da alle mit einer konstanten Geschwindigkeit fahren, kommen die Formeln für die gleichförmige Bewegung ins Spiel. Für den Überholvorgang selbst ist die Differenz der Geschwindigkeiten von PKW und LKW entscheidend. Es ist egal, ob sich beide bewegen mit einer Geschwindigkeitsdifferenz von 30 km/h oder ob einer steht und der andere sich mit 30 km/h bewegt. Wir können also die folgende Formal verwenden: v = s t v ist die Differenz der Geschwindigkeiten, also v = 130 km h 100 km h = 30 km h = 8,33 m s Die zurückgelegte Strecke für den PKW lässt sich aus der Skizze ableiten: s = 100 m 10m ' ' 2 s' ', wobei der 2 s -Abstand die Strecke ist, die der PKW mit seiner Geschwindigkeit in 2 s zurücklegt, also s 2 s = 130 km h 2 s = 36,11 m s 2 s = 72,22 m. Damit wird die zurückgelegte Strecke zu s = 100 m 10m 72,22m = 182,22 m. Jetzt können wir die Zeit berechnen, die der gesamte Überholvorgang dauert: t = s v = 182,22 m 8,33 m = 21,9s s Der PKW legt in 21,9 s eine Strecke von s = v t = 36,11 m s 21,9 s = 790,81 m zurück. Da der Überholvorgang begann, als er an der 1000 m-ankündigung der Ausfahrt vorbeifuhr, kann er 209,19 m vor der Ausfahrt wieder einscheren.

4 3) Zunächst sollten die angegebenen Geschwindigkeiten von km/h in m/s umgerechnet werden. Es ergeben sich: v 1 = 120 km/h = 33,33 m/s v 2 = 150 km/h = 41,67 m/s Die Beschleunigung ist definiert als der Quotient aus der Geschwindigkeitsdifferenz und dem Zeitintervall. Als Formel: Und mit Zahlen: a = v t = v v 2 1 t a = v t = v v 2 1 = t a = 0,834 m s 2 41,67 m s 33,33 m s 10 s = 8,34 m s 10 s Antwort: Die Beschleunigung beträgt also etwa 0,8 m/s 2. Für den zurückgelegten Weg brauchen wir folgende Formel: s t = 1 2 at 2 v 0 t s 0 Der Weg setzt sich zusammen aus dem Weg mit der konstanten Geschwindigkeit v 1 und dem Weg, der durch die Beschleunigung zurückgelegt wird (Bewegungen überlagern sich!). Also, mit s 0 = 0 und v 0 = v 1 : s t = s 10s = 1 2 0,834 m s 2 10 s 2 33,33 m s 10 s s 10s = 375 m Antwort: Während der Beschleunigung wird ein Weg von 375 m zurückgelegt.

5 4) a) Mit der Formel v(t) = at + v o und mit v 0 = 0 (der Zug fährt los) kann die Zeit berechnet werden. Die Geschwindigkeit v = 350 km/h muss noch in v = 97,22 m/s umgerechnet werden. t = v a = 97,22 m s 1,2 m s 2 = 81,02 s Antwort: Nach 81 s hat der ICE seine Höchstgeschwindigkeit erreicht. b) Die Formel s t = 1 2 at 2 liefert die zurückgelegte Strecke. v 0 und s 0 sind Null. s t = 1 2 at 2 = 1 2 1,2 m s 2 81,02 s 2 = 3938,40m Antwort: Nach fast 4000 m oder 4 km hat er die Höchstgeschwindigkeit erreicht. c) Hier sind die Geschwindigkeitsdifferenz ( v = 97,22 m/s) und die Strecke (s = 3500 m) gegeben. Gesucht sind a und t, die beide in beiden Formeln vorkommen. Wir müssen also eine der beiden Formeln nach der Zeit t umstellen und in die andere Formel einsetzen. v t = at t = v a s t = 1 2 at 2 s t = 1 2 v 2 Jetzt haben wir eine Formel, in der zwei bekannte Größen und eine unbekannte Größe vorkommt. Nach a umgestellt: 2 m 97,22 a = v2 2 s = s m = 1,35 m s 2 Die Beschleunigung beträgt also 1,35 m/s 2. Da es sich um eine Bremsbeschleunigung handelt, lautet das Ergebnis a = - 1,35 m/s 2. Antwort: Der ICE kommt mit einer Bremsbeschleunigung von 1,35 m/s 2 zum Stilstand. Für die Zeit: t = v a = 97,22 m s 1,35 m s 2 = 72,01 s a Antwort: Der Bremsvorgang dauert 72 s.

6 5) Bewegungsgleichungen v t = v 0 g t s t = v 0 t 1 2 g t2 Skizze: Gegebene Größen: v 0 = 2 m/s g = 9,81 m/s 2 a) Zum Zeitpunkt des Auftreffens auf dem Boden hat der Stein den Weg von s(t) = 88 m zurückgelegt. Also können wir aufschreiben: s t = v 0 t 1 2 g t2 88 m = 2 m s t 1 2 9,81 m s 2 t ,81 m s 2 t2 2 m s t 2 4 9,81 t 88m = 0 s t 176 9,81 s2 = 0 t 1,2 = 2 9,81 s ± 4 9, ,81 s2 t 1 = 4,04 s ; t 2 = 4,44 s Die negative Zeit können wir physikalisch ausschließen, also lautet die Lösung: Lösung: Der Stein benötigt 4,04 s bis zum Auftreffen. Wie groß ist die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt? v 4,04 s = 2 m s 9,81m s 2 4,04 s v 4,04 s = 41,24 m s Lösung: Die Auftreffgeschwindigkeit liegt bei 41,24 m/s. b) Wir betrachten die Wegdifferenz zwischen der zweiten und der dritten Sekunde. s = s 3s s 2s s = 2 m s 3s 1 2 9,81 m 2 m s 2 3s 2 s 2s 1 2 9,81 m 2s 2 s 2 s = 26,525 m Lösung: In der dritten Sekunde legt der Stein eine Strecke von 26,525 m zurück. v = v 3s v 2s v = 2 m s 9,81 m s 2 3s 2 m s 9,81 m s 2 2s v = 9,81 m s Lösung: Die Geschwindigkeit nimmt um 9,81 m/s zu.

7 c) Die halbe Auftreffgeschwindigkeit beträgt v(t) = 20,62 m/s. Für den zurückgelegten Weg wenden wir folgende Formel an: s t = v 0 t 1 2 g t 2 Um damit rechnen zu können, brauchen wir noch die Zeit. Also: v t = v 0 g t 20,62 m s = 2m s 9,81 m s 2 t t = 1,9 s s t = 2 m s 1,9 s 1 2 9,81 m s 2 s 2 1,9 s t = 21,51 m Das ist aber die Fallstrecke bis zur halben Auftreffgeschwindigkeit. Die Höhe ist nun: h = 88 m 21,51 m = 66,49 m (siehe Skizze). Lösung: Bei einer Höhe von 66,49 m erreicht der Stein die halbe Auftreffgeschwindigkeit.