WS 2009/10. Diskrete Strukturen

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1 WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Kapitel IV Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings 2

3 Bäume Definition: Ein ungerichteter Graph G = (V,E) heißt Baum, falls G zusammenhängend und kreisfrei ist. Ein Knoten v mit deg(v) = 1 heißt Blatt (leaf). Alle anderen Knoten heißen innere Knoten. 3

4 Graph oder Baum? 4

5 Bäume Die Bäume mit höchstens 5 Knoten sind 5

6 Ein Baum o h n r 6 p i d b m a c e g q f j k l

7 Kapitel III Graphen; Bäume Wälder Definition: Ein Graph, dessen (Zusammenhangs-) Komponenten jeweils Bäume sind, heißen Wälder. 7

8 Eigenschaften von Bäumen 8 Satz: Jeder Baum T = (V,E) mit V mindestens zwei Blätter. 2 enthält Beweis (verifiziere anhand der vorletzten Folie): Nehme eine beliebige Kante und laufe nach links und rechts solange du kannst. Da man nicht in einen Zyklus geraten kann endet man irgendwann in einem Blatt.

9 Eigenschaften von Bäumen 9 Satz: Ist T = (V,E) ein Baum mit V 2 Knoten und v V ein Blatt, so ist der Graph T := T[V \ {v}] ebenfalls ein Baum. Beweis: Durch Wegnahme eines Blattes bleibt der Baum kreisfrei. Da Pfade zwischen beliebigen Knoten u und w erhalten bleiben, ist der Graph T auch zusammenhängend.

10 Eigenschaften von Bäumen Definition: Ein Teilgraph T = (V,E ) von G = (V,E) heißt Spannbaum von G, falls T ein Baum und V = V. 10

11 Eigenschaften von Bäumen Satz: Jeder zusammenhängende Graph G =(V, E) enthält mindestens einen Spannbaum. Beweis: Durch Induktion über E. Basis: E =0. Dann ist G ein Baum und auch ein Spannbaum. 11

12 Eigenschaften von Bäumen Schritt: E 1. Wir betrachten zwei Fälle. Fall 1. G ist ein Baum. Dann ist G auch Spannbaum. Fall 2. G ist kein Baum. Dann enthält G einen Kreis. Entferne eine beliebige Kante des Kreises. Das Ergebnis G ist noch zusammenhängend und enthält einen Spannbaum T (Induktionsannahme). T ist auch Spannbaum 12 von G.

13 Eigenschaften von Bäumen Satz: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (1) G = (V,E) ist ein Baum (2) Je zwei Knoten u,v V mit u v sind durch genau einen Pfad verbunden (3) G ist zusammenhängend und V = E

14 Kapitel III Graphen; Bäume (1), (2) Kein Kreis, keine zwei Knoten sind durch zwei verschiedene Pfade verbunden. Zusammenhängend, jede zwei Knoten sind durch mindestens einen Pfad verbunden. 14

15 Kapitel III Graphen; Bäume (1) (3) Sei G=(V,E) ein Baum. Wir zeigen V = E +1 durch Induktion über V : Basis: V = 1. Dann gilt E = 0 und wir sind fertig. Schritt: V 2. Sei u ein Blatt von G (G hat mindestens zwei Blätter). Entferne u sowie die Kante, die u mit dem Rest von G verbindet. Sei G =(V,E ) der resultierender Graph. G ist wieder ein Baum. Mit V < V gilt V = E + 1 (Induktionsannahme). Mit V = V +1 und E = E + 1 gilt V = E

16 Kapitel III Graphen; Bäume (3) (1) Sei G=(V,E) zusammenhängend mit V = E +1. G enthält einen Spannbaum T = (V, E ). Nach dem eben Bewiesenen gilt V = E + 1. Aus V = E +1 und V = E + 1 folgt E = E. Da E eine Teilmenge von E ist gilt E = E. Es folgt G = T. 16

17 Eigenschaften von Bäumen Korollar: Seien T = (V,E) ein Baum mit V = n und (d 1, d 2,, d n ) die Gradfolge von T, dann gilt: i n 1 d 2 E 2 V 2 2n 2 i 17

18 Spannbäume Frage: Wieviele aufspannende Bäume hat ein Graph? Satz: Für vollständige Graphen auf {1,2,,n} gilt: Die Anzahl aufspannender Bäume ist t(n) = n n-2 (Achtung: die Knoten sind unterscheidbar!) 18

19 Spannbäume des K 2 und K 3 n = 2 n = 3 19

20 Spannbäume des K 4 n = 4 20

21 Satz von Cayley: 21 Es gibt n n 2 markierte Bäume mit n Knoten. Beweis: Wir definieren eine Abbildung von der Menge der markierten Bäume mit n Knoten in die Menge der Folgen der Länge n 2 mit Elementen aus {1,...,n} (siehe die nächsten Folien). Diese Abbildung ist eine Bijektion (ohne Beweis). Da es n n 2 solche Folgen gibt, ist der Satz bewiesen.

22 Die Abbildung: Prüfer-Codes Gegeben sei ein markierter Baum T(V,E) mit Knotenmenge V = {1, 2,..., n}, n Wiederhole bis V = 2: Sei v V das Blatt mit der kleinsten Markierung in V. Sei u V der einzige Nachbar von v in V. Entferne v aus V und {u,v} aus E und gebe die Markierung von u aus. (Achtung!: die Markierung von u, nicht die von v)

23 Prüfer-Codes Die Ausgabe des Algorithmus auf der letzten Seite wird der Prüfer-Code des Baumes genannt (Heinz Prüfer ). Der Prüfer-Code eines Baums ist eine eindeutige Folge der Länge n 2 mit Elementen aus {1,..., n}. Zu einem gegebenen Prüfer-Code der Länge n 2 mit Elementen aus {1,..., n} gibt es einen 23 eindeutigen markierten Baum.

24 Prüfer-Codes Beispiel: 24

25 Prüfer-Codes Beispiel: 25

26 Wurzelbäume 26 Definition: Ein Wurzelbaum (rooted tree) ist ein Tupel (T,v) wobei T = (V,E) ein Baum ist und v V ein Knoten, den man auch als Wurzel des Baumes bezeichnet. Da es in einem Baum zwischen je zwei Knoten genau einen Pfad gibt, gibt es in einem Wurzelbaum von jedem Knoten genau einen Pfad zur Wurzel.

27 Wurzelbäume: Beispiel o h n r 27 p i b d root m a e q c g f j k l

28 Wurzelbäume 28 Im Bild eines Wurzelbaumes wird die Wurzel in der Regel oben angeordnet, und die Wege werden von der Wurzel weggerichtet betrachtet. Wurzelbäume dienen zur graphischen Darstellung hierarchischer Strukturen, z.b. Vererbungen, Stammbäume, grammatikalische Strukturen usw. C B D A 2 E

29 Wurzelbäume Die Knoten entlang eines Pfades von v V zur Wurzel heißen Vorgänger von v. Der zu v benachbarte Vorgänger heißt unmittelbarer Nachbar oder auch Vater- bzw. Mutter-Knoten. 29 Alle Knoten u V, von denen der Pfad zur Wurzel den Knoten v V enthält, werden Nachfolger von v genannt. Die unmittelbaren Nachfolger werden auch Sohnoder Kind-Knoten genannt.

30 Wurzelbäume Ein Binärbaum ist ein Wurzelbaum, in dem jeder Knoten höchstens 2 unmittelbare Nachfolger hat. Ein vollständiger Binärbaum ist ein Binärbaum, in dem jeder innere Knoten genau zwei unmittelbare Nachfolger hat und alle Blätter denselben Abstand zur Wurzel haben. 30

31 Wurzelbäume Ein Suchbaum ist ein Binärbaum, bei dem die (direkten) Nachfolger eines Knoten geordnet sind. Die Knotenmenge ist eine linear geordnete Menge Für alle inneren Knoten v gilt: Für alle Knoten u im linken Unterbaum von v gilt: u < v Für alle Knoten u im rechten Unterbaum von v gilt: u v 31

32 Binärbäume 32