Algorithmen II Vorlesung am

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1 Algorithmen II Vorlesung am Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum II Wintersemester 2012/2013 in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Das Kreismatroid Wiederholung

3 Kreismatroid Sei C die Menge aller Kreise in G = (V, E) und U die Menge aller unabhängigen Teilmengen von C. Dann bildet (C, U) ein Unabhängigkeitssystem. 1. U 2. I 1 U, I 2 I 1 I 2 U Definition: Matroid Ein Unabhängigkeitssystem (M, U) heißt Matroid, wenn für alle I, J U mit I < J, ein e J \ I existiert, sodass I {e} U. Satz: Das Unabhängigkeitssystem (C, U) ist ein Matroid, genannt Kreismatroid von G. Folgt aus dem Austausschsatz von Steinitz (Übung).

4 Greedy-Lösung In letzter Vorlesung gezeigt: Greedy-Methode optimal für Optimierungsprobleme auf Matroiden. GREEDY-METHODE für MCB Eingabe: Menge C aller Kreise in G = (V, E). Ausgabe: Kreisbasis minimalen Gewichts von G. Sortiere C aufsteigend nach Gewicht zu C 1,..., C k. B for i = 1 to k do if B {C i } linear unabhängig then B B {C i } Liefert optimale Lösung (siehe vorherige Vorlesung), allerdings ist die Anzahl der Kreise in einem Graphen im Allgemeinen exponentiell in m + n (siehe Übung). Idee: Versuche Kandidatenmenge mit polynomieller Größe zu finden.

5 Algorithmus von Horton

6 Algorithmus von Horton Satz 5.7 Für jeden Kreis C aus einer MCB von G existiert zu jedem beliebigen Knoten v aus C eine Kante {u, w} auf C, sodass gilt: C = SP(u, v) + SP(w, v) + {u, w}, wobei SP(u, v) bzw. SP(w, v) ein kürzester Weg von u bzw. w nach v in G ist. Beweis mithilfe der folgenden Lemmata. u w C v

7 Algorithmus von Horton Lemma 5.8 Falls B eine Kreisbasis ist, C B und C = C 1 C 2, dann ist entweder B \ {C} {C 1 } oder B \ {C} {C 2 } wieder eine Kreisbasis. Beweis: C 1 C 2 C = C 1 C 2 (i) Ist der Kreis C 1 darstellbar als Linearkombination von Kreisen aus B \ {C}, so ist offenbar B \ {C} {C 2 } wieder eine Basis. (ii) Ist der Kreis C 1 nur darstellbar als Linearkombination von C und Kreisen aus B \ {C}, so ist C 2 darstellbar als Linearkombination von Kreisen aus B \ {C}. Somit ist dann B \ {C} {C 1 } wieder eine Basis.

8 Algorithmus von Horton Lemma 5.9 Sei B eine Kreisbasis von G. Für zwei Knoten x, y V und einen Weg P in G von x nach y kann jeder Kreis C B, der x und y enthält, ersetzt werden durch einen Kreis C, der P enthält. Beweis: x P 1 P P 2 y x C P 1 P P 2 C 1 y x Es gilt C = C 1 C 2 und somit nach Lemma 5.8, dass entweder B\{C} {C 1 } oder B\{C} {C 2 } wieder eine Basis ist. C 2 P 1 P P 2 y

9 Algorithmus von Horton P 1 P P 2 y x C P 1 P P 2 C 1 C 2 P 1 P P 2 y x x Folgerung: y Seien weder P 1 noch P 2 kürzeste Wege zwischen x und y und sei P kürzester Weg zwischen x und y w(c 1 ) < w(c) und w(c 2 ) < w(c) Jede Basis B, die C enthält, kann in Basis B umgewandelt werden, die anstatt C entweder C 1 oder C 2 enthält (Lemma 5.9). w(b ) < w(b) Wenn B eine MCB ist, dann enthält jeder Kreis in B, der x, y V enthält, auch einen kürzesten Weg zwischen x und y.

10 Algorithmus von Horton Satz 5.7: Für jeden Kreis C aus einer MCB von G existiert zu jedem beliebigen Knoten v aus C eine Kante {u, w} auf C, so dass gilt: C = SP(u, v) + SP(w, v) + {u, w}, wobei SP(u, v) bzw. SP(w, v) ein kürzester Weg von u bzw. w nach v in G ist. Beweis: v 1 v 2 v Q i P i v i+1 v i Betrachte beliebigen Kreis C der MCB, sowie einen belibiegen Knoten v auf C: Indizierung der Knoten auf Kreis sei v = v 0,..., v l = v. Q i := Weg auf C von v nach v i in Richtung der Indizierung. P i := Weg auf C von v i nach v in Richtung der Indizierung. Entweder P i oder Q i ist kürzester Weg von v nach v i (vorherige Folie). Sei i der größte Index, sodass Q i kürzester Weg von v nach v i ist. C = Q i {v i, v i+1 } P i+1 ist gewünschte Darstellung.

11 Algorithmus von Horton Algorithmus von Horton für MCB Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: Kreisbasis minimalen Gewichts von G. H for v V und {u, w} E do Berechne Cv uw := SP(u, v) + SP(w, v) + {u, w} if Cv uw ist einfach then H H {C uw v } Sortiere Elemente aus H aufsteigend zu C 1,..., C k B for i = 1 to k do if B {C i } linear unabhängig then B B {C i }

12 Algorithmus von Horton Algorithmus von Horton für MCB Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: Kreisbasis minimalen Gewichts von G. H for v V und {u, w} E do Berechne Cv uw := SP(u, v) + SP(w, v) + {u, w} if Cv uw ist einfach then H H {C uw v } Sortiere Elemente aus H aufsteigend zu C 1,..., C k B for i = 1 to k do if B {C i } linear unabhängig then B B {C i } B m n + K(G) O(n m), weil H m n wobei m O(n 2 ) O(m n log n) O(m 3 n) O(m 2 ) Gesamtlaufzeit: O(m 3 n)

13 Algorithmus von de Pina

14 Algorithmus von de Pina Sei T ein aufspannender Baum (bzw. Wald) in G und e 1,..., e N die Nichtbaumkanten aus G\T in einer beliebigen Ordnung, wobei gilt N = m n + K(G). Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: MCB von G for j = 1 bis N do Initialisiere S 1,j {e j } for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält Ausgabe ist: {C 1,..., C N }

15 Algorithmus von de Pina Sei T ein aufspannender Baum (bzw. Wald) in G und e 1,..., e N die Nichtbaumkanten aus G\T in einer beliebigen Ordnung, wobei gilt N = m n + K(G). Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: MCB von G for j = 1 bis N do Initialisiere S 1,j {e j } for k = 1 bis N do O(m 3 + c m) Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k Ausgabe ist: {C 1,..., C N }, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält Annahme: Berechnung von C k kann in O(c) durchgeführt werden. Es gilt (ohne Beweis): c O(m 2 + n 2 log n) Gesamtlaufzeit: O(m 3 + m n 2 log n) vgl. Horton: O(m 3 n) O(m)

16 Beispiel 9 e 8 e 7 e 6 e 2 e 1 e 4 2 e e e e 5

17 Beispiel 9 e 8 e 7 e e 10 e 2 e 1 e 4 2 e e 5 Initialisierung: Ergebnis: for j = 1 bis N do Initialisiere S 1,j {e j } S 1,1 = {e 1 }, S 1,2 = {e 2 }, S 1,3 = {e 3 }, S 1,4 = {e 4 }, S 1,5 = {e 5 } 10 e 9

18 Beispiel 9 e 8 e 7 e S 1,1 = {e 1 }, S 1,2 = {e 2 }, S 1,3 = {e 3 }, S 1,4 = {e 4 }, S 1,5 = {e 5 } e 10 e 2 e 1 e 4 2 e e 5 k = 1: S 2,2 := S 1,2 S 1,1 = {e 1, e 2 } S 2,3 := S 1,3 S 1,1 = {e 1, e 3 } S 2,4 := {e 4 } S 2,5 := {e 5 } w(c 1 ) = 9 10 e 9 for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält

19 Beispiel 9 e 8 e 7 e S 1,1 = {e 1 }, S 1,2 = {e 2 }, S 1,3 = {e 3 }, S 1,4 = {e 4 }, S 1,5 = {e 5 } e 10 e 2 e 1 e 4 2 e e 5 k = 1: k = 2: S 2,2 := S 1,2 S 1,1 = {e 1, e 2 } S 2,3 := S 1,3 S 1,1 = {e 1, e 3 } S 2,4 := {e 4 } S 2,5 := {e 5 } S 3,3 := S 2,3 = {e 1, e 3 } S 3,4 := S 2,2 S 2,4 = {e 1, e 2, e 4 } S 3,5 := S 2,5 = {e 5 } w(c 1 ) = 9 w(c 2 ) = e 9 for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält

20 Beispiel 9 e 8 e 7 e 6 e 2 e 1 e 4 2 e e S 1,1 = {e 1 }, S 1,2 = {e 2 }, S 1,3 = {e 3 }, S 1,4 = {e 4 }, S 1,5 = {e 5 } e e 5 k = 1: S 2,2 := S 1,2 S 1,1 = {e 1, e 2 } S 2,3 := S 1,3 S 1,1 = {e 1, e 3 } S 2,4 := {e 4 } k = 2: S 2,5 := {e 5 } S 3,3 := S 2,3 = {e 1, e 3 } S 3,4 := S 2,2 S 2,4 = {e 1, e 2, e 4 } S 3,5 := S 2,5 = {e 5 } k = 3: S 4,4 := {e 1, e 2, e 4 } S 4,5 := {e 5 } w(c 1 ) = 9 w(c 2 ) = 12 w(c 3 ) = 15 for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält

21 Beispiel 9 e 8 e 7 e 6 e 1 e 2 2 e 4 e e S 1,1 = {e 1 }, S 1,2 = {e 2 }, S 1,3 = {e 3 }, S 1,4 = {e 4 }, S 1,5 = {e 5 } e e 5 k = 1: k = 2: S 2,2 := S 1,2 S 1,1 = {e 1, e 2 } S 2,3 := S 1,3 S 1,1 = {e 1, e 3 } S 2,4 := {e 4 } S 2,5 := {e 5 } S 3,3 := S 2,3 = {e 1, e 3 } S 3,4 := S 2,2 S 2,4 = {e 1, e 2, e 4 } S 3,5 := S 2,5 = {e 5 } k = 3: S 4,4 := {e 1, e 2, e 4 } S 4,5 := {e 5 } k = 4: S 5,5 := {e 5 } w(c 1 ) = 9 w(c 2 ) = 12 w(c 3 ) = 15 w(c 4 ) = 13 for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält

22 Beispiel 9 e 8 e 7 e 6 e 1 e 2 2 e 4 e e e e 5 S 2,2 := S 1,2 S 1,1 = {e 1, e 2 } S 2,3 := S 1,3 S 1,1 = {e 1, e 3 } S 2,4 := {e 4 } S 2,5 := {e 5 } for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k S 1,1 = {e 1 }, S 1,2 = {e 2 }, S 1,3 = {e 3 }, S 1,4 = {e 4 }, S 1,5 = {e 5 } k = 1: k = 2: S 3,3 := S 2,3 = {e 1, e 3 } S 3,4 := S 2,2 S 2,4 = {e 1, e 2, e 4 } S 3,5 := S 2,5 = {e 5 } k = 3: S 4,4 := {e 1, e 2, e 4 } S 4,5 := {e 5 } k = 4: S 5,5 := {e 5 } k = 5:, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält w(c 1 ) = 9 w(c 2 ) = 12 w(c 3 ) = 15 w(c 4 ) = 13 w(c 5 ) = 17, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält

23 Korrektheit des Algorithmus von de Pina

24 Vektorenschreibweise Betrachte algebraische Interpretation des Algorithmus: Betrachte Kreise als Inzidenzvektoren über E mit Einschränkung auf die Nichtbaumkanten {e 1,..., e N }. e 8 e 7 e 6 e 1 e 2 e 3 e 4 e 9 C e 10 e 5 Beispiel: Kreise werden mithilfe der Nichtbaumkanten e 1, e 2, e 3, e 4 und e 5 beschrieben. C = e 1... e 5 Kreis C kann mithilfe der Fundamentalkreise C i (C i =Fundamentalkreis der Nichtbaumkante e i ) rekonstruiert werden. C = C 1 C 2 C 4 C 5

25 Bilinearform for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k, der eine ungerade Anzahl von Kanten aus S k,k enthält for j = k + 1 bis { N do S k,j S k+1,j S k,j S k,k, falls C k eine gerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält, falls C k eine ungerade Anzahl Kanten aus S k,j enthält Betrachte S k,k nach k-ten Durchlauf ebenfalls als Vektor über {e 1,..., e N }, der Menge der Nichtbaumkanten. N Definiere Bilinearform zweier Vektoren C und S: C, S := (c i s i ) i=1 Produkt und Summe sind über GF(2) definiert. C und S sind orthogonal zueinander genau dann, wenn C, S =0. C, S = 1 genau dann, wenn C eine ungerade Anzahl Einträge mit S gemeinsam hat.

26 Algebraische Variante Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: MCB von G for i = 1 bis N do S i {e i } for k = 1 bis N do Finde einen kürzesten Kreis C k mit C k, S k = 1 for i = k + 1 bis N do if C k, S i = 1 then S i S i S k Ausgabe ist: {C 1,..., C N } Hinweis: Schreibe S k abkürzend für S k,k Lemma 5.12 Die zweite äußere Schleife des Algorithmus erhält die Invariante C i, S j+1 = 0 für alle i, 1 i j N.

27 Vereinfachende Schreibweise Eingabe: Graph G = (V, E) Ausgabe: MCB von G S 1 {e 1 } C 1 kürzester Kreis mit C 1, S 1 = 1 for k = 2 bis N do Berechne beliebigen Vektor S k, der eine nichttriviale Lösung des Systems C i, X = 0 für i = 1 bis k 1 ist. Finde einen kürzesten Kreis C k mit C k, S k = 1. Ausgabe ist: {C 1,..., C N } Satz 5.13 Der Algorithmus SIMPLE MCB berechnet eine MCB.

28 Bemerkungen Die Laufzeit kann auf O(m 2 n + m n 2 log n) reduziert werden. Empirische Verbesserung: Verheiratung von Horton und de Pina. Berechne Kandiatenmenge H von Horton. Suche kürzesten Kreis C k ausschließlich in dieser Kandiatenmenge Lösungsraum wird verkleinert. Algorithmus von Horton kann mithilfe schneller Matrix-Multiplikation auf eine Laufzeit O(m ω n) reduziert werden (Bekannt: ω < 2.376).

29 Zertifikat für MCB

30 Zertifikat G = (V, E) MCB-Berechnung MCB-Check Problem: Zertifikat für MCB-Algorithmus Gegeben sei der Graph G = (V, E), w : E R + 0 und eine Menge von Kreisen A von G. Gib ein Zertifikat dafür an, dass A eine MCB von G ist. Zertifikat Die gegebenen Kreise bilden eine minimale Kreisbasis in G = (V, E).

31 Zertifikat-Erstellung MCB-CHECKER Eingabe: Graph G = (V, E), Kreise C 1,... C N Ausgabe: Zertifikat zur Prüfung, ob C 1,... C N eine MCB von G sind. 1. Berechne aufspannenden Wald T, dabei seien {e 1,..., e N } die Nichtbaumkanten. 2. Definiere A := (C 1... C N ) als N N-Matrix, deren i-te Spalte der Inzidenzvektor von C i mit {e 1,..., e N } ist. 3. Berechne A 1. A ist genau dann invertierbar, wenn C 1,..., C N linear unabhängig. S 1,..., S N von A 1 bilden das Zertifikat.

32 Zertifikat-Erstellung MCB-CHECKER Eingabe: Graph G = (V, E), Kreise C 1,... C N Ausgabe: Zertifikat zur Prüfung, ob C 1,... C N eine MCB von G sind. 1. Berechne aufspannenden Wald T, dabei seien {e 1,..., e N } die Nichtbaumkanten. 2. Definiere A := (C 1... C N ) als N N-Matrix, deren i-te Spalte der Inzidenzvektor von C i mit {e 1,..., e N } ist. 3. Berechne A 1. A ist genau dann invertierbar, wenn C 1,..., C N linear unabhängig. S 1,..., S N von A 1 bilden das Zertifikat. Lemma 5.16 Seien S 1,..., S N und C 1,..., C N linear unabhängig. Falls C i ein kürzester Kreis mit S i, C i = 1 für alle 1 i N ist, dann ist C 1,..., C N eine MCB. Allgemeiner: für die Matrix mit Spalten A 1... A N, wobei A i jeweils ein kürzester Kreis mit S i, A i = 1 ist, gilt: N i=1 w(a i) w(b) für jede Kreisbasis B.